第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等比数列的前n项和公式 1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100＝（　　） A.4－2100　 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝（　　） A. B.－ C. D. 3.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个数为（　　） A.64 B.128 C.224 D.512 4.在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则＋＋…＋＝（　　） A.（3n－1）2 B.（27n－1） C.（3n－1） D.27n－1 5.〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则（　　） A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8 C.＝8 D.＝9 6.〔多选〕在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是（　　） A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 7.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝　　　　. 8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝　　　　，a1＝　　　　. 9.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为　　　　，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N＋）＝　　　　. 10.已知公比大于1的等比数列{an}满足a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. （1）求{an}的通项公式； （2）求－a1a2＋a2a3－…＋（－1）nanan＋1. 11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2，2a5，3a8成等差数列，则＝（　　） A.或 B.或3 C. D.或 12.设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 024，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为（　　） A.1 673 B.1 675 C. D. 13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q＞1，若a2＝2，S3＝7.则数列{an}的通项公式an＝　　　　，＋＋…＋＝　　　　. 14.（1）设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn（n∈N＋），且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20； （2）设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求＋＋＋…＋. 15.设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝，an＝f（n）（n∈N＋），则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上. （1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ （2）在（1）的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　等比数列的前n项和 第一课时　等比数列的前n项和公式 1.C　q＝＝.S100＝＝＝4（1－2－100）＝4－2－98. 2.A　易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8（S9－S6）＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 3.B　设最下层的浮雕像的数量为a1，依题意有公比q＝2，n＝7，S7＝＝1 016，解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2（1≤n≤7，n∈N＋），所以a5＝27＝128. 4.B　设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则当n≥2时，Sn－1＝3n－1－1，故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，又a1＝2，所以an＝2×3n－1，所以＋＋…＋＝＝. 5.AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故选A、D. 6.ABC　∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1（1＋q3）＝18，a1（q＋q2）＝12，又公比q为整数，故a1＝q＝2，故A正确.易得an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，∴Sn＋2＝2n＋1，∴数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确.S8＝29－2＝510，故C正确.lg an＝lg 2n＝nlg 2，数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选A、B、C. 7.－2　解析：Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2. 8.5　3　解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得解得 9.an＝4×　×　解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×＝＝×. 10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1）， 则解得 所以an＝2·2n－1＝2n. （2）令bn＝（－1）nanan＋1， 则＝＝－4， 又b1＝－a1a2＝－8，所以数列{bn}是首项为－8，公比为－4的等比数列， 所以－a1a2＋a2a3－…＋（－1）nanan＋1＝＝. 11.A　由条件得a2＋3a8＝4a5，即a2＋3a2q6＝4a2q3，即3q6－4q3＋1＝0，解得q3＝1或q3＝.当q3＝1时，q＝1，S6＝2S3，则＝；当q3＝时，＝＝＝＝. 12.D　因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 024，所以＝2 024，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 024，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为 ＝＝. 13.2n－1　　解析：∵a2＝2，S3＝7，由S3＝＋2＋2q＝7，解得q＝2或q＝，又∵q＞1，∴q＝2，故a1＝1，∴an＝2n－1，∴＝4n－1，∴＋＋…＋＝＝. 14.解：（1）∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2（2xn）， ∴xn＋1＝2xn，且xn＞0， ∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250. （2）设数列{bn}的公比为q，则q＝2， ∵＝＝＝2， ∴{}是首项为b2＝2，公比为2的等比数列. ∴＋＋…＋＝＝126. 15.1－　解析：令x＝n，y＝1，则f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f（n），∴＝＝f（1）＝a1＝，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴Sn＝＝1－. 16.解：（1）因为点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3（Sn－Sn－1）⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. （2）由（1），可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n）＝＋. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $