第2章 7 培优课 利用导数研究恒（能）成立问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数应用中的恒成立与能成立问题，系统梳理分离参数、分类讨论、双变量转化三大题型，构建从基础导数运算到复杂参数范围求解的递进式学习支架，衔接函数单调性、极值等前置知识与实际问题解决。 资料通过例题解析与通性通法总结，培养学生数学思维（推理能力、运算能力），双变量问题分类归纳提升数学语言表达（模型观念）。课中助力教师分层教学，课后跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

题型一｜分离参数解决恒（能）成立问题 【例1】　已知函数f（x）＝. （1）若函数f（x）在区间（ a，a＋）上存在极值，求正实数a的取值范围； （2）如果当x≥1时，不等式f（x）－≥0恒成立，求实数k的取值范围； （3）若∃x∈[1，e]，使不等式f（x）－≥0成立，求实数k的取值范围. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.含参数的能成立（存在型）问题的解题方法 a≥f（x）在x∈D上能成立，则a≥f（x）min； a≤f（x）在x∈D上能成立，则a≤f（x）max. 2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f（x）（或a≤f（x））的形式，通过求函数y＝f（x）的最值求得参数范围.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min. 【跟踪训练】 已知f（x）＝ex－ax2，若f（x）≥x＋（1－x）ex在[0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 题型二｜分类讨论解决恒（能）成立问题 【例2】　（2025·唐山模拟）已知函数f（x）＝e2x＋（2－a）ex－ax＋（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x－aln x，g（x）＝－（a∈R）. （1）设函数h（x）＝f（x）－g（x），讨论函数h（x）的单调性； （2）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围. 题型三｜双变量恒（能）成立求参数范围问题 【例3】　已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax，函数g（x）＝，若对∀x1∈［，2］，∃x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 常见的双变量不等式恒（能）成立问题的类型 （1）对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）max； （2）对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f（x）min≥g（x）min； （3）若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）min； （4）若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f（x）max≥g（x）max； （5）对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min； （6）对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f（x）min≥g（x）max； （7）若存在x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）max； （8）若存在x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f（x1）≥g（x2）⇔f（x）max≥g（x）min. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝xex－ex，函数g（x）＝mx－m（m＞0），若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]使得f（x1）＝g（x2），求实数m的取值范围. 提示：完成课后作业　第二章　培优课 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　利用导数研究恒（能）成立问题 【典例研析】 【例1】　解：（1）函数的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝＝－， 令f'（x）＝0，得x＝1. 当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 所以x＝1为函数f（x）的极大值点，且是唯一极值点， 所以0＜a＜1＜a＋， 解得＜a＜1，即实数a的取值范围为（ ，1）. （2）原不等式可化为当x≥1时， k≤恒成立. 令g（x）＝（x≥1）， 则g'（x）＝＝. 再令h（x）＝x－ln x（x≥1），则h'（x）＝1－≥0， 所以h（x）≥h（1）＝1，所以g'（x）＞0， 所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（1）＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是（－∞，2]. （3）原不等式可化为当x∈[1，e]时，k≤有解. 令g（x）＝（x∈[1，e]）， 由（2）知，g（x）在[1，e]上为增函数， 所以g（x）max＝g（e）＝2＋，所以k≤2＋，即实数k的取值范围是（－∞，2＋］. 跟踪训练 　（－∞，1]　解析：f（x）≥x＋（1－x）ex， 即ex－ax2≥x＋ex－xex， 即ex－ax－1≥0，x≥0. 令h（x）＝ex－ax－1（x≥0）， 则h'（x）＝ex－a（x≥0）， 当a≤1时，由x≥0知h'（x）≥0， ∴在[0，＋∞）上h（x）≥h（0）＝0，原不等式恒成立. 当a＞1时，令h'（x）＞0，得x＞ln a； 令h'（x）＜0，得0≤x＜ln a.∴h（x）在[0，ln a）上单调递减， 又∵h（0）＝0，∴h（x）≥0不恒成立， ∴a＞1不合题意. 综上，实数a的取值范围为（－∞，1]. 【例2】　解：（1）由f（x）＝e2x＋（2－a）ex－ax＋（a∈R）， 得f'（x）＝2e2x＋（2－a）ex－a＝（ex＋1）（2ex－a）. ①当a≤0时，f'（x）＝（ex＋1）（2ex－a）＞0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； ②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln， 当x∈（ －∞，ln）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（ ln，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 综上所述，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. （2）由（1）知，①当a＜0时，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增， f（ ）＝＋（2－a）－a×＋＜1＋（2－a）－3＋＝（ －1）a＜0，不符合题意. ②当a＝0时，f（x）＝e2x＋2ex＞0，符合题意. ③当a＞0时，f（x）min＝f（ ln）＝a－－aln＋， 要使f（x）≥0恒成立，则只需f（x）min≥0恒成立， 即a－－aln＋≥0，亦即1－－ln＋≥0. 记g（a）＝1－－ln＋（a＞0），则g'（a）＝－－＜0， 于是g（a）在（0，＋∞）上单调递减， 又因为g（2e）＝1－－ln＋＝0， 所以当0＜a≤2e时，g（a）≥0，即f（x）min≥0，符合题意；当a＞2e时，g（a）＜0，不符合题意. 综上可知，a的取值范围为[0，2e]. 跟踪训练 　解：（1）h（x）＝x＋－aln x（x＞0）， h'（x）＝1－－＝＝. ①当1＋a＞0，即a＞－1时， 在（0，1＋a）上h'（x）＜0， 在（1＋a，＋∞）上h'（x）＞0， 所以h（x）在（0，1＋a）上单调递减， 在（1＋a，＋∞）上单调递增； ②当1＋a≤0，即a≤－1时， 在（0，＋∞）上h'（x）＞0， 所以函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数， 综上所述，当a＞－1时，h（x）在（0，1＋a）上单调递减，在（1＋a，＋∞）上单调递增； 当a≤－1时，函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数. （2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立， 即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0， 即函数h（x）＝x＋－aln x在[1，e]上的最小值小于零. 由（1）可知： ①当1＋a≥e，即a≥e－1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e）， 由h（e）＝e＋－a＜0可得a＞. ②当1＋a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增， 所以h（x）的最小值为h（1）， 由h（1）＝1＋1＋a＜0可得a＜－2. ③当1＜1＋a＜e，即0＜a＜e－1时， 可得h（x）的最小值为h（1＋a）. 因为0＜ln（1＋a）＜1， 所以0＜aln（1＋a）＜a. 故h（1＋a）＝2＋a－aln（1＋a）＞2， 此时，h（1＋a）＜0不成立. 综上所述，所求a的取值范围是（－∞，－2）∪（ ，＋∞）. 【例3】　解：“对∀x1∈［，2］，∃x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立”等价于“当x∈［，2］时，f'（x）max≤g（x）max”. 因为f'（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在［，2］上单调递增， 所以f'（x）max＝f'（2）＝8＋a. 而g'（x）＝，由g'（x）＞0，得x＜1， 由g'（x）＜0，得x＞1， 所以g（x）在（－∞，1）上单调递增， 在（1，＋∞）上单调递减. 所以当x∈［，2］时，g（x）max＝g（1）＝. 由8＋a≤，得a≤－8， 所以实数a的取值范围为（ －∞，－8］. 跟踪训练 　解：∵函数f（x）＝xex－ex＝ex（x－1）的导函数f'（x）＝ex（x－1）＋ex＝xex， ∴当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0， 故f（x）在（－∞，0）上单调递减， ∴f（x）min＝f（0）＝－1， 又f（－2）＝－3e－2，f（2）＝e2， ∴f（x）在[－2，2]上的值域为[－1，e2]， 又函数g（x）＝mx－m（m＞0）在[－2，2]上单调递增， ∴g（x）在[－2，2]上的值域为[－3m，m]. 若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]，使得f（x1）＝g（x2）， 则[－1，e2]⊆[－3m，m]， ∴－3m≤－1＜e2≤m， 解得m≥e2，即实数m的取值范围是[e2，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $