第2章 7.1 实际问题中导数的意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“实际问题中导数的意义”核心知识点，通过表格系统梳理自变量（时间、长度等）、原函数（路程、质量等）与导函数（速度、线密度等）的对应关系，搭建从数学概念到实际应用的学习支架。 以低碳生活情境引入，结合质点运动、电路电荷量、通货膨胀率等实例，引导学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析变化率，课中辅助教师教学，课后通过练习题帮助学生巩固应用，提升数学语言表达实际问题的能力。

7.1　实际问题中导数的意义 了解日常生活和科学领域中导数的应用（数学建模、数学运算）. 　　低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长. 【问题】　如何使汽油的使用效率最高？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　实际问题中导数的意义 自变量x 原函数f（x） 导函数f'（x） 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 时间 降雨量 产量 生产成本 1.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f（t）表示，则f'（10）表示（　　） A.t＝10时的降雨强度　B.t＝10时的降雨 C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度 2.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火后　　 s火箭速度为零（g取10 m/s2）. 3.一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系可以用函数s（t）＝1＋t2表示，并且物体的动能U＝mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为　　　. 题型一｜导数在物理中的意义 【例1】　一质点做直线运动，已知路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为s＝3t2＋2t＋1.求： （1）从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义； （2）当t＝2时的瞬时速度； （3）当t＝2时的加速度. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt趋于0时，趋于的固定常数v即为瞬时速度，即v＝ . 2.求运动物体瞬时加速度的三个步骤 （1）求速度改变量Δv＝v（t0＋Δt）－v（t0）； （2）求平均加速度＝； （3）求瞬时加速度，当Δt趋于0时，平均加速度的极限 即为瞬时加速度. 【跟踪训练】 一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为Q（t）＝3t2－ln t. （1）求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义（结果精确到0.01）； （2）求Q'（2），并解释它的实际意义. 题型二｜导数在生活中的应用 【例2】　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5％，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为p（t）＝p0（1＋5％）t，其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　函数在某一取值x＝x0处的瞬时变化率可以刻画函数在x＝x0处的变化快慢情况，也可以利用以直代曲的方法根据斜率的正负，得到曲线f（x）在x＝x0附近的大体走势. 【跟踪训练】 1.各地房产部门为尽快实现房价稳定，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t具有函数关系，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（　　） 2.已知成本c与产量q的函数关系式为c＝3q2＋1，则当产量q＝30时的边际成本为　　　　. 1.已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α＝t2（t≥0）.则车轮启动后1.6秒时的瞬时角速度为（　　） A.20π弧度/秒　　　　　B.10π弧度/秒 C.8π弧度/秒 D.5π弧度/秒 2.一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为　　　　. 3.设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y是x的函数，满足解析式y＝f（x），若函数y＝f（x）在x＝100处的导数f'（100）＝－0.1.试解释它的实际意义. 提示：完成课后作业　第二章　§7　7.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §7　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义 【基础落实】 知识点 功率　降雨强度　边际成本 自我诊断 1.A　f'（t）表示t时刻的降雨强度，故选A. 2.10　解析：由已知，得火箭的运动方程为h（t）＝100t－gt2，h'（t）＝100－gt.令h'（t）＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零. 3.0.015 J　解析：∵s'（t）＝2t，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10 cm/s，即0.1 m/s.此时，U＝×3×（0.1）2＝0.015 J. 【典例研析】 【例1】　解：（1）Δs＝s（3）－s（2）＝（3×32＋2×3＋1）－（3×22＋2×2＋1）＝17，∴＝＝17， 即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均速度为17 m/s. （2）s'（t）＝6t＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）. 即当t＝2时的瞬时速度为14 m/s. （3）设该质点的速度为v m/s， 则v（t）＝s'（t）＝6t＋2， ∴v'（t）＝6，∴v'（2）＝6. 即当t＝2时的加速度为6 m/s2. 跟踪训练 　解：（1）当t从1变到2时，电荷量从Q（1）变到Q（2），此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A. （2）Q'（t）＝6t－，Q'（2）＝11.5，它的实际意义是：在t＝2 s这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A. 【例2】　解：根据基本初等函数的导数公式表，当p0＝1时，有p'（t）＝1.05tln 1.05. 所以p'（10）＝1.0510ln 1.05≈0.08. 所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 跟踪训练 1.B　单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加而增大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹.故选B. 2.180　解析：∵c'（q）＝6q，∴c'（30）＝180，∴当产量q＝30时的边际成本为180. 随堂检测 1.B　α'＝，∴车轮启动1.6秒时的瞬时角速度为×1.6＝10π.故选B. 2.2　解析：s'（t）＝2at，由条件知，4a＝8，∴a＝2. 3.解：f'（100）＝－0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化率，如果保持这一速度，每经过1 km，该河流的海拔高度下降0.1 km. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $