第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第一课时　等比数列的概念及其通项公式 1.B　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54. 2.C　设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6. 3.C　由题意，知＝，即（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×. 4.C　因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以＝，即＝a1a7，设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2. 5.ABC　若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈（0，1），则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确. 6.AC　对于A，an＝3×（ ）n－1，所以由函数特性知{an}为递减数列，A正确；对于B，an＝2×3n－1，所以{an}为递增数列，B错误；对于C，an＝×（ ）n－1，所以{an}为递减数列，C正确；对于D，an＝－×（ ）n－1，所以{an}为递增数列，D错误. 7.8　解析：由a4＝a1q3得q3＝2，q＝，∴a7＝a1q6＝2×（）6＝8. 8.lg an＝（n－3）lg 2　解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg an＝（n－3）lg 2. 9.8，4，2或2，4，8　解析：设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq（aq≠0），则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得a＝4，q＝或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8. 10.解：（1）因为所以q2＝＝. 所以q＝±，a1＝128. 当q＝时，an＝a1qn－1＝128×＝28－n； 当q＝－时，an＝a1qn－1＝128×. 所以an＝28－n或an＝128×. （2）当an＝时，28－n＝或128×＝， 解得n＝9. 11.D　因为等比数列{an}单调递减，a1＞0，所以q＞0，an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，所以qn－1（q－1）＜0.又因为n≥1，所以qn－1＞0，q－1＜0，所以0＜q＜1，故选D. 12.AC　因为等比数列{an}的公比为q（q≠0），且a5＝a3q2＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2.a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时取等号，故A正确；a4＋a6＝＋q，当q＜0时，a4＋a6＜0，故B错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；a3－2a4－1＝－－1＝（ －1）2－2，存在q使得a3－2a4－1＜0，故D错误.故选A、C. 13.4　解析：∵数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，∴＝4×＝23－n，∴a4＝a1×××＝4×2×1×＝4. 14.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为S10＝11a5， 所以10×2＋d＝11（2＋4d），解得d＝2， 则an＝2＋（n－1）×2＝2n. 设正项等比数列{bn}的公比为q（q＞0），则b3＝2q2，b2＝2q. 由2q2－2q＝4，解得q＝2或－1（舍去）， 故bn＝2×2n－1＝2n. （2）证明：令cn＝＝＝，则＝， 故{}是以为首项，为公比的等比数列. 15.C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（ ）2＝. 16.解：（1）由根与系数的关系，得 代入题设条件6（α＋β）－2αβ＝3， 得－＝3.所以an＋1＝an＋. （2）证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0. 此时Δ＝（－2）2－4×2×3＜0，所以an≠，即an－≠0. 所以数列是以为公比的等比数列. （3）当a1＝时， a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以an－＝×＝， 所以an＝＋，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，…. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　等比数列的概念及其通项公式 1.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4＝（　　） A.108　 B.54 C.36 D.18 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为（　　） A.4 B.8 C.6 D.32 3.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝（　　） A.4× B.4× C.4× D.4× 4.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（　　） A. B.4 C.2 D. 5.〔多选〕下列关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是（　　） A.q＞1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q＞1 C.0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D.q＞1⇒/ {an}为递增数列且{an}为递增数列⇒/ q＞1 6.〔多选〕（2025·保定期末）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列能判断{an}为递减数列的有（　　） A.a1＝3，q＝ B.a1＝2，q＝3 C.a1＝，q＝ D.a1＝－，q＝ 7.在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝　　　　. 8.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为　　　　. 9.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是　　　　. 10.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若an＝，求n. 11.已知在单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（　　） A.{1} B.（－∞，0） C.（1，＋∞） D.（0，1） 12.〔多选〕已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是（　　） A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2 C.a7－2a6＋1≥0 D.a3－2a4－1≥0 13.已知数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，则a4＝　　　　. 14.记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝2，S10＝11a5，b3－b2＝a2. （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）证明：{}是等比数列. 15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53＝（　　） ， ，， …… A.　　　B.　　　C.　　　D. 16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0（n＝1，2，3，…）有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. （1）试用an表示an＋1； （2）求证：是等比数列； （3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $