第1章 1.2 数列的函数特性(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.2　数列的函数特性 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则下列关于此数列的图象叙述正确的是（　　） A.此数列不能用图象表示 B.此数列的图象仅在第一象限 C.此数列的图象为直线y＝2x－7 D.此数列的图象为直线y＝2x－7上满足x∈N＋的一系列孤立的点 2.递减数列{an}中，an＝kn（k为常数），则实数k的取值范围是（　　） A.R　　 B.（0，＋∞） C.（－∞，0） D.（－∞，0] 3.已知数列{an}的通项公式是an＝，则数列{an}的最小项的值为（　　） A.1 B.－1 C.＋1 D.－＋1 4.对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 … 数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N＋，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 024＝（　　） A.7 576 B.7 575 C.7 590 D.7 584 5.对任意的an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列满足an＋1＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 6.〔多选〕已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），则此数列（　　） A.图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B.是递减数列 C.从第3项往后各项均为负数 D.有两项为1 7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为　　　　. 8.已知数列{an}的通项an＝（2－a）n＋a（n∈N＋），若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是　　　. 9.已知数列{an}的通项公式为an＝an2＋n（n∈N＋），若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6，且an＞an＋1，对任意n≥10恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 10.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）－1，1，3，5，…； （2）－，，－，，…； （3）0.8，0.88，0.888，0.888 8，…. 11.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－11n＋，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是（　　） A.[－40，－25] B.[－40，0] C.[－25，25] D.[－25，0] 12.〔多选〕数列{an}的通项公式为an＝n＋，则下列说法正确的是（　　） A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C.当0＜a＜4时，a是数列{an}中的项 D.当a＜2时，{an}为递增数列 13.已知函数f（x）＝，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中n∈N＋. （1）求a2的值； （2）求证：1≤an＜2； （3）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　数列的函数特性 1.D　数列{an}的图象为直线y＝2x－7上满足x∈N＋的一系列孤立的点. 2.C　an＋1－an＝k（n＋1）－kn＝k＜0. 3.C　因为an＝＝＋，显然数列{an}为递增数列，所以当n＝1时，取得最小值＋1. 4.C　由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，所以数列{xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N＋，则x1＋x2＋…＋x2 024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7 590.故选C. 5.A　由an＋1＝f（an）且an＋1＞an，即f（an）＞an，即函数f（x）图象上任意一点（x，y）都满足y＞x，结合选项可知函数y＝f（x）的图象不可能是B、C、D，故选A. 6.BC　∵函数f（x）＝－x2＋2x＋1，数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），∴an＝－n2＋2n＋1，对于选项A，数列{an}的图象是当n取正整数时f（n）＝－n2＋2n＋1的图象上的对应点的坐标，∴此数列图象不是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象，故A错误；对于选项B，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，∴此数列是递减数列，故B正确；对于选项C，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，此数列是递减数列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于选项D，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，且此数列是递减数列，此数列只有一项为1，故D错误.故选B、C. 7.674　解析：∵数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，∴由an＞0得2 024－3n＞0，解得n＜674＋，∵n是正整数，∴n的最大值为674. 8.（－∞，2）　解析：因为数列{an}是递增数列，所以2－a＞0，解得a＜2，故实数a的取值范围为（－∞，2）. 9.　解析：由题意可得解得－＜a＜－，∴实数a的取值范围是（－，－）. 10.解：（1）因为a1＝2×1－3＝－1，a2＝2×2－3＝1，a3＝2×3－3＝3，a4＝2×4－3＝5，故an＝2×n－3＝2n－3. （2）因为a1＝（－1）1×＝－，a2＝（－1）2×＝，a3＝（－1）3×＝－，a4＝（－1）4×＝，故an＝（－1）n×＝. （3）所给数列可写成×（ 1－），×（ 1－），×（ 1－），×（ 1－），…， 所以原数列的一个通项公式为an＝（ 1－）. 11.D　由条件可知，对任意的n∈N＋，都有an≥a5恒成立，即n2－11n＋≥－30，整理得（n－5）（n－6）≥.当n≤4时，不等式化简为a≥5n（n－6）恒成立，当n＝1时，5n（n－6）取得最大值－25，所以a≥－25，当n≥6时，不等式化简为a≤5n（n－6）恒成立，所以a≤0；综上，实数a的取值范围是[－25，0].故选D. 12.ABD　当a＝2时，an＝n＋，由f（x）＝x＋（x＞0）的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，数列{an}显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C不正确；若{an}是递增数列，则an＋1＞an，即n＋1＋＞n＋，得a＜n2＋n，又n∈N＋，n2＋n≥2，所以a＜2，D正确. 13.解：（1）由题意得an＝＝2－，所以a2＝2－＝. （2）证明：由题意得an＝2－，因为n为正整数，所以n≥1，0＜≤1，所以1≤2－＜2，所以1≤an＜2. （3）由题得{an}是递增数列， 证明：an＝＝2－，an＋1－an＝－＝＞0，所以{an}是递增数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $