第2章 7.1 实际问题中导数的意义&7.2 实际问题中的最值问题（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章导数及其应用 五维课堂兰 §7导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 7.2 实际问题中的最值问题 课程标准 素养解读 1.通过利用导数解决实际问题，培养学生的数学建模的 1.了解实际问题中导数的意义 核心素养 2.理解实际生活中的最优化问题， 2.在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建 3.会利用导数解决实际生活中的最优化问题， 模、逻辑推理、数学运算的核心素养 课堂。互动学案 [情境引入] 说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那 生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在 个变量设为y,而将另一个与y有关的变量设为x, 铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容 然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分 器时，怎样使得用料最少？在经济活动中，怎样使得 析可得出函数的最值. 经营成本最小？等等.这些问题都需要寻求相应的最 (2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的 佳方案或最佳策略.因此数学上都成为最优化问题. 实际意义确定最值 因为利用导数可以求得最值.所以可以利用导数来求 2.实际问题中常用的导数意义 解最优化问题， 自变量x 原函数f(x) 导函数f(x) [知识梳理] 时间 路程 速度 [知识点一]导数的实际意义 1.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念 长度 质量 线密度 来理解的量.以中学物理为例，速度是 关 时间 功 功率 于 的导数，线密度是 关于 时间 降雨量 降雨强度 的导数，功率是 关于 的导数等. 2.在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 产量 生产成本 边际成本 y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f(x,) ?思考解决生活中优化问题应注意什么？ 指的是当产量为2，时，生产成本的增加速度，也就 是当产量为x。时，每增加一个单位的产量，需要增 加f'(x。)个单位的成本. [知识点二]最优化问题 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、 体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通 称为 问题. [知识点三]导数在实际问题中的应用 1.应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的 [预习自测] 已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适 1.判断下列说法是否正确（正确的里打“√”，错误的 当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条 打“X”) 件下的最大（小）值问题.此过程用框图表示如下： (1)一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m) 关于时间t(单位：s)的函数为y=s(t)=2r+4.当 实际问题 →用函数表示的数学问题 t=3时，物体的加速度a(3)=36m/s2.() (2)球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨 实际问题的答案 用导数解决数学问题 胀率为9元. () ·67· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 (3)函数的最值有可能在极值点处取得.( 3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函 (4)若f(x)在区间(a,b)上的图像是连续不断的曲 数关系为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大 线，那么f(x)在(a,b)上存在最值. ( 年利润时的年产量为 (5)如果函数f(x)在(a,6)上只有一个极值，那么 A.1百万件 B.2百万件 这个极值就是相应的最值， () C.3百万件 D.4百万件 2.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y= 4.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y f(t)表示，则f'(10)表示 ( ) 1x-39x2一40.x(x>0),为使耗电量最小，则 A.t=10时的降雨强度 B.t=10时的降雨量 321 221 C.t=10时的时间 D.t=10时的温度 其速度应定为 课堂。互动学案 题型一 导数在物理学中的应用 ⊙[变式训练] [例1]设一质点做直线运动，已知路程s(单位：m) 1.如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t(单位：s)的函数：s=3t+2t十1.求： (单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可 (1)从t=2变到t=3时，s关于t的平均变化率，并 以表示为W(t)=t-6t+16t. 解释它的实际意义； (2)当t=2时的瞬时速度； (3)当t=2时的加速度. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均 变化率，并解释它的实际意义； (2)求W'(1),W'(2),并解释它们的实际意义. 题型三】 导数在实际问题中的意义 [例2]某食品厂生产某种食品的总成本C(单位： 元)和总收人R(单位：元)都是日产量x(单位：kg) 的函数，分别为C(x)=100+2x+0.02x2,R(x)= 7x十0.01x,试求边际利润函数以及当日产量分别 为200kg,250kg,300kg时的边际利润，并说明其 经济意义. 规律方法 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导 规律方法 数概念来理解的量.例如中学物理中，速度是路程 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问 关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数， 题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其 功率是功关于时间的导数等， 改变量时常用导数解决 68· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 ⊙[变式训练] [母题探究] 2.某考生在参加2022年高考数学科考试时，其解答 若把本例中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面 的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟) 积为定值S,要使它的容积最大，它的高与底面半 近似地满足函数关系y=2√Z. 径的比为 (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平 规律方法 均变化率； 关于几何中的最值问题 (2)求f'(64),f'(100),并解释它的实际意义， 几何中的最值问题往往涉及平面图形的面积 和空间图形的表面积、体积，解决此类问题一般 将面积或体积用变量表示出来后求导数，求极值， 从而求最值 ◇[变式训练] 3.(2022·新高考I卷)已知正四棱锥的侧棱长为， 其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π， 且3≤1≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是 A[18] [] c4 D.[18,27] 题型四 生活中的优化问题 工例4]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每 题型 几何中的最值问题 日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/ [例3]已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮 千克)演足关系式y”3十10（一6，其中3< 料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样 x<6,a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每 选取，才能使所用的材料最省？ 日可售出该商品11千克 (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 最大 [思路点拨]（1)根据x=5时，y=11求a的值. (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用 导数求最大值. ·69· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [母题探究] [当堂达标] (变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y 1.已知某个车轮旋转的角度a(弧度)与时间t(秒)的 (单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x≤ 12)满足：当1<≤4时，y=a(x-3)2+b 函数关系是a-(≥0).则车轮启动后1.6 27(a, 秒时的瞬时速度为 () b为常数)：当4<x≤12时，y=2800-100.已知 A.20π弧度/秒 B.10π弧度/秒 C.8π弧度/秒 D.5π弧度/秒 当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产 2.用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架， 800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出 如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3： 150千克. 4,那么容器容积最大时，高为 (1)求a,b的值，并确定y关于x的函数解析式； A.0.5m B.1m (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售 C.0.8m D.1.5m 价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润 3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函 f(x)最大.(7≈2.65) 数关系式为y=一x3十27x十123(.x>0),则获得最 大利润时的年产量为 百万件. 4.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯 净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1吨 水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为 c()=5284(80<<100),求净化到纯净度为 100-2 90%和98%时，所需费用的瞬时变化率. 规律方法 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区 间内只有一个点使f'(x)=0时，如果函数在这点 有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道 在这个点取得最大（小）值. ◇[变式训练] 4.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成 正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每 小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米 的费用总和最小？ C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·70·数学(BS)·选择性必修第二册 由x)=0,得x=号或x=-1.又f(传)） =号，(-2》=0,2)=0∴f)在[-2,2]上的最大值为 号最小值为一职 §7导数的应用 7.1实际问题中导数的意义 7.2实际问题中的最值问题 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.路程时间质量长度功时间 知识点二、最优化 知识点三、 [思考] [提示](1)在建立函数模型时，应根据实际间题确定出函 数的定义域.(2)求实际问题的最大（小）值时，一定要从问题 的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽 度应大于0，销售价为正数等. 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(2)/(4)×(5)/ 2.A[f(t)表示t时刻的降雨强度.] 3.C[y=-3x2十27=-3(x+3)(x-3),当0<x3时，y> 0:当x>3时，y<0.故当x=3时，该商品的年利润最大.] 4.解析：由题设知y=x2-39x-40,令y>0,解得x>40或x <-1, 故遇数y-宁-号2-40>0在[0，十e)上说坊，在 (0,40们上递减.∴.当x=40时，y取得最小值.由此得为使耗 电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 课堂互动学案 [例1][解](1)△=s(3)-s(2)=(3×32+2×3+1)-(3× 2+2X2+1D=17.…益=3是2=17. ∴.从t=2变到t=3时，s关于t的平均变化率为17，即此段 时间质点的平均速度为17m/s. (2)s(t)=6t+2,∴.s(2)=6×2+2=14(m/s).即当t=2时 的瞬时速度为14m/s. (3)设该质，点的速度为0m/s,则(t)=√(t)=6t十2. ∴.'(t)=6.∴.(2)=6.即当t=2时的加速度为6m/s2. 变式训练 1.解：(1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)=11J变到 W(3)=21J,此时功W关于时间t的平均变化率为 w(3)-w1=21-1L=5J/s. 3-1 3-1 它表示从t=1s到t=3s这段时间，这个人平均每秒做 功5J. (2)根据导数公式和求导法则可得W'(t)=3t2-12t十16， ·1 于是，W(1)=7J/s,w'(2)=4J/s. W'(1)和W'(2)分别表示t=1s和t=2s时，这个人每秒 做的功分别为7J和4J. [例2][解](1)根据定义知，总利润函数为L(x)=R(x) -C(x)=5x-100-0.01x2, 所以边际利润函数为L'(x)=5一0.02x. (2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边际利润 分别为 L'(200)=1(元)，L(250)=0(元)，L'(300)=-1(元). 其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg,则总 利润可增加1元：当日产量为250kg时，再增加1kg,则 总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg,则总 利润反而减少1元 由此可得到：当企业的某一产品的生产量超越了边际利 润的零点时，反而会使企业“无利可图” 变式训练 2.解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化 率为f(36)-0)=121 36-0 36 =3· 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答号道题。 (2),f'(x)=1 f'6-日fm)=0 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟 解谷日道题和品道题。 [例3][解]设圆柱的高为h,底面半径为R,则表面积S =2πRh+2πR2. 由V-R,得A-0则5R)=2R长+2R-贺 +2xR2. V 令S(R)=2多+4πR=0,解得R= N2 ,此时S(R)取 得最小值 V 从而h= xR2 =2 W2 ,即h=2R. π 2π 所以当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省. 母题探究 解析：因为S=2xRh十2xR2,所以=S,2元R.所以V 2πR (R)=S-2元R2 zR2=(S-2R)R=号SR-xR.令 V(R)=?S-3元R2=0,得S=6元R2,当S=6xR2时，容 积最大，此时6πR2=2πRh十2πR2,即h:R=2:1. 答案：2：1 变式训练 3.C[球的体积为36π，所以球的半径R=3, 设正四棱锥的底面边长为2a,高为h, 则12=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2, 6 所以6h=12,2a2=12-h2 所以正四棱维的体积V=号S=了×4如2×=号× (瑞)×号-)： 所以v=(-6)日(4。）， 当3≤1≤2√6时，V'>0,当26<1≤3√5时，V<0, 所以当=2√6时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值 为 1=3时，V=271=3时，V=到 4 所以正因技软的体积V的最小值为平。 所以该正回发缘体积的取植范国是[停号]门 [例4[解](1)因为x=5时y=1,所以号+10=11， =2. (2)由(1)知，该商品每日的特倍量)名十10一6， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(z- 3) g+10-6]2+1-3- 6)2,3<x<6,从而，f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)·(x-6),令f(x)=0,x=4或x=6.于是，当x 变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (3,4) 4 (4,6) 6 f(z) 0 0 f(x) 极大值42 极小值 由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值 点，也是最大值点， 所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等 于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大 母题探究 [解](1)由题意可知x=2时，y=800,∴.a+b=800, 又x=3时，y=150,.b=300,可得a=500. 500(.x-3)2+300 l≤4， y 2800-100,4<x≤12. x (2)由题意： 500(x-3)2(x-1)+300,1<x≤4 f(x)=y(x-1)= (2800-10(x-1D,4Kr≤12' x 当1<x≤4时，f(x)=500(x-3)2(x-1)+300=500x3 -3500.x2+7500x-4200,f(x)=500(3.x-5)(x-3), 由f(x)≤0，得号<<3， ∴f)在(，号)3,4)上递增，在（侣3上递减， 1 参考答案 :f(号）=8800+450<4)=180. 9 '.当x=4时有最大值，f(4)=1800 当4<x≤12时，f(x)= 2800 -100）(x-1) =2900-100x-2800≤2900-4007≈1840， 当且仅当100x=2800,即x=2V75.3时取等号， x=5.3时有最大值1840，：1800<1840， ∴.当x=5.3时，f(x)有最大值1840，即当销售价格为 5.3元/千克时，店铺所获利润最大. 变式训练 4.解：设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元， 则Q-,由6=kX103,可得k=品所以Q品已 所以总童月y(赢+6）小士82+9y箭 ,令y=0,得x=20. 96 所以当x∈(0,20)时，y<0,此时函数单调递减，当x∈ (20,十∞)时，y'>0,此时函数单调递增.所以当x=20 时，y取得最小值. 所以此轮船以20千米/时的速度行驶时每千米的费用总 和最小 当堂达标 1.B[。=车轮启功1.6秒时的醉时连度为 0.641 ×1.6=10元.] 2.A[设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm,则高为 6-1216g=(侵-7）(m,容积V=3x·1r· (径-x）=18r2-84r(0<<) ,V=36.x -252x2 由V=0,得x=号或x=0(舍去.当x(0,）时，V >≥0：当x(行·)时V<0.所以在x=处V有最 大值，此时高为0.5m.] 3.解析：y=-3.x2+27=-3(x十3)(x-3), 当0<x<3时，y'>0;当x>3时，y'<0. 故当x=3时，该商品的年利润最大. 答案：3 4.解：c'(x)= /52841 5284 100-x (100-x)2, ∴.c(90) 5284 =52.84, (100-90)2 c'(98)= 5284 (100-98)2 =1321. ∴.纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/ 吨；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1321元/ 吨.