第2章 3 导数的计算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§3　导数的计算 1.曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（　　） A.　 B. C. D. 2.下列导数运算正确的是（　　） A.'＝ B.（sin x）'＝－cos x C.（3x）'＝3x D.（ln x）'＝ 3.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 4.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1'（x），…，fn＋1（x）＝fn'（x），n∈[WT][WTHZ]N[WT][WTBX]，则f2 023（x）＝（　　） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 5.〔多选〕下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是（　　） A.f（x）＝ex B.f（x）＝x3 C.f（x）＝ln x D.f（x）＝sin x 6.〔多选〕已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a的值可能为（　　） A.2 B.－2 C. D.4 7.若f（x）＝，且f'（α）＝，则α＝　　　. 8.与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是　　　　　　　　. 9.曲线y＝xn＋1（n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为　　　　　　　，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝　　　　. 10.已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线. （1）求a的值； （2）求过点P与直线l垂直的直线方程. 11.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，可推得若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝（　　） A.f（x） B.－f（x） C.g（x） D.－g（x） 12.〔多选〕在曲线y＝上且切线的倾斜角为π的点的坐标为（　　） A.（1，1） B.（－1，－1） C. D. 13.已知f（x）＝cos x，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0的解集为　　　　. 14.如图，设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长. 15.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝　　　　. 16.已知点A，B（2，1），函数f（x）＝log2x. （1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程； （2）在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　导数的计算 1.D　由题意知，y'＝cos x，当x＝0时，y'＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝. 2.D　'＝－，（sin x）'＝cos x，（3x）'＝3xln 3，（ln x）'＝，故选D. 3.B　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.∴有2条切线. 4.D　f0（x）＝sin x，f1（x）＝f0'（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f1'（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f2'（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f3'（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期.故f2 023（x）＝f3（x）＝－cos x. 5.ABC　若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'（x）＝ex＞0，B中f'（x）＝3x2≥0，C中f'（x）＝（x＞0），故A、B、C中均不存在互相垂直的切线方程.而D中f'（x）＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形，故选A、B、C. 6.BC　f'（x）＝当a＜0时，f'（a）＝3a2＝12，解得a＝－2或a＝2（舍去）；当0＜a＜1时，f'（a）＝＝12，解得a＝.故选B、C. 7.4　解析：因为f'（x）＝，所以f'（α）＝＝，解得α＝4. 8.2x－y－1－ln 2＝0　解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y'＝（ln x）'＝，∴＝2，解得x＝，∴切点的坐标为.故切线方程为y＋ln 2＝2，即2x－y－1－ln 2＝0. 9.y＝（n＋1）x－n　　解析：∵y'＝（n＋1）xn，∴当x＝1时，y'＝n＋1.∴曲线y＝xn＋1（n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），即y＝（n＋1）x－n.令y＝0得x＝，∴xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝. 10.解：（1）因为P在曲线y＝cos x上， 所以a＝cos ＝. （2）因为y'＝－sin x，所以kl＝－sin ＝－. 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－＝， 所以所求直线方程为y－＝， 即y＝x－＋. 11.D　由题知，一个偶函数的导函数是奇函数.因为f（x）是偶函数，所以g（x）是奇函数，所以g（－x）＝－g（x）.故选D. 12.AB　因为y＝，所以y'＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即y'＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）. 13.{x｜x＝2kπ＋，k∈Z}　解析：因为f（x）＝cos x，g（x）＝x，所以关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0为－sin x＋1≤0，得sin x≥1，又因为－1≤sin x≤1，所以sin x＝1，解得x∈{x｜x＝2kπ＋，k∈Z}. 14.解：设P（x0，y0），则＝ . ∵直线l1与l2垂直，则＝－2， ∴直线l2的方程为y－y0＝－2（x－x0）. ∵点P（x0，y0）在曲线y＝上，∴y0＝. 在直线l2的方程中令y＝0， 则－＝－2（x－x0）.∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0. 又xK＝x0，∴KQ＝xQ－xK＝＋x0－x0＝. 15.21　解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 16.解：（1）设切点为（m，log2m）（m＞0）. 因为f（x）＝log2x，所以f'（x）＝. 由题意可得＝，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝（x－e），即y＝x. （2）过点A，B（2，1）的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P（n，log2n），≤n≤2， 则有＝，得n＝. 又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜， 所以在曲线y＝f（x）上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $