第2章 7.1 实际问题中导数的意义&7.2 实际问题中的最值问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §7导数的应用 7.1实际问题中导数的意义 学作业 7.2实际问题中的最值问题 纠错空间 [基础达标练] 6.假设某国家在21年期间的平均通货膨胀率为 1.设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速 5%,物价（单位：元）与时间t(单位：年)的函 度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系 数关系为p(t)=p(1+5%)',其中p,为t=0 为v=u(t)=t3十3t,则t=tns时轿车的加速 时的物价.假定某商品的p。=1,那么在第10个 度为 ( 年头，这种商品的价格上涨的速度是 A.(to+3t)m/s2 B.(3t+3)m/s2 (其中1.05"=1.63,1n1.05=0.05,结果精确 C.(3t+3t,)m/s2 D.(t+3)m/s2 到0.01) 2.设球的半径为时间t的函数R(t),若球的体积 7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年 以均匀的速度C增长，则球的表面积的增长速 最大规模的种植是8万斤，每种植一斤藕，成 度与球的半径 本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=一 1 A.成正比，比例系数为C B.成正比，比例系数为2C 十品a+4(x是莲藕种植量，单位：万斤： C.成反比，比例系数为C 销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万 D.成反比，比例系数为2C 斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年种 3.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立 植莲藕 万斤. 方和最小，则应分为 8.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知 A.2和6 B.4和4 轮船的最大航行速度为35 nmile/,h,A地至B 方法总结 C.3和5 D.以上都不对 地之间的航行距离约为500 nmile,每小时的 4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元， 运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每 每生产一单位产品，成本增加100元，已知总 小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比 营业收人R与年产量x的关系是R(x)= 例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. 400x- 2r0<<40. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x 则总利润最大时， (nmile/,h)的函数y=f(x); (80000,x>400, (2)求x从10变到20的平均运输成本； 每年生产的产品是 (3)求f(10)并解释它的实际意义. A.100 B.150 C.200 D.300 5.(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋” 的图形，上部分是体积为10√5π的半球，下 面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合， 在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥 底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与 外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为 A.10元 B.18π C.30π D.40元 ·37· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的 9.如图，设有定圆C和定点O,当1从。开始在 日售价x元的函数关系式： 平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90°） (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品 时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t 的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值. 的函数，则它的大致图像是 [素养培优练] 13.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城 站路修建的圆形休闲广场，圆心为O,半径为 100m,其与城站路一边所在直线（相切于点 M,MO的延长线交圆O于点N,A为上半圆 弧上一点，过点A作L的垂线，垂足为点B. 市园林局计划在△ABM内进行绿化，设 △ABM的面积为S(单位：m). 10.(多选)北斗卫星导航系统是中国自行研制的 全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类 用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导 路 航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三 号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能 (1)以∠AON=0(rad)为自变量，将S表示 实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某 成0的函数； 语言通讯的传递可以用函数f(x)=cosx十 (2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大 cos5z+cos9工近似模拟其信号，则下列结 5 绿化面积 论中正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π B函数f)的图像关于点（罗0对称 C.对任意x∈R,都有f'(π一x)=f(x) D.函数f'(x)的最小值为一3 11.要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端 14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位： 位面积造价是下底面积的单位面积造价的一 cm)中是瓶子的半径，已知每出售lml的饮 半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱 料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的 侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部 瓶子的最大半径是6cm. 圆柱的底面半径R= 时，造价最低. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润 12.某商店经销一种商品，每件产品的成本为30 最大？ 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ a元(a为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品 的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查， 日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比 例.已知每件产品的日售价为40元时，日销 售量为10件. ·38·参考答案 §7导数的应用 7.1实际问题中导数的意义 7.2实际问题中的最值问题 1.B[因为v'(t)=3t十3，所以当t=ts时的速度变化率 为'(t。)=3t号十3(m/s2).即t=t。s时轿车的加速度为 (3t+3)m/s2.] 2.D[报据题意，V=号R(,S=4R(),所以球的体 积增长速度为V=4πR(t)R'(t),球的表面积的增长速 度为S'=2X4πR(t)R'(t). 又因为球的体积以均匀的速率C增长，所以球的表面积 的增长速度与球的半径成反比，比例系数为2C.] 3.B[设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y= x3+(8-x)3=83-192x十24x2(0≤x≤8)，y=48x- 192.令y=0,即48.x-192=0,解得x=4.当0≤x<4 时，y<0;当4<x≤8时，y'>0.所以当x=4时，y 最小，] 4.D[由题意，得总成本函数为C(x)=20000十100x,总 利润P(x)=R(x)-C(x) x /300x-2-20000,0≤x≤400， (60000-100x,x>400. 所以P(x)= (300-x,0≤x≤400， (-100,x>400. 令P(x)=0,得x=300,易知x=300时，总利润P(x) 最大.] 5.ABC[令上部分的半球半径为R,可得号R- 10√5π，解得R=√5，设小圆锥的底面半径为r,小圆 锥底面中心到球心距离为h,可知r,h和R可构成直角 三角形，即r十公=15，小国维体积V=弓对(h十0) 号15-龙M+60<K, 令f(h)=(15-h2)(h十6)(0<h<√J15),则f(h)= 一3(h十5)·(h一1)，可知f(h)在(0,1)上单调递增，在 (1,√5)上单调递减，所以当h=1时，f(h)最大，f )=D=g,甲V9,甲AC三个选项部满 足题意，故选ABC.] 6.解析：当p=1时，p(t)=1.05,p'(t)=1.05×ln1.05, 所以p'(10)=1.0516×1n1.05=1.63×0.05≈0.08.所 以此时商品的价格上涨的速度是0.08元/年.] 答案：0.08 7,解析：设销售利润为gx,得g)=一日十62 合1-合=日+0-1,当=2时g2) -日×2+是a×2-1=2.5,解得a=2.gx) 日+号-1gx)=-+是=-是(x ·6 课时作业乡 6),.函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递 减.红=6时，函数g(x)取得极大值即最大值。 答案：6 8.解：(1)依题意得y=500(960十0.6x2)=480000+ x 302,函数的定义域为{x0<x≤35}，y=480000+ 300x(0x35). (2)△y=f(20)-f(10)= 480000 20 十300×20- 480000 10 +300×10）=-21000, :义=20-10 -21000 =-2100. △x (3)f(.x)=-480000 22 +300, ∴.f(10)= 48000+300=-4500. 10 f(10)表示当速度x=10 nmile/h时，速度每增加1 nmile/h,每小时的运输成本就要减少4500元. 9.D[因为是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最 后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表 示面积的增速是常数，与实际不符：选项B表示最后时 段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时 段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符； 选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段 增速较快，符合实际，门 10.BCD[A因为y=cos,y=cOs52,y=co,92的周期 5 分别是2x,号，号共最小公倍数为2，所以函数f代） 的最小正周期为2，故A错误：B.因为f(-受) 5π cos() cos() cos-2 =0,故B正确： 5 C.f(x)=-sinx-sin5.x-sin9x=f(π-x),故C正 确D.f(受）-n吾-sin受-sm竖=-3，故D 正确，故选BCD.] 11.解析：设圆柱的高为h,圆柱底面单位面积造价为1，总 造价为，因为储油罐容积为元，所以πRh十专R· 1-2R 1 3 =，整理得：h=R—>0, 所以y=十2xR·十号·4R· 4 当>0得厚>心酒当0得0R<酒 5 所以当R= 时，“取最小值，即y取得最小值. 5 答案： 巴五维课堂 12.解：(1)设日销售量为冬，则么=10，k=10e“,则日 e 售量为10e件。 e 则日利润L(x)=(.x一30一a) 0e=10e°×130-e e e 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价工x元 的函数关系式为L(x)=10e0I一30-a (2)L'(x)=10eo31+a-x e ①当2a≤4时，33≤a十3135， 当35<x<41时，L(x)<0..当x=35时，L(x)取最 大值为10(5-a)e: ②当4<a≤5时，35≤a十31≤36， 令L(x)=0,得x=a十31，易知当x=a十31时，L(x) 取最大值为10e-. 【10(5-a)e,(2≤a≤4) 综上可得L(x)mx= 10e-“,(4<a≤5) 所以当2≤a≤4时，当每件产品的日售价为35元时，L (x)取最大值为10(5-a)e5;当4<a≤5时，每件产品 的日售价为a十31元时，该商品的日利润L(x)最大，最 大值为10e-“. 13.解：(1)由题意知，BM=100sin0,AB=100十100cos6, 故S=2AB·BM=500sinK1+ceos0(0<0<x (2)因为S5000sin(1十cos0)(00π)， 所以S=5000(cos0+cos29-sin8) =5000(2c0s0+cos9-1)=5000(cos0+1)(2cos8-1). 令S=0,得c0s0=号或0s0=-1合).又0e(0, 0,故0=号， 当0<0<号时，2<c0s0K1,S>0,S为增函数： 1 当号<0<元时，-1<c0s0<,S<0,5为减画数. 故当日=正时，S取得极大值，也是最大值，最大值为3 3 750√5，此时AB=150. 即当，点A距路边的距离为150m时，绿化面积最大，最 大面积为3750√3m2. 14.解：由题意可知，每瓶伙料的利润是y=）=0.2X号心 -0.8r=0.8x(后-）0<≤6 所以f'(r)=0.8π(r2-2r) 令f'(r)=0,解得r=2. ·6 数学(BS)·选择性必修第二册 当x∈(0,2)时，f(r)<0;当x∈(2.6)时，f(r)>0. 因此，当半径>2时，∫()>0，f(r)单调递增，即半径 越大，利润越高；当半径2时，f(r)0,f(r)单调递 减，即半径越大，利润越低 (1)半径为6cm时，利润最大 (2)半径2cm时，利润最小，这时f(2)0,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润为负值. f)=0.8π(5-r2） 0123 阝8数学探究话动（二） 探究函数性质 1.C[由题唐可知了x)=-2叶2<0，在xE(-1,十 o)上恒成立，即bx(x十2)在x∈（一1，十∞）上恒成 立，由于x≠一1，所以b≤-1，故C正确.] 2.D[(x-1)f(x)<0,.当x>1时，f'(x)<0,此时 函数f(x)单调递减；当x<1时，f(x)>0,此时函数f (x)单调递增.又f1.9十x)=f(0.1-x),.f(x)=f(2 -)f3)=f2-(-1D]=f(-10,:-1<0<号， f-1D<f0)<f(合)f3)<f0)<f(合) .b>a>c.] 3.B[因为函，数f(x)=e一ax2(x>0)无零，点，所以方程 。-ar2=0在xE(0,十∞)上无解，即a=号在xe(0, 十∞)上无解，令g(x)=(x>0),g(x)=g(红-2 x x 当x>2时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，当0<x<2 时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，所以x=2时，函数g ()有唯一的报小值，也是最小值，国为g(2)=号，所以 gx)≥号若a=二无解，则a<千，故选：B.] 4.B[由题意a≠0，f(x)=3ax2-6.x=0,得x=0或x 名.当a>0时，x)在(-，0)和（径，十∞）上单调递 增，在(0，)上单调递减，且0)=1>0，故x)有小 于0的零点，不符合题意，排除AC.当a<0时，要使x。 ≥0且唯-，只需f(得)>0，即a>4a<-2.]