第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二课时　等比数列的性质 1.“m＝4”是“m为2与8的等比中项”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝（　　） A.6　　　　　　　　　　B.2 C.2或6 D.－2 3.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 4.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　　） A.ak·ak＋1＞0 B.ak·ak＋2＞0 C.ak·ak＋1·ak＋2＞0 D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0 6.〔多选〕已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－2，则（　　） A.数列{2an＋an＋1}是等比数列 B.数列{an＋1－an}是等比数列 C.数列{anan＋1}是等比数列 D.数列{log2｜an｜}是递减数列 7.等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝　　　　. 8.如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2 025个三角形的面积为　　　　. 9.在数列{an}中，a2＝，a3＝，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是　　　　，an＝　　　　. 10.正项数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，2Sn＝anan＋1. （1）若{an}是等差数列，求{an}的通项公式； （2）是否存在实数a，使得{an}是等比数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 11.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝（　　） A.n（2n－1） B.（n＋1）2 C.n2 D.（n－1）2 12.〔多选〕设{an}（n∈N＋）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7＝1 C.K9＞K5 D.K6与K7均为Kn的最大值 13.已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝3，b1＋b7＋b13＝6π，则tan＝　　　. 14.2022年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25％，而乙林场木材存量每年比上年递减20％. （1）哪一年两林场木材的总存量相等？ （2）问两林场木材的总量到2026年能否翻一番？ 15.若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称数列{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　） A. B. C. D. 16.在等比数列{an}（n∈N＋）中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. （1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等比数列的性质 1.A　若m是两个正数2和8的等比中项，则m＝±＝±4.故m＝4是m＝±4的充分不必要条件，即“m＝4”是“m为2与8的等比中项”的充分不必要条件，故选A. 2.B　由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2＜0，a18＜0，故a10＜0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，故选B. 3.D　原式＝log2（a1a2a3…a8）＝log2（a2a7）4＝4log24＝8. 4.B　由题意，设这13个数构成的等比数列的公比为q，则2＝1×q12，即q＝，则插入的第8个数为1×q8＝1×（ ）8＝＝，故选B. 5.BD　对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D. 6.BC　∵等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－2，∴an＝1×（－2）n－1＝（－2）n－1.由此可得2an＋an＋1＝2·（－2）n－1＋（－2）n＝0，故A错误；an＋1－an＝（－2）n－（－2）n－1＝－3·（－2）n－1，故数列{an＋1－an}是等比数列，故B正确；anan＋1＝（－2）n－1（－2）n＝（－2）2n－1，故数列{anan＋1}是等比数列，故C正确；log2｜an｜＝log22n－1＝n－1，故数列{log2｜an｜}是递增数列，故D错误.故选B、C. 7.3　解析：由＝a1·a9，∴＝9，∴a5＝±3.而a1，a9均为正值，故a5也为正值，∴a5＝3. 8.　解析：观察题图知，后一个三角形的面积是前一个的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列，所以an＝4×（ ）n－1＝（ ）n－2，所以第2 025个三角形的面积为a2 025＝（ ）2 023＝. 9.2　　解析：因为在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{bn}是等比数列，b2＝2a2＋1＝3＋1＝4，b3＝3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝nan＋1＝2n，解得an＝. 10.解：（1）当n＝1时，2S1＝2a1＝a1a2，又a1＞0，则a2＝2. 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝anan＋1－an－1an，即an＋1－an－1＝2， 因为{an}是等差数列，设{an}的公差为d，所以an＋1－an－1＝2d＝2，解得d＝1， 则a1＝a＝2－1＝1，故{an}的通项公式为an＝n. （2）假设存在实数a，使得{an}是等比数列. 由（1）可知，a3＝a1＋2＝2＋a，a4＝a2＋2＝4. 因为{an}是等比数列，所以a2a3＝a1a4， 即2（2＋a）＝4a，解得a＝2， 此时＝＝1，＝＝2，不符合题意，则假设错误.故不存在实数a，使得{an}是等比数列. 11.C　法一　由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1a3…a2n－1）＝log2（q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[qn（n－1）]＝ log2（a1qn－1）n＝log2（2n）n＝n2. 法二　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝（an）2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2（2·23）＝log224＝4.只有C选项符合. 12.ABD　根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 13.　解析：由等比数列性质知a2a7a12＝＝3，解得a7＝，又数列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋b12＝2b7＝4π，a3a11＝＝3，所以tan＝tan＝tan＝. 14.解：（1）由题意可得16a（1＋25％）n－1＝25a（1－20％）n－1，解得n＝2. 故到2023年两林场木材的总存量相等. （2）令n＝5， 则a5＝16a＋25a＜2（16a＋25a）， 故到2026年不能翻一番. 15.B　若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列.则b4＝2×＝.故选B. 16.解：（1）证明：（1）因为bn＝log2an， 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an ＝log2＝log2q（q＞0）为常数， 所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. （2）因为b1＋b3＋b5＝6， 所以（b1＋b5）＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2. 又因为a1＞1， 所以b1＝log2a1＞0， 又因为b1·b3·b5＝0， 所以b5＝0， 即即解得 因此Sn＝4n＋×（－1）＝. 又因为d＝log2q＝－1， 所以q＝，b1＝log2a1＝4， 即a1＝16，所以an＝25－n（n∈N＋）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $