第2章 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 1.B　平均变化率＝＝＝－. 2.B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B. 3.B　因为＝ ＝＝Δt＋8－. 当Δt趋于0时，趋于，所以它在4秒末的瞬时速度为米/秒. 4.D　由＞0（x1＞x0≥0）恒成立，可知y＝f（x）单调递增，即盈利增加，又因为平均变化率＝10＞＝1，说明盈利增加的幅度变小，故选D. 5.AC　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大. 6.ABD　该物体从t＝1到t＝3的平均速度是＝＝28，故A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝56＋7Δt趋于56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误；物体在t＝5时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝70＋7Δt趋于70，故D正确. 7.3　解析：＝＝＝a＝3. 8.（1）　（2）　解析：（1）函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝. （2）由函数f（x）的图象知，f（x）＝所以函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝. 9.2　解析：由题意知，＝ ＝＝ ＝2－6t－3Δt. 当Δt趋于0，t＝0时，物体的瞬时变化率为2－6×0＝2，即物体的初速度是2. 10.解：原油温度在x＝x0处的平均变化率为＝ ＝Δx＋2x0－7. 当Δx趋于0时，趋于2x0－7，因此第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.其说明在2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 11.B　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 12.2　解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3（舍）. 13.v1＜v2＜v3　v2＜　解析：由题意，知v1＝＝，v2＝＝，v3＝＝.由题图可知t1＜t2且2t1＞t2，因此v1＝＜v2＝，又t2－2（t2－t1）＝2t1－t2＞0，所以t2＞2（t2－t1），因此v2＝＜v3＝.综上，v1＜v2＜v3.因为v1＋v3－2v2＝s0［＋－］＝s0［－］＝s0［］＝＞0，故v2＜. 14.解：（1）该运动员在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝＝3＋3t0Δt＋（Δt）2＋1. （2）由（1）知，在平均速度表达式3＋3t0Δt＋（Δt）2＋1中，当t0＝6 s，Δt趋于0时，3×62＋3×6Δt＋（Δt）2＋1趋于109，所以该运动员在t＝6 s这一时刻的瞬时速度为109 m/s. （3）由（1）知，当Δt趋于0时，在t1到t1＋Δt这段时间内的平均速度趋于3＋1，即在时刻t1的瞬时速度为3＋1＝28，所以t1＝3 s. 所以该运动员瞬时速度为28 m/s的时刻为3 s. 15.D　不妨设点A固定，点B从点A出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着点B的继续旋转，弓形面积的变化越来越慢.由上可知函数y＝f（x）的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确. 16.解：（1）由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s，所以＝＝＝＝（m/s）. （2）由题图可知在t＝12 s附近，乙跑的路程的改变量比甲大，所以乙的斜率大于甲的斜率，所以v甲＜v乙，所以在接近终点时乙的速度更快. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 1.函数y＝f（x）＝在区间[1，8]上的平均变化率为（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且该物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 3.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度为（　　） A. 米/秒 B. 米/秒 C.8 米/秒 D. 米/秒 4.某公司的盈利y（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系是y＝f（x），假设＞0（x1＞x0≥0）恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天相比（　　） A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 5.〔多选〕物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（　　） A.在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 6.〔多选〕已知某物体做直线运动，位移s与时间t的函数关系为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则（　　） A.从t＝1到t＝3该物体的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 7.已知函数f（x）＝ax＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3，则实数a＝　　　　. 8.如图是函数y＝f（x）的图象. （1）函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为　　　　； （2）函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为　　　　. 9.一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是　　　　. 10.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t），W2（t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（　　） A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 12.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为　　　　. 13.小明从家到学校行走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系表示如图，记小明在区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则v1，v2，v3的大小关系为　　　　（用“＜”连接），与v2的大小关系为　　　　（用“＜”连接）. 14.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式s＝t3＋t，求： （1）该运动员在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； （2）该运动员在t＝6 s这一时刻的瞬时速度； （3）该运动员瞬时速度为28 m/s的时刻t1. 15.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积（阴影部分）的2倍，则函数y＝f（x）的图象是（　　） 　　　　　　 16.已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示. （1）甲、乙两人的平均速度各是多少？ （2）在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $