第1章 4 数列在日常经济生活中的应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 1.某县2025年12月末人口总数为57万，假如从2026年1月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2026年12月末为止人口总数为57.24万，则2026年10月末的人口总数为（　　） A.57.1万 B.57.2万 C.57.22万 D.57.23万 2.某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10％，那么总利润达3亿元时大约还需要（参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.04，lg 1.6≈0.20）（　　） A.4年 B.7年 C.12年 D.50年 3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（　　） A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 4.〔多选〕参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还一次款且还款数为X万元，则（　　） A.X＝ B.小郭第3年还款的现值为万元 C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 5.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留　　　　毫克. 6.某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25％，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50％（扣除消费基金后）的目标，那么每年应扣除消费基金　　　　万元. 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为　　　　元. 8.甲计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10％，第十年年底甲一次性将本金和利息取回，则甲共可以取得　　　　万元（结果用数字作答）. 参考数据：1.19≈2.36，1.110≈2.59，1.111≈2.85. 9.张先生2020年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳. （1）若张先生第一年（即2021年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？ （2）若种植的林木第一年（即2021年）生长了1立方米，以后每年以10％的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据： 1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0）？ *§5　数学归纳法 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N＋），第一步验证（　　） A.n＝1　　　　　　　　B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　） A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2（k＋2）时等式成立 3.某命题与自然数有关，如果当n＝k（k∈N＋）时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得（　　） A.当n＝6时，该命题不成立 B.当n＝6时，该命题成立 C.当n＝4时，该命题不成立 D.当n＝4时，该命题成立 4.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N＋）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　） A.（k＋3）3 B.（k＋2）3 C.（k＋1）3 D.（k＋1）3＋（k＋2）3 5.〔多选〕对于不等式 ＜n＋1（n∈N＋），某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. ②假设n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A.证明过程全都正确 B.当n＝1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 6.〔多选〕设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋1成立时，总有f（k＋1）≥k＋2成立.下列命题总成立的是（　　） A.若f（6）＜7成立，则f（5）＜6成立 B.若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k＋1成立 C.若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立 D.若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立 7.记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋　　　　. 8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　　　. 9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　. 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §4　数列在日常经济生活中的应用 1.B　根据题意，该县2025年12月末人口总数为57万，从2026年1月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的人口总数为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d，又由到2026年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02，2026年10月末的人口总数为a11＝a1＋10d＝57.2.故选B. 2.A　根据题意，每年的利润构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10％＝1.1，Sn＝30 000，于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故还需要4年.故选A. 3.C　从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴解得a1＝13.5，d＝－1，∴小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.故选C. 4.BD　因为小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，所以小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误；每年应还X元，还款10次，则小郭10年还款的本金与利息和为X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]，银行贷款A万元10年后的本利和为A（1＋r）10.所以X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]＝A（1＋r）10，所以X·＝A（1＋r）10，即X＝，故A错误；设小郭第三年还款的现值为y，则y·（1＋r）3＝X，所以y＝，故B正确；故选B、D. 5.343.2　解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×（1－60％）＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×（1－60％）＝343.2. 6.S　解析：经过1年后拥有的资金：S×（1＋0.25）－x，经过2年后拥有的资金：[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x，为实现经过2年资金增长50％（扣除消费基金后），有[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x＝1.5S，解得x＝S. 7.78ar　解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 8.305　解析：依题意，甲每年向该公司投资的金额构成以10为首项，2为公差的等差数列{an}，n∈N＋，1≤n≤10，an＝10＋2（n－1）＝2n＋8，因此每年的投资到第十年年底的本息和为bn＝an×1.111－n＝（2n＋8）×1.111－n，设10次投资到第十年年底本金和利息总和为S，则S＝28×1.1＋26×1.12＋24×1.13＋…＋12×1.19＋10×1.110，于是得1.1S＝28×1.12＋26×1.13＋24×1.14＋…＋12×1.110＋10×1.111，两式相减得－0.1S＝28×1.1－2（1.12＋1.13＋…＋1.19＋1.110）－10×1.111＝30.8－2×－10×1.111＝55－30×1.111，则有S＝300×1.111－550≈300×2.85－550＝305，所以甲共可以取得305万元. 9.解：（1）设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an， 则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…， 显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列， 记其前n项和为Sn，则S10＝10×4＋×＝55， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. （2）记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn（n∈N＋ ）， 则b1＝1×1.8，b2＝1×（1＋10％）×1.8，b3＝1×（1＋10％）2×1.8，…， 显然其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列， 记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝＝18×（1.1n－1）≥55， 即1.1n≥1＋≈4.06，结合参考数据解得n≥15. 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $