第2章 7.2 实际问题中的最值问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

7.2　实际问题中的最值问题 1.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为（　　） A.　　B.　　C.　　D.2 2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　） A.π B.π C.π D.π 3.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　） A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝则当总利润P（x）最大时，每年生产产品的单位数是（　　） A.150 B.200 C.250 D.300 5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p（单位：元，p≥20），销售量为Q（单位：件），销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为（　　） A.30 000元 B.60 000元 C.28 000元 D.23 000元 6.〔多选〕用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则（　　） A.长方体的体积V（x）＝（6x2－9x3）m3 B.长方体的最大体积V＝3 m3 C.长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m D.长方体的体积最大时，高为1.5 m 7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝　　　吨. 8.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（L）关于行驶速度x （km/h）的函数关系式可以表示为y＝x3－x＋8，x∈（0，120]，且甲、乙两地相距100 km，则当汽车以　　　　 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少. 9.建造一座长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f（x）＝（x2＋x＋3）（x＞0）. （1）当x从100变到200时，平均每米的成本为　　　　万元； （2）f'（100）＝　　　　　　万元/m，其实际意义为　　　　　　　. 10.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高AO1为x，储粮仓的体积为y. （1）求y关于x的函数解析式；（圆周率用π表示） （2）求AO1为何值时，储粮仓的体积最大. 11.某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（　　） A.5海里 B.海里 C.5海里 D.10海里 12.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元.销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万千克）满足y＝－x3＋ax2＋x（a为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（　　） A.6万千克 B.8万千克 C.7万千克 D.9万千克 13.某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，销售100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为　　　　　件. 14.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式. （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求最小值. 15.现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为（　　） A.1 m B. m C.2 m D.3 m 16.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a（米）之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO'的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价k（万元）（k＞0），问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2　实际问题中的最值问题 1.C　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V（x＞0），∴S'＝（x3－4V）.由S'＝0，得x＝，可判断当x＝时，S取得最小值. 2.A　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.则V'＝lπr－6πr2，令V'＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，∴r＝是其唯一的极值点.∴r＝是其最值点.当0＜r＜时，V'＞0，当＜r＜时，V'＜0，∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π. 3.C　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S'＝2x－，令S'＝0，得x＝8，易判断x＝8是S的最小值点，因此h＝＝4（m）. 4.D　由题意得，总利润P（x）＝ 当0≤x≤390时，令P'（x）＝0，得x＝300，可知当0≤x＜300时，P（x）单调递增，当300＜x≤390时，P（x）单调递减，则x＝300时，P（x）取极大值，P（300）＝40 000，且P（390）＝31 090.又当x＞390时，P（x）＝50 090－100x单调递减，且P（x）＜50 090－100×390＝11 090，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D. 5.D　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30） 也是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.故选D. 6.BCD　若长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝－3x（0＜x＜），故长方体的体积为V（x）＝2x2＝9x2－6x3（0＜x＜），故A错误；从而V'（x）＝18x－18x2＝18x（1－x），令V'（x）＝0，解得x＝1或x＝0（舍去）.当0＜x＜1时，V'（x）＞0；当1＜x＜时，V'（x）＜0，故在x＝1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值，从而最大体积V＝V（1）＝9×12－6×13＝3（m3），此时长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m，故B、C、D正确. 7.20　解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，∴总运费与总存储费之和f（x）＝4n＋4x＝＋4x，令f'（x）＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20（舍去），可判断x＝20是函数f（x）的最小值点，故当x＝20时，f（x）最小. 8.80　解析：当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，设从甲地到乙地的耗油量为s L，依题意得s＝·＝x2＋－（0＜x≤120），则s'＝－＝（0＜x≤120）.令s'＝0，得x＝80，当x∈（0，80）时，s'＜0；当x∈（80，120]时，s'＞0，所以当x＝80时，s取最小值. 9.（1）30.1　（2）20.1　当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元 解析：（1）f（100）＝1 010.3，f（200）＝4 020.3，所以＝30.1（万元/m），即平均每米的成本为30.1 万元. （2）f'（x）＝（2x＋1），所以f'（100）＝20.1，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元. 10.解：（1）∵圆锥和圆柱的底面半径r＝，0＜x＜2， ∴y＝πr2×2＋πr2x＝2π（4－x2）＋π（4－x2）x. 即y＝－πx3－2πx2＋πx＋8π（0＜x＜2）. （2）y'＝－πx2－4πx＋π， 令y'＝－πx2－4πx＋π＝－π（x2＋4x－）＝0（0＜x＜2），得x＝－2＋. 当x变化时，y'，y的变化情况如下表： x －2＋ y' ＋ 0 － y ↗ 极大值 ↘ 故当AO1＝－2＋时，储粮仓的体积最大. 11.B　设BM＝x（0＜x＜100），并设陆地上单位长度的费用为1，则AM＝，MC＝100－x，所以总费用为f（x）＝3＋100－x，则f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，则＜x＜100，即f（x）在上单调递增；令f'（x）＜0，则0＜x＜，即f（x）在上单调递减，所以当x＝时，f（x）取得最小值.故选B. 12.B　设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g（x）万元，则g（x）＝－x3＋ax2＋x－2－x＝－x3＋ax2－2（0＜x≤10）.因为g（3）＝－×33＋a×32－2＝，所以a＝2，则g（x）＝－x3＋2x2－2，求导得g'（x）＝－x2＋4x＝－x（x－8），当x∈（0，8）时，g'（x）＞0，当x∈（8，10）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，8）上单调递增，在（8，10）上单调递减，所以当x＝8时，g（x）取得最大值，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克.故选B. 13.25　解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200（x＞0），y'＝－x2，由y'＝0，得x＝25，当x∈（0，25）时，y'＞0，当x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最大值. 14.解：（1）由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝（0≤x≤10），再由C（0）＝8，得k＝40， 因此C（x）＝. 而建造费用为C1（x）＝6x. 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）. （2）f'（x）＝6－， 令f'（x）＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－（舍去）. 当0≤x＜5时，f'（x）＜0， 当5＜x≤10时，f'（x）＞0， 故x＝5是f（x）的极小值点也是最小值点， 故最小值为f（5）＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元. 15.C　设OO1为x m，则1＜x＜4，设底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为＝（m）， 于是S＝6×（）2＝（8＋2x－x2），所以V＝×（8＋2x－x2）（x－1）＋×（8＋2x－x2）＝（8＋2x－x2）[（x－1）＋3]＝（16＋12x－x3）（1＜x＜4），则V'＝（12－3x2）.令V'＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去）.当1＜x＜2时，V'＞0，V单调递增；当2＜x＜4时，V'＜0，V单调递减.所以当x＝2时，V最大.故选C. 16.解：（1）作AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足. 由条件知，当O'B＝40时， BB1＝－×403＋6×40＝160，则AA1＝160. 由O'A2＝160，得O'A＝80. 所以AB＝O'A＋O'B＝80＋40＝120（米）. （2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）. 设F（x，y2），x∈（0，40）， 则y2＝－x3＋6x， EF＝160－y2＝160＋x3－6x. 因为CE＝80， 所以O'C＝80－x. 设D（x－80，y1），则y1＝（80－x）2， 所以CD＝160－y1＝160－（80－x）2＝－x2＋4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f（x），则 f（x）＝k（160＋x3－6x）＋k（－x2＋4x） ＝k（0＜x＜40）. f'（x）＝k＝x（x－20）， 令f'（x）＝0，得x＝20. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，20） 20 （20，40） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝20时，f（x）取得最小值. 所以当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $