第1章 2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质及应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二课时　等差数列的前n项和的性质及应用 1.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝（　　） A.10 B.100 C.110 D.120 2.若等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝（　　） A.52.5　　　　　　　　　B.72.5 C.60 D.85 3.若{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S4＝2，S8＝6，则S12＝（　　） A.10 B.12 C.14 D.16 4.已知等差数列{an}，a1＝1，d＝1，则数列{}的前100项和为（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（　　） A.a7＝0 B.S13＝0 C.S7最小 D.S5＝S8 6.〔多选〕已知Sn是等差数列的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 7.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝　　　　. 8.等差数列{an}中，a1＝－10，d＝2，则数列{｜an｜}的前3项的和S3＝　　　　，前8项的和S8＝　　　　. 9.在首项为正数的等差数列{an}中，＝，则当其前n项和Sn取最大值时，n的值为　　　　. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2. （1）求Sn，并画出{Sn}（1≤n≤13）的图象； （2）分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大（或最小）的项； （3）{Sn}有多少项大于零？ 11.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前5天共分发大米（　　） A.1 170升 B.1 440升 C.1 512升 D.1 772升 12.〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 023＞0，S2 024＜0，对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则下列判断正确的是（　　） A.a1 012＞0 B.a1 013＞0 C.｜a1 012｜＞｜a1 013｜ D.k的值为1 012 13.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　　，项数是　　　　. 14.已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a 3｜＋…＋｜an｜，求Tn. 15.〔多选〕如果一个实数数列{an}满足条件：－an＝d（d为常数，n∈N＋），则这一数列称为“伪等差数列”，d称为“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论，其中正确的结论是（　　） A.对于任意的首项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列 B.当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列 C.这一数列可以是周期数列 D.若这一数列的首项为1，伪公差为3，－可以是这一数列中的一项 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，给出以下三个条件：①an＋2－an＝2；②{an}是等差数列；③an＋2＋an＝2n＋2. （1）从三个条件中选取两个，证明另外一个成立； （2）利用（1）中的条件，求证：数列{}的前n项和Tn＜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的前n项和的性质及应用 1.B　因为{an}是等差数列，a1＝1，所以{}也是等差数列且首项为＝1.又－＝2，所以数列{}的公差是1，所以＝1＋（10－1）×1＝10，所以S10＝100.故选B. 2.C　设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25，解得x＝60，y＝85.故选C. 3.B　由等差数列前n项和的性质可得S12－S8，S8－S4，S4成等差数列，∴2（S8－S4）＝S4＋S12－S8，即2（6－2）＝2＋S12－6，得S12＝12.故选B. 4.A　因为{an}为等差数列且a1＝1，d＝1，故an＝n，故＝＝－，故数列{}的前100项和为（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝1－＝.故选A. 5.ABD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正确；对于D，S5－S8＝－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 6.AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.故选A、B. 7.5　解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 8.24　36　解析：a1＝－10，d＝2，所以an＝－10＋2（n－1）＝2n－12.a6＝0，故S3＝｜－10｜＋｜－8｜＋｜－6｜＝24，S8＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a6｜＋｜a7｜＋｜a8｜＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＝36. 9.6　解析：法一　设数列{an}的公差为d，∵＝，∴5（a1＋2d）＝7（a1＋3d），∴2a1＋11d＝0，∴d＝－a1，∴Sn＝－a1n2＋a1n＝－（n－6）2＋a1，又a1＞0，∴当n＝6时，Sn最大. 法二　设数列{an}的公差为d，∵＝，∴5（a1＋2d）＝7（a1＋3d），∴2a1＋11d＝0，∴a6＋a7＝0，∵a1＞0，d＜0，∴a6＞0，a7＜0，∴S6最大，∴满足题意的n的值是6. 法三　∵＝，∴5a3＝7a4，∴S5＝S7，∴S6最大，∴n的值为6. 10.解：（1）Sn＝na1＋d＝12n＋×（－2）＝－n2＋13n.图象如图. （2）Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N＋， ∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增，当n≥7时，{Sn}单调递减. {Sn}有最大项，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42. （3）由图象得{Sn}中有12项大于零. 11.A　由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}，设公差为d，则d＝7×3＝21，记第一天共分发大米为a1＝64×3＝192（升），则前5天共分发大米5a1＋×d＝5a1＋10d＝5×192＋10×21＝1 170（升）.故选A. 12.AD　由等差数列{an}，可得S2 023＝＞0，S2 024＝＜0，即a1＋a2 023＞0，a1＋a2 024＜0，可得2a1 012＞0，a1 012＋a1 013＜0，∴a1 012＞0，a1 013＜0，∴A正确，B错误.又等差数列{an}为递减数列，且a1 012＋a1 013＜0，∴｜a1 012｜＜｜a1 013｜，∴C错误.而对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则k的值为1 012.故D正确.故选A、D. 13.11　7　解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1（n∈N＋），S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项. 14.解：（1）因为在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2， 所以解得a1＝8，d＝－2， 所以an＝8＋（n－1）×（－2）＝10－2n. （2）由an＝10－2n≥0，得n≤5，a5＝0，a6＝－2＜0， 因为Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜， 所以当n≤5时，Tn＝8n＋×（－2）＝9n－n2. 当n＞5时，Tn＝－［8n＋×（－2）］＋2×（9×5－52）＝n2－9n＋40. 所以Tn＝ 15.CD　A项，当a1＝，d＝－，an＞0时，依题意，an＝，故错误；B项，当d＞0，a1＞0时，∵an＋1＝±，∴这一数列不是单调递增数列，故错误；C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周期数列，故正确；D项，∵a1＝1，d＝3，∴a2＝±＝±2，∴当a2＝2时，a3＝±＝±，故正确. 16.证明：（1）将①②作为条件，③作为结论，证明如下： 设等差数列{an}的公差为d， 则由an＋2－an＝2，得2d＝2，解得d＝1， 又a1＝1，所以等差数列{an}的通项公式为an＝n， 所以an＋2＝n＋2， 所以an＋2＋an＝2n＋2，即③成立. 将①③作为条件，②作为结论.证明如下： 由得an＝n，所以an＋1＝n＋1， 所以an＋1－an＝n＋1－n＝1， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即②成立. 将②③作为条件，①作为结论.证明如下： 设等差数列{an}的公差为d，则an＝1＋（n－1）d，an＋2＝1＋（n＋1）d， 又an＋2＋an＝2n＋2，所以2＋2nd＝2n＋2，解得d＝1， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝n， 所以an＋2＝n＋2， 所以an＋2－an＝n＋2－n＝2，即①成立. （2）由（1）知，an＝n，所以an＋2＝n＋2， 所以＝＝×（ －）. 所以Tn＝（ 1－＋－＋－＋…＋－＋－＋－）＝×（ 1＋－－）＝×（ －－）＝－（ ＋）＜， 即数列{}的前n项和Tn＜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $