第2章 7 培优课 利用导数研究恒（能）成立问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优课利用导数研究恒（能）成立问题 1.A因为f(x)=x3+ax2+(a十6)x,所以(x)=3x2+2ax十a+6,因为f(x)无极值，所以 (2a)2-4×3×(a+6)≤0，解得一3≤a≤6，所以a的取值范围为[-3,6].故选A. 2.Bf(x)=lnx-支ax2-2x的定义域为(0，+∞)，由题意得f(x)=是-ax-2<0在(0，+ ∞)上有解，即是-是<a在(0，十∞)上有解，又y=是-景=（是-1）2-1≥-1，故a>-1, 故实数a的取值范围是（一1，十∞）.故选B. 3.Af(x)=一x2+4x十blnx在(0，+∞)上是减函数，∴f(x)≤0在(0，+∞)上恒成 立，即f(x)=-2x十4+是≤0，即b≤2x2-4x..2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2，.b≤-2. 4.A(x)=e-1,令f(x)>0,解得x>0,令(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞， 0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故f(x)min=f(0)=1十a.若f(x)>0恒成立，则 1十a>0,解得a>一1，故选A. 5.C由题可得f(x)=+2x-2=(x-1)（十2)，由(x)<0,可得0<x<1,此时f (x)单调递减，由f(x)>0,可得x>l,此时f(x)单调递增，f(x)mim=f(1)=e-1-a≥ 0,∴.a≤e-1.故选C. 6.C因为v(t)=等+15，t∈[，2]，所以v(t)=2，当t∈[，1)时，y(t)>0,当 t∈(1,2]时，v(t)<0,所以v(t)在[，1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以v (t)max=v(1)=吕+15.故选C. 7.C存在xo>0,使得f(xo)≤0有解，即a≤x-xnx有解，即a≤[x一xnx]max,令g(x)=x一 xnx,x>0,则g'(x)=1-(lnx+1)=-lnx,当x∈(0,1)时，g(x)=-lnx>0,g(x) 单调递增，当x∈(1，+∞)时，g'(x)=一lnx<0,g(x)单调递减，∴.g(x)max=g(1)= 1,∴.a≤1，故选C. 8.D由f(x)=simn(2x+晋)-号-mx在[0，晋]上单调递减，得(x)=2cos(2x+晋) x-m≤0(x∈[0，晋]），即2cos(2x+)-x≤m(x∈[0，晋]），令g(x)=2cos(2x+ 晋)-x(x∈[0，晋])，则g'(x)=-4sim(2x+晋)-1(x∈[0，晋])，当x∈[0，晋] 时，晋≤2x+晋≤受，则2≤4sin(2x+晋)≤4，所以-5≤-4sim(2x+晋)-1≤-3，即g'(x) <0,所以g(x)在x∈[0，晋]上单调递减，g(x)mx=g(0)=V5,所以m≥V5,m的最小值 为5. 1/4 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 9.BD命题p:x∈(0，+∞)，x+1≥e”,设f(x)=ex-x-l,x>0,则f(x)=er-1,所 以x∈(0，+∞)时，(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)>f(0)=0,即e>x十1在(0， 十∞)恒成立，故命题p为假命题，则B正确；p的否定：3x∈(0，十∞)，x十1<e,则D正 确.故选B、D. 10.BCD ly=f(x) f(x)=x2ex,x∈R,则f(x)=x(x+2)e,令f(x)<0→-2<x<0,令f(x)>0→x<-2 或x>0,所以函数f(x)在（一2,0）上单调递减，在（一∞，一2）和(0，十∞)上单调递增， 且f(0)=0,f(x)=x2e≥0，如图，所以f(x)mi=f(0)=0,函数在x=一2处取得极大值， 在x=0处取得极小值，极小值f(0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选B、C、D. 11.AC函数f(x)=(x2-2x)ex的定义域为R,f(x)=(2x-2)er+(x2-2x)e=(x2-2) e,当-V2<x<V2时，f(x)<0,即函数f(x)在(-V2,V2)上单调递减，当x<-V2或x> V2时，P(x)>0,即函数f(x)在(-∞，-V2),(V2,+∞）上单调递增，B错误；函数f (x)的极大值f(-V2)=(2+22)e2>0,极小值f(V2)=(2-22)e反<0，而当x<0 或x>2时恒有f(x)>0,因此函数f(x)在x=V2处取得最小值，A正确；由(x2-2x)e=0解 得x=0或x=2,因此函数f(x)有两个零点，C正确；因为f(一x)=(x2十2x)ex≠一f(x), f(一x)≠f(x),即f(x)是非奇非偶函数，D错误.故选A、C. 12.ACf(x)=+音(x∈R),(x)=1-=是，函数∫(x)在(-o,0)上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(0)=1,A正确；f(x)=号(x>0),f (x)=,函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，故函数f(x)的 最小值为f(1)=e,B错误；f(x)=x-lnx(x>0),f(x)=1-是=，函数f(x)在(0， 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)=1,C正确；f(x) =xe(x>0),(x)=e十xe·(-是)=s1E,函数f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)=e,D错误.故选A、C. 13.[意，十∞)解析：由题知f(x)≤0恒成立，即lnx一ax-1≤0在(0，十∞)上恒成立， 即a≥婆在(0，+∞）上恒成立，即a≥（)m,记g(x)=，所以g'(x)= 2/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 _,当x∈(0，e2)时，gx)≥0，g(x)单调递增，当x∈（e2,+o）时，g (x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx=g(e2)=立，所以a∈[是，十o). 14.（-∞，专]解析：设t=3x,因为0≤x≤1，所以1≤t≤3.设g(t)=t十(1≤t3),则 g()=1-克=≥0，则g(0在1,3]上单调递增，故g()m=g3)=3+专=9。 由题可知7m十1≤，解得m≤，所以m的取值范围是（一∞，吉]. 15.4解析：由题意得，f()=3am2-3,当a>1时，令(x)=3a2-3=0,解得x=士9， ±兽∈(-1,1).①当-1≤x<-号时，(x)>0,f(x)单调递增；②当-誓<x<9时，f (x)<0,f(x)单调递减；③当<x≤1时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以只需f()≥ 0,且(-1)≥0即可，由f(5)≥0，得a·(9)3-3.+1≥0，解得a≥4，由f(-1) ≥0，可得a≤4.综上可得a=4. 16.(0,1]解析：不妨设1≤<2≤2.因为a>0,所以f(x)=a(1+)>0,所以f(x)在 [1,2]上单调递增，即f(x)<f(x2).又因为g(x)=x2在[1,2]上也单调递增，所以g(1) <g(x2).所以不等式|f(x)一f(x2)|<|g(1)一g(x2)|即为f(x2)一f(x1)<g(x2) -g(),即f(x)-g(x2)≤f(:)-g(x),设F(x)=f(x)-g(x)，即F(x)=ax+ alnx一x2,则F(x2)<F(x1),因此F(x)在[1,2]上单调递减.于是F'(x)=a十是一2x≤0在 1,2]上恒成立，那a≤希在1,2]上恒成立.令u)-杀，则r()-特>0，印u (x)在[1,2]上单调递增，因此u(x)在[1,2]上的最小值为u(1)=1,所以a≤1，故实数a 的取值范围是0<a≤1. 17.解：(1)当a=-1时，f(x)=x-意， 则(x)=1+÷>0, ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增， 又f(0)=-1<0,f(1)=1-÷>0, 故3xo∈(0,1)，使得f(xo)=0, .函数f(x)在区间[0，十∞)上有1个零点. (2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立， 即a>ex(2-x)恒成立， 3/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 令g(x)=ex(2-x),则g'(x)=ex(1-x), 令g(x)>0,得x<1;令g(x)<0,得x>1, ∴g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， ·g(x)max=g(1）=e, ∴.a的取值范围为(e,十∞). 18.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 了（)=是+峰-景=2= 42 x-2a(8+6a, ①当a>0时，由f(x)>0得x>2a,即f(x)的单调递增区间是(2a,+∞)； 由f(x)<0得0<x<2a,即f(x)的单调递减区间是(0,2a). ②当a<0时，由f(x)>0得x>一6a,即f(x)的单调递增区间是（一6a,+∞）； 由f(x)<0得0<x<一6a,即f(x)的单调递减区间是(0，-6a). 综上所述，当a>0时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增；当a<0时，f (x)在(0，一6a)上单调递减，在(-6a,十∞)上单调递增. (2)当a=-音e时， 由(1)知，函数f(x)在[1，e]上单调递减， 所以f(e)≤f(x)≤f(1), 所以f(x)∈[，能+]， 对任意1∈[1,4]，存在x2∈[1，e],使g(x1)≤f(x2), 等价于g(x)≤最十辛，x∈[l,4]恒成立， 即2x2-mex≤0， 所以m≥警， 设h(x)=签，x∈[1,4]，则h(x)=s2,所以h(x）在[1,2]上单调递增，在[2,4上 单调递减， 所以h(x)mx=h(2)=昌， 所以m≥昌，即实数m的取值范围为[昌，十∞)· 4/4 ·独家授权侵权必究 培优课　利用导数研究恒（能）成立问题 1.若函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x无极值，则a的取值范围为（　　） A.[－3，6] B.（－3，6） C.（－∞，－3]∪[6，＋∞） D.（－∞，－3）∪（6，＋∞） 2.已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1）　　　　　　B.（－1，＋∞） C.[－1，＋∞） D.（1，＋∞） 3.若函数f（x）＝－x2＋4x＋bln x在（0，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.（－∞，－2） C.（－2，＋∞） D.[－2，＋∞） 4.已知函数f（x）＝ex－x＋a，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，＋∞） B.（－∞，－1） C.[－1，＋∞） D.（－∞，－1] 5.已知函数f（x）＝＋x2－2x－a（x＞0），若恒有f（x）≥0，则a的取值范围是（　　） A.（3，＋∞） B.（e－1，＋∞） C.（－∞，e－1] D.（－∞，0] 6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏地踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变化的函数关系为v（t）＝＋15，t∈［，2］，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（　　） A.＋15 B.＋15 C.＋15 D.＋15 7.已知函数f（x）＝－1＋ln x，若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　） A.（2，＋∞） B.（－∞，－3） C.（－∞，1] D.[3，＋∞） 8.已知函数f（x）＝sin（ 2x＋）－－mx在［0，］上单调递减，则实数m的最小值是（　　） A.－ B.－ C. D. 9.〔多选〕已知命题p：“∀x∈（0，＋∞），x＋1≥ex”.下列说法正确的是（　　） A.p为真命题 B.p为假命题 C.p的否定：∃x∈（0，＋∞），x＋1≥ex D.p的否定：∃x∈（0，＋∞），x＋1＜ex 10.〔多选〕已知函数f（x）＝x2ex，x∈R.下列结论正确的是 （　　） A.函数f（x）不存在最大值，也不存在最小值 B.函数f（x）存在极大值和极小值 C.函数f（x）有且只有1个零点 D.函数f（x）的极小值就是f（x）的最小值 11.〔多选〕已知函数f（x）＝（x2－2x）ex，关于f（x）的性质，以下四个结论中正确的是 （　　） A.函数f（x）在x＝处取得最小值 B.函数f（x）在区间（0，2）上单调递增 C.f（x）有两个零点 D.f（x）是奇函数 12.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为1 B.f（x）＝（x＞0）的最小值为1 C.f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1 13.已知函数f（x）＝ln x－ax－1，若f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 14.若存在x∈[0，1]，使得3x＋≥7m＋1成立，则实数m的取值范围是　　　　. 15.设函数f（x）＝ax3－3x＋1（a＞1），若对于任意的x∈[－1，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　　　　. 16.已知函数f（x）＝a（x＋ln x），g（x）＝x2.当a＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有｜f（x1）－f（x2）｜＜｜g（x1）－g（x2）｜成立，则实数a的取值范围是　　　　. 17.已知函数f（x）＝x＋，其中a∈R，e是自然对数的底数. （1）当a＝－1时，求函数f（x）在区间[0，＋∞）上的零点个数； （2）若f（x）＞2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围. 18.已知函数f（x）＝aln x＋x＋（a≠0）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）设g（x）＝2x2－mex＋＋（e＝2.718…为自然对数的底数），当a＝－e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $