1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 [课时跟踪检测] 1.下列三个数依次成等比数列的是 （　　） A.1，4，8 B.-1，2，4 C.9，6，4 D.4，6，8 解析：选C　42≠1×8，A错误；22≠-1×4，B错误；因为==，所以9，6，4依次成等比数列，C正确；62≠4×8，D错误.故选C. 2.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=-8，则公比q= （　　） A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析：选D　依题意a4=a1q3=q3=-8，q=-2.故选D. 3.在等比数列{an}中，a1=2，a4=.若am=2-11，则m= （　　） A.17 B.16 C.14 D.13 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=2，a4=，所以2q3=，解得q=. 又am=2-11，所以2×=2-11，可得m=13. 4.已知q是等比数列{an}的公比，则“a1（1-q）>0”是“数列{an}是递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选D　已知q是等比数列{an}的公比，当a1=1，q=-1时，a1（1-q）>0，数列为摆动数列，推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时，不妨取an=2n，则a1=2，q=2，不满足a1（1-q）>0.故“a1（1-q）>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 5.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6= （　　） A.14 B.12 C.6 D.3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得 即解得所以a6=a1q5=3，故选D. 6.[多选]下列数列为等比数列的是 （　　） A.{2n} B.{n2} C.{3-n} D.{2·2n} 解析：选CD　A项，an=2n，则=不为定值，不满足；B项，an=n2，则=不为定值，不满足；C项，an=3-n，则==为定值，且a1=，满足；D项，an=2·2n，则==2为定值，且a1=4，满足.故选CD. 7.[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3-a8=7，a2+a7=11，{bn}为等比数列，满足b1=a1，b4=a15，则 （　　） A.{an}的首项与公差相等 B.a2，a5，a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3，b5，b6成等差数列 解析：选BC　因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3-a8=3a1+d=7，a2+a7=2a1+7d=11，解得a1=2，d=1，故A错误；可得an=2+n-1=n+1，所以a2=3，a5=6，a11=12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1=a1=2，b4=a15=16，所以q=2，则bn=2n，故C正确；b3=8，b5=32，b6=64，不是等差数列，故D错误. 8.在数列{an}中，a1=，∀m，n∈N+，am+n=aman，则a6等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　由于∀m，n∈N+，有am+n=aman，且a1=，令m=1，则an+1=a1an=an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an=a1qn-1=×=，故a6==. 9.（5分）在等比数列{an}中，若a1=1，=2a6，则公比q=　　　　.  解析：∵=2a6，a1=1，∴（q3）2=2q5，得q=2. 答案：2 10.（5分）已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q=　　　　.  解析：因为正项等比数列{an}，3a1，a3，2a2成等差数列，所以 解得q=3. 答案：3 11.（5分）已知等比数列{an}满足a1-a3=-，a2-a4=-，则使得a1a2…an取得最小值的n为　　　　.  解析：设公比为q，则q==3，∴a1-a3=-8a1=-，∴a1=，a2=，a3=，a4=1，…，∴n=3或n=4时，a1a2…an取得最小值. 答案：3或4 12.（5分）能说明“若等比数列{an}满足a1<a2，则等比数列{an}是递增数列”是假命题的一个等比数列{an}的通项公式可以是　　　　　　　　.  解析：由题意可知，若“等比数列{an}是递增数列”， 需满足当a1<0时，公比0<q<1；或a1>0时，公比q>1； 又因为命题为假命题，所以公比q<0即可满足题意， 不妨取，首项a1=-1，公比q=-2，则a2=2，满足a1<a2， 此时数列{an}是摆动数列，通项公式为an=a1qn-1=（-1）（-2）n-1=-（-2）n-1，n∈N+. 答案：an=-（-2）n-1，n∈N+（答案不唯一） 13.（10分）已知等比数列{an}的首项为a1=27，公比q=. （1）求a8；（4分） （2）判断18是不是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.（6分） 解：（1）由等比数列的通项公式可知a8=a1q7=27×=. （2）an=27×=， 设18是数列中的第n项，则=18， 化简得32-n=2，因为这个方程无正整数解， 所以18不是数列中的项. 14.（10分）（1）一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式；（5分） （2）已知等比数列{an}中，a5=3，a7=27，求q及an.（5分） 解：（1）法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意得解得 ∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列， ∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. （2）由a7=a5q2，得q2==9， ∴q=±3，则a1=， 当q=3时，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4； 当q=-3时，an=a1qn-1=×（-3）n-1=-（-3）n-4. 15.（15分）已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列；（5分） （2）这个数列中的任一项是其后第5项的；（5分） （3）数列中任两项之积仍为数列中的项.（5分） 证明：（1）任取数列中的相邻两项an=1，an+1=1， 则==1， 且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. （2）任取数列中的一项am=1，则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=，得证. （3）任取数列中两项=1，=1， 则=1·1=1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N+，n1≠n2， ∴n1+n2-2>0，且n1+n2-2∈N+， ∴符合已知数列中的项的特点， 即为数列中的项. 学科网（北京）股份有限公司 $