第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二课时　等差数列的性质 1.已知p＝，q＝－2，则p，q的等差中项为（　　） A.　 B. C.2 D.4 2.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（　　） A.8 B.4 C.6 D.12 3.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝（　　） A.1 B. C. D. 4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 5.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 6.〔多选〕已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有（　　） A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＝0 C.a3＋a100≤0 D.a51＝0 7.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　　　　. 8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴交点的个数为　　　　. 9.已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan（a3＋a9）＝　　　　. 10.（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； （2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b＝（　　） A.1＋ B.2＋ C. D. 12.〔多选〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则（　　） A.a3a6＞a4a5 B.a3a6＜a4a5 C.a3＋a6＝a4＋a5 D.a3a6＝a4a5 13.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　. 14.已知在数列{an}中，a1＝32，a17＝－32，通项公式是项数n的一次函数. （1）求数列{an}的通项公式； （2）－88是不是数列{an}中的项？ （3）该数列从第几项起为负？ 15.在数列{an}中，若－＝p（n≥2，n∈N＋，p为常数），则称{an}为“等方差数列”.给出下列命题： ①数列{（－1）n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}（k∈N＋，k为常数）也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题的序号为　　　　. 16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75％销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的性质 1.B　设p，q的等差中项为a，则有2a＝p＋q＝＋－2＝2，所以a＝，即p，q的等差中项为.故选B. 2.A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8. 3.D　因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝＝. 4.C　设5份面包个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d（其中d＞0），则有（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝120，所以a＝24.由a＋a＋d＋a＋2d＝7（a－2d＋a－d），得3a＋3d＝7（2a－3d），所以24d＝11a，所以d＝11.所以最少的那份面包个数为a－2d＝24－22＝2.故选C. 5.AC　A项中，∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确；由a，b，c成等差数列，而2b＝a＋c推不出2log2b＝log2a＋log2c，也推不出2×2b＝2a＋2c.故B、D均不正确. 6.BD　设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0，∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝（a1＋a101）＋（a2＋a100）＋…＋（a50＋a52）＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误.又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝（a1＋2d）＋（a1＋99d）＝2a1＋101d＝2×（－50d）＋101d＝d＞0，故C错误. 7.180　解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 8.1或2　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0.故二次函数图象与x轴交点的个数为1或2. 9.　解析：因为数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝，所以a2＋a6＋a10＝3a6＝，解得a6＝，所以a3＋a9＝2a6＝，所以tan（a3＋a9）＝tan ＝. 10.解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2. （2）设公差为d，∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去）， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 11.A　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B　①，又S△ABC＝acsin B＝ac＝，∴ac＝6　②.∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b　③，将②③代入①得b2＝4b2－12－6，化简整理得b2＝4＋2，解得b＝1＋（负值已舍去）. 12.BC　由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C. 13.12n－1　25　解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.故{cn}的项数为25. 14.解：（1）由题意可设an＝an＋b， 则a1＝a＋b＝32，① a17＝17a＋b＝－32，② 由①②得a＝－4，b＝36. 故an＝－4n＋36. （2）令－4n＋36＝－88，得n＝31. 故－88是数列{an}中的项. （3）令－4n＋36＜0，则n＞9. 故数列{an}从第10项起为负. 15.①②③④　解析：对于①，因为[（－1）n]2－[（－1）n－1]2＝0，所以{（－1）n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{}是等差数列；对于③，设－＝p，当n≥2，n∈N＋时，－＝－＋－＋…＋－＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足－＝p，an－an－1＝d（p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N＋），若d＝0，则{an}为常数列.若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝（n≥2，n∈N＋），所以an＝，为常数，即{an}为常数列. 16.解：设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}， an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75％＝600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用： （800－20n）n－600n＝20n（10－n）. 当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机多于10台时，到甲商场购买花费较少. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $