第2章 6.2 函数的极值(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

6.2　函数的极值 1.已知下列各选项是函数y＝f（x）的导函数的图象，则x＝a是函数y＝f（x）的极小值点的是（　　） 2.函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e）上的极大值为（　　） A.－e　　 B.1－e C.－1 D.0 3.若函数f（x）＝x3－3bx＋3在（－1，2）内有极值，则实数b的取值范围是（　　） A.（0，4） B.[0，4） C.[1，4） D.（1，4） 4.若函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.（ 0，） B.（ 0，） C.（ －∞，） D.（ －∞，］ 5.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的单调递增区间是（－2，0），（2，＋∞） B.函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（2，＋∞） C.x＝－2是函数的极小值点 D.x＝2是函数的极小值点 6.〔多选〕对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是（　　） A.x＝3是函数f（x）的一个极值点 B.f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞） C.f（x）在区间（1，2）内单调递减 D.直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有2个交点 7.能说明“若f'（0）＝0，则x＝0是函数y＝f（x）的极值点”为假命题的一个函数是　　　　. 8.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为　　　　. 9.若函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，则a的取值范围是　　　　. 10.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 11.〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf'（x）的图象不可能是（　　） 12.〔多选〕已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，则下列结论正确的是（　　） A.0＜x0＜ B.x0＞ C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0 13.已知函数f（x）＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＝　　　，n＝　　　. 14.已知函数f（x）＝aln x－bx2，a，b∈R，若f（x）在x＝1处与直线y＝－相切. （1）求a，b的值； （2）求f（x）在上的极值. 15.〔多选〕已知函数f（x）＝，则（　　） A.f（x）在x＝e处取得极大值 B.f（x）有两个不同的零点 C.f（x）的极小值点为x＝e D.f（）＜f（）＜f（2） 16.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a. （1）求f（x）的极值； （2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　函数的极值 1.C　在点a的左侧附近，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；在点a的右侧附近，f'（x）＞0时，f（x）单调递增，此时x＝a是函数的极小值点.所以，对于A、B选项，x＝a不是函数y＝f（x）的极值点；对于C选项，x＝a是函数 y＝f（x）的极小值点；对于D选项，x＝a是函数 y＝f（x）的极大值点.故选C. 2.C　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1.令f'（x）＝0，得x＝1.当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝ln 1－1＝0－1＝－1. 3.A　f'（x）＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f（x）在（－1，2）内有极值，∴f'（x）在（－1，2）内有变号零点，∴0≤b＜4.当b＝0时，f（x）＝x3＋3在R上是增函数，没有极值，故选A. 4.A　函数的定义域为（0，＋∞），因为函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f'（x）＝x－1＋＝＝0有两个不同的正根，即x2－x＋a＝0有两个不同的正根，所以解得0＜a＜.故选A. 5.BD　由题意，当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜－2时，f'（x）＞0；即函数f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，因此函数f（x）在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值.故选B、D. 6.AC　f'（x）＝＋2x－10＝（x＞－1），∴当－1＜x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当x＞3时，f'（x）＞0，∴f（x）在（－1，1）内单调递增，在（1，3）内单调递减，在（3，＋∞）内单调递增，故x＝3是f（x）的极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知f（3）＜f（2）＜f（1），而f（2）＝16ln 3－16，又当x→－1时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，故直线y＝16ln 3－16与y＝f（x）的图象有3个交点，故D错误. 7.f（x）＝x5（答案不唯一）　解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.如函数f（x）＝x5，当x＝0时，f'（0）＝5×04＝0，但是f（x）＝x5在R上是增函数，所以x＝0不是函数f（x）＝x5的极值点. 8.0　解析：因为x＞0，f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点. 9.[0，3]　解析：由f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R），得f'（x）＝3x2＋2ax＋a.∵函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，且f'（x）的图象开口向上，∴f'（x）≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3，∴a的取值范围是[0，3] . 10.解：（1）因为f（x）＝aln x＋bx2＋x， 所以f'（x）＝＋2bx＋1（x＞0）. 依题意得f'（1）＝f'（2）＝0，即 解方程组得a＝－，b＝－. （2）由（1）知，f（x）＝－ln x－x2＋x（x＞0）， 故f'（x）＝－－x＋1＝. 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，2）时，f'（x）＞0； 当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＜0. 故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点. 11.ACD　因为f（x）在x＝1处取得极大值，所以可知x＞1时，f'（x）＜0，x＜1时，f'（x）＞0，所以当x＞1时，y＝－xf'（x）＞0，A、C不可能，当0＜x＜1时，y＝－xf'（x）＜0，D不可能，故选A、C、D. 12.AD　∵函数f（x）＝xln x＋x2（x＞0），∴f'（x）＝ln x＋1＋2x，易得f'（x）＝ln x＋1＋2x在（0，＋∞）上是增函数，f'＝＞0，∵当x→0时，f'（x）→－∞，∴0＜x0＜，∴A正确，B错误.∵f'（x0）＝ln x0＋1＋2x0＝0，∴f（x0）＋2x0＝x0ln x0＋＋2x0＝x0（ln x0＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，∴C错误，D正确.故选A、D. 13.2　9　解析：由题可得，f'（x）＝3x2＋6mx＋n， ∴ 解得或当时，f'（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立，不满足题意.故m＝2，n＝9. 14.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－2bx，∵函数f（x）在x＝1处与直线y＝－相切， ∴即解得 （2）由（1）得f（x）＝ln x－x2，f'（x）＝－x＝，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1，∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减， ∴f（x）在上的极大值为f（1）＝－，无极小值. 15.AD　由题意可得函数的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝可得f'（x）＝＝，令f'（x）＝0，解得x＝e.当0＜x＜e时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递减.所以当x＝e时，函数f（x）取得极大值为f（e）＝，无极小值，故选项A正确，选项C不正确；因为f（1）＝＝0，且f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以函数f（x）在（0，e）上有一个零点.当x≥e时，ln x＞0，x＞0，所以f（x）＞0，此时无零点.综上所述，f（x）有一个零点，故选项B不正确；因为0＜＜＜＜e，f（x）在区间（0，e）上单调递增，所以f（）＜f（）＜f（2），故选项D正确.故选A、D. 16.解：（1）f'（x）＝3x2－2x－1. 令f'（x）＝0， 得x＝－或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x － （－，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大 值 ↘ 极小 值 ↗ ∴f（x）的极大值是f＝＋a， 极小值是f（1）＝a－1. （2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0， x取足够小的负数时，有f（x）＜0， ∴曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）极大值＝f＝＋a， f（x）极小值＝f（1）＝a－1. ∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点， ∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0， 即＋a＜0或a－1＞0， ∴a＜－或a＞1， ∴当a∈∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $