第1章 4 数列在日常经济生活中的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 课标要求 了解并掌握等差数列，等比数列在日常经济生活中的应用（数学建模、数学运算）. 　　一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活. 【问题】　面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择什么样的方式更好吗？ 知识点　单利、复利 1.单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息　不再计算利息　，其公式为：利息＝　本金×利率×存期　.以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有　S＝P（1＋nr）　. 2.复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是　S＝P（1＋r）n　. 1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b％，则n年后这批设备的价值为（　　） A.na（1－b％）　　　　　 B.a（1－nb％） C.a[1－（b％）n] D.a（1－b％）n 解析：D　依题意可知第一年后的价值为a（1－b％），第二年后的价值为a（1－b％）2，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项为a（1－b％），公比为1－b％，所以n年后这批设备的价值为a（1－b％）n.故选D. 2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m.那么从开始运动几分钟后第二次相遇（　　） A.5 B.7 C.15 D.18 解析：C　设n分钟后第2次相遇，依题意：2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－6×70＝0，解得n＝15，n＝－28（舍去）.故第2次相遇是在开始运动后15分钟.故选C. 3.银行一年定期的存款利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后到期本利共　a（1＋p）10　元. 解析：由题意知，第一年本利和为：a（1＋p）元，第二年本利和为：a（1＋p）（1＋p）＝a（1＋p）2元，第三年本利和为：a（1＋p）2（1＋p）＝a（1＋p）3元，以此类推，第十年本利和为：a（1＋p）10元. 题型一｜零存整取模型（单利计算问题） 【例1】　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月定时存入一笔相同的金额，这是零存；到约定日期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×［存期＋存期×（存期＋1）×利率］. （1）试解释这个本利和公式； 解：（1）设每期存入金额A， 每期利率P，存入期数为n，则各期利息之和为AP＋2AP＋3AP＋…＋nAP＝n（n＋1）AP. 连同本金，就得：本利和＝nA＋n（n＋1）AP＝A. （2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？ 解：（2）当A＝100， p＝5.1‰， n＝12时，本利和＝100×＝1 239.78（元）. （3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？ 解：（3）将（1）中公式变形得A＝ ＝≈161.32（元）. 即每月应存入161.32元. 通性通法 　　单利的计算问题是等差数列模型的应用，求解时按照等差数列模型确立相应的基本量. 【跟踪训练】 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. （1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ （2）若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？ （精确到1元） 解：（1）设王先生每月存入A元，则有A（1＋2.7‰）＋A（1＋2×2.7‰）＋…＋A（1＋36×2.7‰）＝20 000，利用等差数列前n项和公式，得A（ 36＋36×2.7‰ ＋×2.7‰）＝20 000，解得A≈529元. （2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555（元），此时3年后的本息和为：555（1＋2.7‰）＋555（1＋2.7‰）＋…＋555（1＋36×2.7‰）＝555（ 36 ＋ 36×2.7‰ ＋×2.7‰）≈20 978（元）. 题型二｜定期自动转存模型（复利计算问题） 【例2】　用10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ 解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}， 则{an}是等比数列，首项a1＝104（1＋0.400％），公比q＝1＋0.400％， 所以a12＝ 104（1＋0.400％）12≈10 490.7. 所以12个月后的利息为10 490.7－104≈491（元） . （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10－5）？ 解：（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝ 104（1＋r），公比为1＋r，于是b4＝ 104（1＋r）4. 因此以季度复利计息，存4个季度后的利息为元. 解不等式104（1＋r）4－104≥491， 所以（1＋r）4－1≥0.0491，所以（1＋r）4≥1.049 1，所以1＋r≥，所以r≥1.206％. 所以当季度利率不小于1.206％时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 通性通法 　　复利的计算问题是等比数列问题的实际应用，求解时注意建立等比数列模型. 【跟踪训练】 某人从2019年起，每年7月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数. 解：依题意每一年的本息和构成数列{an}，则2019年7月1日存入的a元钱到2020年6月30日所得本息和为a1＝a（1＋r）. 同理，到2021年6月30日所得本息和为a2＝[a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）2＋a（1＋r）， 到2022年6月30日所得本息和为[a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）， 到2023年6月30日所得本息和为[a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）， 到2024年6月30日所得本息和为[a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）5＋a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）， 所以2024年7月1日他可取回的钱数为a（1＋r）5＋a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r） ＝a· ＝（元）. 题型三｜分期付款模型 【例3】　用分期付款的方式购买一件家用电器， 其价格为1 150元.购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？ 解：购买时付款150元，欠1 000元，以后每月付款50元，分20次付清.设每月付款数顺次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1％＝60， a2＝50＋（1 000－50）×1％＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋（1 000－50×2）×1％＝59＝60－0.5×2， …… a10＝50＋（1 000－50×9）×1％＝55.5＝60－0.5×9， 则an＝60－0.5（n－1）＝－0.5n＋60.5（1≤n≤20）. 所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以付款总数为S20＋150＝20×60＋×（－0.5）＋150＝1 255（元）. 所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了1 255元. 通性通法 　　解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息. 【跟踪训练】 某人于2025年 8月 20日从银行贷款a元，为还清这笔贷款，他从2026年起每年的8月20日便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息（复利：将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则此人每年的偿还金额是（　　） A.元 B.元 C.元 D.元 解析：D　设每年偿还的金额为x元，则a（1＋p）m＝x＋x（1＋p）＋x（1＋p）2＋…＋x（1＋p）m－1，所以a（1＋p）m＝x［］，解得x＝.故选D. 1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是（　　） A.5（1＋2＋3＋…＋12）元 B.5（1＋2＋3＋…＋11）元 C.1 000元 D.1 000元 解析：A　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A. 2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（　　） A.b＝　　　　　　　 B.b＝ C.b＝ D.＜b＜ 解析：D　因为b（1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511）＝a（1＋0.005）12，所以12b＜a（1＋0.005）12，所以b＜，显然12b＞a，即＜b＜. 3.若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50％的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a≈　200　 （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，1－0.511≈0.999 5）. 解析：由题意可知，a＋a×50％＋a×（50％）2＋…＋a×（50％）10＝＝400，解得a≈200. 4.某厂2024年的产值为a万元，预计产值每年以n％递增，则该厂到2035年末的产值（单位：万元）是　a·（1＋n％）11　. 解析：∵2024年的产值为a万元，预计产值每年以n％递增，则每一年的产值构成以a为首项，以1＋n％为公比的等比数列，∴a2 035＝a2 024·（1＋n％）11＝a·（1＋n％）11. 1.某县2025年12月末人口总数为57万，假如从2026年1月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2026年12月末为止人口总数为57.24万，则2026年10月末的人口总数为（　　） A.57.1万 B.57.2万 C.57.22万 D.57.23万 解析：B　根据题意，该县2025年12月末人口总数为57万，从2026年1月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的人口总数为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d，又由到2026年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02，2026年10月末的人口总数为a11＝a1＋10d＝57.2.故选B. 2.某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10％，那么总利润达3亿元时大约还需要（参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.04，lg 1.6≈0.20）（　　） A.4年 B.7年 C.12年 D.50年 解析：A　根据题意，每年的利润构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10％＝1.1，Sn＝30 000，于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故还需要4年.故选A. 3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（　　） A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 解析：C　从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴解得a1＝13.5，d＝－1，∴小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.故选C. 4.〔多选〕参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还一次款且还款数为X万元，则（　　） A.X＝ B.小郭第3年还款的现值为万元 C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 解析：BD　因为小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，所以小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误；每年应还X元，还款10次，则小郭10年还款的本金与利息和为X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]，银行贷款A万元10年后的本利和为A（1＋r）10.所以X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]＝A（1＋r）10，所以X·＝A（1＋r）10，即X＝，故A错误；设小郭第三年还款的现值为y，则y·（1＋r）3＝X，所以y＝，故B正确；故选B、D. 5.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留　343.2　毫克. 解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×（1－60％）＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×（1－60％）＝343.2. 6.某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25％，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50％（扣除消费基金后）的目标，那么每年应扣除消费基金　S　万元. 解析：经过1年后拥有的资金：S×（1＋0.25）－x，经过2年后拥有的资金：[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x，为实现经过2年资金增长50％（扣除消费基金后），有[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x＝1.5S，解得x＝S. 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为　78ar　元. 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 8.甲计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10％，第十年年底甲一次性将本金和利息取回，则甲共可以取得　305　万元（结果用数字作答）. 参考数据：1.19≈2.36，1.110≈2.59，1.111≈2.85. 解析：依题意，甲每年向该公司投资的金额构成以10为首项，2为公差的等差数列{an}，n∈N＋，1≤n≤10，an＝10＋2（n－1）＝2n＋8，因此每年的投资到第十年年底的本息和为bn＝an×1.111－n＝（2n＋8）×1.111－n，设10次投资到第十年年底本金和利息总和为S，则S＝28×1.1＋26×1.12＋24×1.13＋…＋12×1.19＋10×1.110，于是得1.1S＝28×1.12＋26×1.13＋24×1.14＋…＋12×1.110＋10×1.111，两式相减得－0.1S＝28×1.1－2（1.12＋1.13＋…＋1.19＋1.110）－10×1.111＝30.8－2×－10×1.111＝55－30×1.111，则有S＝300×1.111－550≈300×2.85－550＝305，所以甲共可以取得305万元. 9.张先生2020年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳. （1）若张先生第一年（即2021年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1 000公里，则该轿车使用10 年共要排放二氧化碳多少吨？ （2）若种植的林木第一年（即2021年）生长了1立方米，以后每年以10％的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据： 1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0）？ 解：（1）设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an， 则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…，显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列， 记其前n项和为Sn，则S10＝10×4＋×＝55， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. （2）记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn（n∈N＋ ）， 则b1＝1×1.8，b2＝1×（1＋10％）×1.8，b3＝1×（1＋10％）2×1.8，…， 显然其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列，记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝＝18×（1.1n－1）≥55， 即1.1n≥1＋≈4.06，结合参考数据解得n≥15. 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $