第2章 7.1 实际问题中导数的意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“实际问题中导数的意义”，以低碳生活中汽油使用效率问题情境导入，通过表格归纳时间-路程-速度等自变量、原函数与导函数关系，结合自我诊断题搭建从生活情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过物理中质点运动、生活中通货膨胀率等典例研析，用数学思维构建求瞬时速度、加速度的通性通法，培养学生用数学语言表达实际规律的能力。学生能深化对导数意义的理解，教师可依托结构化资料提升教学效率。

7.1　实际问题中导数的意义 1 了解日常生活和科学领域中导数的应用（数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化 碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活.低碳生 活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一 定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的 汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长. 【问题】　如何使汽油的使用效率最高？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　实际问题中导数的意义 自变量x 原函数f（x） 导函数f'（x） 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 ⁠ 时间 降雨量 ⁠ 产量 生产成本 ⁠ 功率 降雨强度 边际成本 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f（t）表示，则f' （10）表示（　　） A. t＝10时的降雨强度 B. t＝10时的降雨 C. t＝10时的时间 D. t＝10时的温度 解析： 　f'（t）表示t时刻的降雨强度，故选A. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火后 s火 箭速度为零（g取10 m/s2）. 解析：由已知，得火箭的运动方程为h（t）＝100t－ gt2，h'（t）＝100 －gt.令h'（t）＝0，即100－gt＝0，∴t＝ ＝10（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零. 10　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：cm）与 时间t（单位：s）的关系可以用函数s（t）＝1＋t2表示，并且物体的动 能U＝ mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为 ⁠. 解析：∵s'（t）＝2t，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10 cm/s，即 0.1 m/s.此时，U＝ ×3×（0.1）2＝0.015 J. 0.015 J　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜导数在物理中的意义 【例1】　一质点做直线运动，已知路程s（单位：m）是时间t（单位： s）的函数，设这个函数可以表示为s＝3t2＋2t＋1.求： （1）从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义； 解： Δs＝s（3）－s（2）＝（3×32＋2×3＋1）－（3×22＋2×2＋ 1）＝17， ∴ ＝ ＝17， 即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均 速度为17 m/s. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当t＝2时的瞬时速度； 解： s'（t）＝6t＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）. 即当t＝2时的瞬时速度为14 m/s. （3）当t＝2时的加速度. 解： 设该质点的速度为v m/s， 则v（t）＝s'（t）＝6t＋2， ∴v'（t）＝6，∴v'（2）＝6. 即当t＝2时的加速度为6 m/s2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度 ＝ ； （3）求瞬时速度，当Δt趋于0时， 趋于的固定常数v即为瞬时速度，即 v＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 求运动物体瞬时加速度的三个步骤 （1）求速度改变量Δv＝v（t0＋Δt）－v（t0）； （2）求平均加速度 ＝ ； （3）求瞬时加速度，当Δt趋于0时，平均加速度的极限 即为瞬时 加速度. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数 为Q（t）＝3t2－ln t. （1）求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际 意义（结果精确到0.01）； 解： 当t从1变到2时，电荷量从Q（1）变到Q（2），此时电荷量关 于时间t的平均变化率为 ＝ ≈8.31，它表 示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C， 也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求Q'（2），并解释它的实际意义. 解： Q'（t）＝6t－ ，Q'（2）＝11.5，它的实际意义是：在t＝2 s 这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为 11.5 A. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜导数在生活中的应用 【例2】　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5％，物价p（单位： 元）与时间t（单位：年）之间的关系为p（t）＝p0（1＋5％）t，其中p0 为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的 价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？ 解：根据基本初等函数的导数公式表，当p0＝1时，有p'（t）＝1.05tln 1.05. 所以p'（10）＝1.0510ln 1.05≈0.08. 所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　函数在某一取值x＝x0处的瞬时变化率可以刻画函数在x＝x0处的变化 快慢情况，也可以利用以直代曲的方法根据斜率的正负，得到曲线f（x） 在x＝x0附近的大体走势. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 各地房产部门为尽快实现房价稳定，提出多种方案，其中之一就是在规 定的时间T内完成房产供应量任务Q. 已知房产供应量Q与时间t具有函数 关系，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐 步提高的是（　　） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快， 图象上切线的斜率随着自变量的增加而增大，则曲线是上升的，且越来越 陡，故函数的图象应一直下凹.故选B. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知成本c与产量q的函数关系式为c＝3q2＋1，则当产量q＝30时的边 际成本为 ⁠. 解析：∵c'（q）＝6q，∴c'（30）＝180，∴当产量q＝30时的边际成本 为180. 180　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α＝ t2（t≥0）.则车轮启动后1.6秒时的瞬时角速度为（　　） A. 20π弧度/秒 B. 10π弧度/秒 C. 8π弧度/秒 D. 5π弧度/秒 解析： 　α'＝ ，∴车轮启动1.6秒时的瞬时角速度为 ×1.6＝10π. 故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位： s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为 ⁠. 解析：s'（t）＝2at，由条件知，4a＝8，∴a＝2. 3. 设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单 位：km）表示这一点的海拔高度，y是x的函数，满足解析式y＝f （x），若函数y＝f（x）在x＝100处的导数f'（100）＝－0.1.试解释它 的实际意义. 解：f'（100）＝－0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化 率，如果保持这一速度，每经过1 km，该河流的海拔高度下降0.1 km. 2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时须在2 s内完成刹车，其位移s （单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s（t）＝－ t3－4t2＋20t＋ 15，则s'（1）的实际意义为（　　） A. 汽车刹车后1 s内的位移 B. 汽车刹车后1 s内的平均速度 C. 汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D. 汽车刹车后1 s时的位移 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的 瞬时速度.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应 的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（　　） A. －3 B. 3 C. 6 D. －6 解析： 　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度 为 （－3Δt－6）＝－6.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3－5t2（t表示时间），则t＝ 2时，汽车的加速度是（　　） A. 14 B. 4 C. 10 D. 6 解析： 　速度v（t）＝s'（t）＝6t2－10t.所以加速度a（t）＝v'（t） ＝12t－10，当t＝2时，a（t）＝14，即t＝2时汽车的加速度为14. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 某雪堆在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化 时间t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）＝ H （H为常数），其图象如图所示. 记此雪堆从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，观察图象可知瞬时 融化速度等于 m3/h的时刻是（　　） A. t1 B. t2 C. t3 D. t4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　本题需要明确平均速度与瞬时速度两个概念，从 图中看，实际上是切线斜率和割线斜率的关系.如图，平均 融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度 实际上是曲线V（t）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线 在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的 时刻是t3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位： s）之间的关系是v（t）＝0.4t＋0.6t2，当加速度为2.8 m/s2时，火车开出 去（　　） A. s B. 2 s C. s D. s 解析： 　由题意可知，v'（t）＝0.4＋1.2t，令0.4＋1.2t＝2.8，可得t ＝2 s. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时 间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t＋ t2表示，并且物体的动能Ek ＝ mv2（m为物体质量，v为物体运动速度），则物体开始运动后第7 s时 的动能是（　　） A. 160 J B. 165 J C. 170 J D. 175 J 解析： 　s（t）＝t＋ t2，则s'（t）＝v（t）＝1＋t，当t＝7时，v＝ 8，所以Ek＝ mv2＝ ×5×82＝160（J）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 一物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8，则其在t＝ ⁠时的瞬时速度 为1. 解析：s'（t）＝14t，由14t＝1，∴t＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过 计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是 ⁠ 米/秒.（最后结果精确到0.01） 解析：Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19， ＝ ≈11.93（米/ 秒）. 11.93　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬 时速度为 ⁠. 解析：位移公式为s（t）＝ at2，其中a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴s'（t）＝at，∴s'（t0）＝800（m/s）. 800 m/s　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位： m/s）为y＝v（t）＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速 度，并说明它们的意义. 解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v'（2）和v'（6）， 又v'（t）＝－2t＋6， ∴v'（2）＝2 m/s2，v'（6）＝－6 m/s2. 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说明在第2 s 附近汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减 少6 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 若函数y＝f（x）的图象上存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f （x）在这两点处的切线重合，则称函数y＝f（x）为“切线重合函 数”，下列函数中不是“切线重合函数”的是（　　） A. y＝ sin x＋ cos x B. y＝ sin （ cos x） C. y＝x＋ sin x D. y＝x2＋ sin x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　对于A，令f（x）＝y＝ sin x＋ cos x＝ （ sin x＋ cos x）＝ sin （ x＋ ），则f'（x）＝ cos （ x＋ ），当x＝2kπ＋ ， k∈Z时，f'（x）＝0，f（x）取得最大值 ，直线y＝ 是函数f（x） ＝ sin x＋ cos x图象的切线，且过点（ 2kπ＋ ， ），k∈Z，所以函数 f（x）＝ sin x＋ cos x是“切线重合函数”.对于B，令f（x）＝y＝ sin （ cos x），则f'（x）＝－ sin x· cos （ cos x），当x＝2kπ，k∈Z时，f' （x）＝0， cos x＝1，－ sin 1≤f（x）≤ sin 1，函数的最大值是 sin 1， 直线y＝ sin 1是函数f（x）＝ sin （ cos x）图象的切线，且过点（2kπ， sin 1），k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 所以函数f（x）＝ sin （ cos x）是“切线重合函数”.对于C，令f（x） ＝y＝x＋ sin x，则f'（x）＝1＋ cos x，当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，f'（x） ＝1，f（ 2kπ＋ ）＝2kπ＋ ＋1，k∈Z，所以过f（x）＝x＋ sin x图象 上的点（ 2kπ＋ ，2kπ＋ ＋1），k∈Z的切线方程是y－（ 2kπ＋ ＋1） ＝x－（ 2kπ＋ ），即y＝x＋1，所以函数f（x）＝x＋ sin x是“切线重 合函数”.对于D，令f（x）＝y＝x2＋ sin x，则f'（x）＝2x＋ cos x，令 g（x）＝f'（x）＝2x＋ cos x，则g'（x）＝2－ sin x＞0，所以g（x）＝ f'（x）是R上的增函数，因此函数图象上不存在两点满足题意，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点 时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的 关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度 为 m/s. 解析：∵h'（t）＝－9.8t＋14.7，∴h'（1）＝4.9.故烟花在t＝1 s时的瞬 时速度为4.9 m/s. 4.9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 质点的运动方程是S（t）＝ sin t，则质点在t＝ 时的速度为 　 　； 质点运动的加速度为 ⁠. 解析：v（t）＝S'（t）＝ cos t，∴v ＝ cos ＝ .即质点在t＝ 时的 速度为 .∵v（t）＝ cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（ cos t）'＝－ sin t. 　 － sin t　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位： m）关于时间t（单位：s）的函数为s（t）＝5－ .求函数s （t）在t＝ 时的导数，并解释它的实际意义. 解：由复合函数求导法则，得s'（t）＝－ （25－9t2 ·（－18t）＝ ， 将t＝ 代入s'（t）中，得s'（ ）＝ ， 它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的 数学模型是函数y＝A sin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合 音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝ sin x＋ sin 2x，则下列说法 正确的是（　　） A. f（x）在 上单调递增 B. f（x）的最大值为 C. f（x）在[0，2π]上有3个零点 D. f（x）在[0，2π]上有3个极值点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 取一个周期2π，不妨设x∈[0，2π]，f'（x）＝ cos x＋ cos 2x ＝2 cos 2x＋ cos x－1＝（2 cos x－1）（ cos x＋1），令f'（x）＝0，解得 x＝ 或x＝π或x＝ ，当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递 增，当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈ 时，f'（x）＞0，f （x）单调递增，所以A错误；f ＝ ，f（2π）＝0，所以f（x）的 最大值为 ，所以B正确；f（0）＝0，f（π）＝0，f（2π）＝0，结合f （x）的单调性可知f（x）在[0，2π]上有3个零点，所以C正确； f（x）在x＝ 和x＝ 处取得极值，所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8 千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时（8＜v≤v0）.若船每小时航 行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时 时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船在静 水中的航行速度v应为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k（k＞0），则y1 ＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720， ∴720＝k·122，得k＝5，则y1＝5v2. 设全程燃料费为y元，由题意， 得y＝f（v）＝y1· ＝ ， ∴f'（v）＝ ＝ . 令f'（v）＝0，解得v＝0（舍去）或v＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 若v0≥16，当v∈（8，16）时，f'（v）＜0，f（v）在（8，16）上单调 递减；当v∈（16，v0]时，f'（v）＞0，f（v）在（16，v0]上单调递增. 故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省. 若v0＜16，则v∈（8，v0]，且f'（v）＜0，f（v）在（8，v0]上单调递 减.故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省. 综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省； 若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $