第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一课时　等差数列的前n项和公式 1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm＝（　　） A.2 300　 B.2 400 C.2 600 D.2 500 2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（　　） A.18 B.20 C.22 D.24 3.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为（　　） A.55 B.52 C.39 D.26 5.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为（　　） A.765 B.665 C.763 D.663 6.〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有（　　） A.a15＝0 B.当且仅当n＝15时，Sn取得最小值 C.a10＋a22＞0 D.当Sn＞0时，n的最小值为29 7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝　　　　，公差d＝　　　　. 8.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝　　　　. 9.设正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝（an＋1）2，则数列{an}的通项公式为　　　　. 10.已知数列{an}是等差数列. （1）若a1＝7，a50＝101，求S50； （2）若a1＝2，a2＝，求S10； （3）若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n. 11.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（　　） A.10 min B.13 min C.15 min D.20 min 12.〔多选〕已知等差数列的前n项和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则下列说法正确的有（　　） A.a6＜0 B.a7＜0 C.a6＋a7＜0 D.a6＋a7＞0 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200＝　　　　. 14.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？ 15.已知数列{an}满足an＝2n－1，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为（　　） A.211 B.232 C.247 D.256 16.已知函数f（x）＝x2＋x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N＋）均在函数f（x）的图象上，函数g（x）＝. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求g（x）＋g（1－x）的值； （3）令bn＝g（ ）（n∈N＋），求数列{bn}的前200项和T200. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式 1.D　法一　由am＝a1＋（m－1）d，得99＝1＋（m－1）×2，解得m＝50，所以Sm＝S50＝50×1＋×2＝2 500. 法二　同法一，得m＝50，所以Sm＝S50＝＝＝2 500.故选D. 2.B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20. 3.B　由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8. 4.B　由题意可知{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋d＝390，解得d＝，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52. 5.B　因为a1＝2，d＝7，2＋（n－1）×7＜100，所以n＜15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.故选B. 6.AC　∵数列{an}是等差数列，且S9＝S20，∴a10＋a11＋…＋a20＝11a15＝0，即a15＝0，故选项A正确；∵d＞0，∴当n≤14时，an＜0，当n≥16时，an＞0，故当n＝14或n＝15时，Sn取得最小值，故选项B错误；a10＋a22＝2a16＞0，故选项C正确；∵S29＝29a15＝0，故选项D错误.故选A、C. 7.1　　解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6①，S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10②，由①②联立解得a1＝1，d＝. 8.－　解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn·Sn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以{}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝（－1）＋（n－1）·（－1）＝－n，所以Sn＝－. 9.an＝2n－1　解析：令n＝1，得a1＝S1＝（a1＋1）2，解得a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（an＋1）2－（an－1＋1）2，即（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.因为an＞0，所以an＋an－1≠0，于是有an－an－1＝2.所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. 10.解：（1）因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700. （2）因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝. （3）把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×. 整理，得n2－7n－60＝0. 解得n＝12或n＝－5（舍去）. 所以n＝12. 11.C　由题设条件知，火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项，2为公差的等差数列，设其前n项和为Sn，则Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n（n＋1）＝240，解得n＝15或n＝－16（舍去）. 12.BD　由题知，S13＝13a7＜0，S12＝＝6（a6＋a7）＞0，所以a7＜0，a6＋a7＞0.故选B、D. 13.100　解析：A，B，C三点共线⇔a1＋a200＝1，∴S200＝（a1＋a200）＝100. 14.解：由题意知汽车逐趟（由近及远）往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}， 则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17 500. 由等差数列的通项公式及前n项和公式，得 由①得a1＝3 400－300n. 代入②得n（3 400－300n）＋150n（n－1）－17 500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0， 解得n＝10或n＝（舍去）， 所以a1＝3 400－300×10＝400. 故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30（根），最近的一趟往返行程400 m， 第一根电线杆距离电站×400－100＝100（m）. 所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m. 15.D　依题意，到an为止，新的数列{bn}共有1＋2＋3＋…＋n＝项，由于＝91，即截止到a13共有91项，故数列{bn}的前100项和为×13＋×12＋9＝256.故选D. 16.解：（1）因为点（n，Sn）均在函数f（x）的图象上， 所以Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n； 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝n. （2）因为g（x）＝， 所以g（1－x）＝＝， 所以g（x）＋g（1－x）＝1. （3）由（1）知an＝n，所以bn＝g（ ）. 所以T200＝b1＋b2＋…＋b200＝g（ ）＋g（ ）＋…＋g（ ），① 又T200＝b200＋b199＋…＋b1＝g（ ）＋g（ ）＋…＋g（ ），② ①＋②，得2T200＝g（ ）＋g（ ）＋g（ ）＋g（ ）＋…＋g（ ）＋g（ ）＝200×1＝200， 所以T200＝100. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $