2.1.1 平均变化率&2.1.2 瞬时变化率-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[13] A组·基础自测 1.D由题意，可得平均变化率 f+△x)-f6)_2(+Ax)-2=2, △x △x 故选D 2B由已知得m-1-(-1=3, m-1 .m-1≠0，∴.m+1=3,.∴.m=2. AB阴袋4+户4-16是 △t At (△）)2+8△t+44+△0=△+8-16+4Ai -3△t 3 △t 所以当4趋近于0时，合趋近于需 4B日=5)-s( t1-to 2=6,5=）二6①=，5= t2-t1 s()-s）=kc,由图象知kh<kB<kc,选B. t3-t2 5ABDA项该物体在1≤t≤3时的平均速度是(3）-s山 3-1 71,15=28,A正确：B项，=4+)-s(4=56+74, 2 △t △t 当山趋向于0时，岩趋向于56，放B正确：C项，当1=5时。 s()有最大值，s()=s(5)=183,C错误：D项， △t = 75+28-7x53-8-74+70,当4趋向于0时，趋 △t 向于70，D正确. 6.0y1+4-0-1+A-21+4)+=Ax,当Ax趋近 △x △x △x 于0时，瞬时变化率趋近于0. 7.1f1+A0-f-2a1+△)+4-2a-4=2a,2a=2, △x △x ..a=1. 8.[x3,x4]由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间 [,2],[2,x],[x3,x4]上的平均变化率分别为： f代)-fx))-ff）f代，结合图象可以发 X2-X1 x4-x3 现函数y=f孔x)的平均变化率最大的一个区间是[x,x4]. 9.因为f(x）=3x2+2,所以f()=3x后+2，f(x0+△x)= 3(x+△x)2+2=3x后+6x△x+3(△x)2+2, 则f(x+△x)-fxo)=6xAx+3(4x)2, 故f(x)在区间[o,,+△x]上的平均变化率为 f(xo+Ax)-f(）6x△x+3(△x)2 =6x0+3△x,则当x。=2, （x0+△x)-x0 △x △x=0.1时，平均变化率为6×2+3×0.1=12.3. 10()当x从200变到20时，总成木e从c(20)=120+0 20-540(元)变到c(20)=120+0+0=626(元). 200 此时总成本c关于产量x的平均变化率为 -19 220-53001-”=43(元/件). 220-200 它表示产量x从200件变到220件时平均多生产一件产品 时，总成本平均增加4.3元 (2)在x=200处的平均变化率为 120+0(290+a4)+1高20+4)2-120-0×200-高×20 1 △x =41+品当△趋于0时会趋于41元/件 即x=200时的瞬时变化率为4.1元/件，它指的是当产量为 200件时，每多生产一件产品，成本需增加4.1元 B组·能力提升 1.A4=s(。+A)-s(o)-1 △t △t 2 a+alo, 当4山趋近于0时，分趋近于：故选A 2.B=2)-0=7-1=-7 1 2-1 3.AB根据题意，函数f(x)=x3-1在x1=1和2=m之间的 平均变化率为 △y=(m-1)-('-=m2+m+1, △x m-1 则有m+m+1=7,即m+m-6=0, 解得m=-3或2. 4.1515在2≤t≤3这段时间内，△s=(3×32+1)-(3×22+ 0=15岁5=15 4s=3(2.5+A)2+1-3×2.52-1 At At =15+3At, .当△t趋于0时， 趋于15， 5.4设t=to时，瞬时速度为0， △s_[(t。+△)3-6(+At)2+5]-(6-66+5) At △t =(△)'+(3。-6)(A)2+(3-12)△t △t =(△t)2+(3t-6)△t+3t6-12t 当△t趋近于0时，3t6-12t。=0, ∴.to=0或to=4. 又t0>0,∴.to=4,∴.t=4时的瞬时速度为0. 6.（1).物体在t∈[3,5]内的时间变化量为△t=5-3=2, 位移变化量为△s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32) =48. ∴.物体在te[3,5]内的平均速度为 -9-24(mws (2)求物体的初速度。，即求物体在t=0时的瞬时速度 物体在t=0附近位移的平均变化率为A-0+)二f0】 △t 29+3[(0+△t)-3]2-29-3(0-3)2 △t =3△t-18, 当△趋近于0时，分趋近于-18， 物体在t=0处位移的瞬时变化率为-18， 即物体的初速度vo=-18m/s. (3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时 变化率. ·.:物体在t=1附近位移的平均变化率为 s-f1+△t)-f1) △t △t 29+3[1+△)-32-29-31-3-=34-12， △t 当△趋近于0时，会趋近于-2， 即物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s. C组·创新拓展 D0min到10min的降雨强度为5-0=3： 10-0=59 10min到30mim的降雨强度为18-6=3。 30-10=59 30min到50min的降雨强度为0-30=4： 23-181 50min到60mim的降雨强度为2A-23=人 60-50-10 因为品<子<}所以四个时段中50min到60min的降雨 强度最小 练案[14] A组·基础自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B 2.C抛物线与其切线只有一个公共点，故点P为切，点设y=f代x),过 1+4-2(-7×-2 点P的切线斜率为f'(1)=lim △x =-1.所以过点P的切线的倾斜角为135° 3.C f'(0)=lim (0+△x)2-3(0+△x)-0+3×0 △x =limAx):-3A=lim (Ax-3)=-3. 40△x △r0 4D直线1的方程为子+子=1，即x+y-4=0 又由题意可知f代2)=2，f'(2)=-1, 所以f2)+f'(2)=2-1=1. 5.AD因为f(x)=x3,设切点(xo,x).则 =+4)- △x =im[3a6+3(Ax)+(4x)2]=36, 所以在x=处的切线方程为y-=3x后(x-x), 把点(2,0)代入并解得xo=0或xo=3 当x=0时，切线方程为y=0;当x。=3时，切点为(3,27)，斜 率k=27,故切线方程为y-27=27(x-3),整理为27x-y- 54=0. 6.-1因为函数代x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函 数f代x)在点(1，f(1))处的切线斜率与在点(-1，f(-1))处 -19 的切线斜率相反，故曲线在点(-1，(-1))处的切线斜率为 -1. 7.2-3 Ar=+A)f) △x △x m(+Ax)n-(mn)=mAx +2mx, △x 故'(x)=8=吗(mAx+2m)=2m=4 所以m=2.又f1)=-1,即2+n=-1, 所以n=-3,故m=2,n=-3. 8.-7设点P(xo,2x+a).由导数的几何意义可得f'(xo)= =念上2西t如i2@-4-、2 △x P(2,8+a).将x=2,y=8+a代入8x-y-15=0,得a= -7. 9.因为f'(a）=ima+△)°-a=3a2,所以曲线在(a,d)处 4x-0△x 的切线方程为y-a=3a2(x-a),切线与x轴的交点 为号. 所以三角形的面积为口-子1d1-石，得a=±1 10.将点P(2,-1)代人y=,1,得=1， t-x 所以y=1-x y=lim=im 1-(x+Ax)1-x △x △x △x =i1-(x+A](1-x)A 1 1 =(1-x-A)(1-)(1-x)2 (1)曲线在点P处的切线斜率为y1:=1-2疗=1： 曲线在点0处的切线斜率为)八1=子 (2)曲线在点P处的切线方程为y-（-1)=x-2, 即x-y-3=0, 曲线在点Q处的切线方程为y-了=子[x-(-1], 即x-4y+3=0. B组·能力提升 1.D根据题意得f'(1)=imf1)-1-△2 0 △x 因为0出=号×=0--D =-1,所以f'(1)=-2. 2.D42+2a1点 1。 】 四之=四141，斜*为-1，倾斜角为得 3.B由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2] 的斜率越来越大，2)山=a,f'(1)<a<f'(2),故 2-1 选B.练案[13] 第二章 导数及其应用 §1[1.1平均变化率1.2 瞬时变化率] 九组·基础自测 :7.设f(x)=2ax+4,若f(x)在(1，f(1)处的瞬 时变化率为2，则a= 一、选择题 1.函数y=2x在区间[xo,x,+△x]上的平均变化 8.如图所示，函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3], 率为 ( [x3,x4]这几个区间内，平均变化率最大的 个区间是 A.xo+△x B.1+△x C.2+△x D.2 2.函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变 化率为3，则实数m的值为 X3 A.3 B.2 C.1 D.4 三、解答题 3.某物体做直线运动，其运动规律是、=P+三(19.已知函数f(x)=3x+2,求函数(x)在区间 的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的 [xo,x,+△x]上的平均变化率，并求当xo=2, 瞬时速度为 △x=0.1时平均变化率的值， ( 1米秒 B米称 C.8米/秒 D平米/秒 4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如 图，在时间段[6,1]，[t1,2],[t2,3]上的平均 速度分别为1，巧，，则三者的大小关系为 B 06461 A.U1>v2> B.u3>2>u1 C.2>U1>3 D.2>3>U1 5.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)=7t+ 8(0≤t≤5)，则 A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 二、填空题 6.由瞬时变化率的研究方法可求得，函数 f代x)=x2-2x在x=1处的瞬时变化率为 —126 10.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=:5.若某物体的运动规律是s=?-62+5(t>0), 120+。+60总成本的单位是元 则在t= 时的瞬时速度为0. 三、解答题 (1)当x从200变到220时，总成本c关于产6.若一物体运动方程如下：（位移s:m,时间t:s) 量x的平均变化率是多少？它代表什么实际 29+3(t-3)2,0≤t<3, s=f(t)= 意义？ 32+2,t≥3. (2)求x=200时的瞬时变化率，并解释它代： 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； 表什么实际意义。 (2)物体的初速度vo; (3)物体在t=1时的瞬时速度， 乃组·能力提升 一、选择题 1.一物体的运动方程是s=)d(a为常数)，则 该物体在t=o时的瞬时速度是 A.ato B.-ato C. D.2ato ;i 2.一质点按运动方程s()=做直线运动，则其 石组·创新拓展 从t1=1到t2=2的平均速度为 在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变 A.-1 C.-2 D.2 化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨 大小的一个重要指标.如表为一次降雨过程中 3.（多选)函数f(x)=x3-1在x1=1和x2=m 记录的降雨量数据， 之间的平均变化率为7，则m的值为() A.2 B.-3 C.4 D.5 时间t/min 01020304050 60 二、填空题 降雨量y/mm061418202324 4.一辆汽车在起步的前10秒内，按s=32+1做 则下列四个时段降雨强度最小的是（ 直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速 A.0min到l0min B.10min到30min 度是 ;在t=2.5时的瞬时速度是 C.30min到50min D.50min到60min —127