第06讲 函数的极值与最值及其应用（高效培优讲义，6知识&10题型精讲+强化训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦函数的极值与最值及其应用核心知识点，系统梳理从极值与极值点定义、判定条件（必要与充分条件）、求解步骤到最值定义、求法及实际应用的完整脉络，构建从概念理解到方法掌握再到实际建模的学习支架。 资料特色在于融合数学核心素养，通过易错辨析（如极值点与导函数零点关系）和即学即练（如矩形堆料场面积问题），培养数学思维与建模能力。课中教师可依托题型引导分类讨论，课后学生通过练习题查漏补缺，提升解题规范与应用意识。

第6讲 函数的极值与最值及其应用 教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解函数极值、极值点的定义，能准确区分极值与极值点的概念. 2.掌握可导函数取得极值的必要条件与充分条件，能熟练运用导数判定函数的极值. 3.掌握闭区间上连续函数最值的存在性定理，能规范求解闭区间上函数的最值. 4.能建立实际问题的函数模型，运用极值与最值知识解决利润、成本、面积等实际应用问题. （二）过程与方法目标 1.通过数形结合思想，经历“函数图像→导数符号→极值判定”的推理过程，培养抽象概括能力. 2.在含参数函数极值与最值的求解中，掌握分类讨论的思想方法，提升逻辑推理能力. 3.在实际应用问题中，经历“审题→建模→求解→检验”的完整流程，培养数学建模能力. （三）情感态度与价值观目标 1.体会导数作为研究函数性质的工具价值，感受数学知识的严谨性与实用性. 2.通过解决实际问题，培养运用数学知识解决生活问题的意识，提升学习数学的兴趣. 教学重难点 （一）教学重点 1.函数极值的定义与导数判定方法. 2.闭区间上连续函数最值的求解步骤. 3.极值与最值的实际应用问题建模与求解. （二）教学难点 1.对“是可导函数在处取得极值的必要不充分条件”的理解. 2.含参数函数极值点的个数判定与最值的分类讨论. 3.实际应用问题中函数定义域的确定与最优解的检验. 知识点01 函数极值与极值点的定义 1.极大值与极大值点 设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极大值，称点是函数的极大值点. 2.极小值与极小值点 设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极小值，称点是函数的极小值点. 3.极值与极值点的统称：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点. 易错辨析 1.误区：极值点是函数取得极值的纵坐标. 纠正：极值点是横坐标，极值是纵坐标，二者不可混淆. 2.误区：函数的极大值一定大于极小值. 纠正：极值是局部性质，一个函数在某区间内的极大值可能小于极小值. 3.误区：所有函数都存在极值. 纠正：单调函数（如，）在定义域内无极值. 重点记忆内容 1.极值的局部性：极值只与附近的函数值有关，不代表函数在整个定义域内的最值. 2.极值点的存在前提：函数在处连续（可导函数必连续，但连续函数不一定可导）. 常考结论 1.函数的极值点一定在定义域内. 2.极值点处函数的单调性一定发生改变（左增右减为极大值点，左减右增为极小值点）. 3.不可导点也可能是极值点（如在处不可导，但是极小值点）. 【即学即练】 1．（24-25高二·全国·课堂例题）知识点一  函数极值的定义 一般地，设函数的定义域为D，设，如果对于附近的任意不同于的x，都有 （1） ，则称为函数的一个 ，且在处取极大值； （2） ，则称为函数的一个 ，且在处取极小值． 极大值点与极小值点都称为 ，极大值与极小值都称为 ．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 2.（24-25高三上·上海·课前预习）利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 知识点02 可导函数取得极值的条件 1.必要条件 若函数在处可导，且在处取得极值，则. 2.充分条件（第一判定定理） 设函数在处连续，且在的左右两侧可导： 若时，；时，，则在处取得极大值. 若时，；时，，则在处取得极小值. 若两侧的符号相同，则在处无极值. 3.充分条件（第二判定定理） 设函数在处具有二阶导数，且，： 若，则在处取得极大值. 若，则在处取得极小值. 易错辨析 1.误区：是函数在处取得极值的充要条件. 纠正：是必要不充分条件，如，，但不是极值点. 2.误区：第二判定定理中，时函数在处无极值. 纠正：时无法用第二判定定理，需改用第一判定定理，如，，，但是极小值点. 重点记忆内容 1.第一判定定理的适用范围：所有连续函数（无论是否可导）. 2.第二判定定理的适用范围：二阶可导且的函数. 3.极值判定的核心逻辑：导数符号的变化是判定极值的关键，而非本身. 常考结论 1.可导函数的极值点必为导函数的零点，但导函数的零点不一定是极值点. 2.若函数在区间内只有一个极值点，则该极值点必为函数在内的最值点. 【即学即练】 1．函数的极值 （1）函数极值的定义：如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，；而且在点x＝a附近的左侧<0，右侧>0. 类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，；而且在点x＝b附近的左侧>0，右侧<0. 我们把a叫做函数y＝f（x）的 ，f（a）叫做函数y＝f（x）的 ；b叫做函数y＝f（x）的 ，f（b）叫做函数y＝f（x）的 . 极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 . （2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f（x）在某一点的导数值为0是函数y＝f（x）在这点取得极值的 . 可导函数y＝f（x）在x＝处取极大（小）值的充分条件是： ① ； ②在x＝附近的左侧（<0），右侧（>0）. （3）导数求极值的方法：解方程＝0，当时，如果在附近的左侧>0，右侧＜0，那么f（）是 ；如果在附近的左侧＜0，右侧>0，那么f（）是 . 2．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 知识点03 利用导数求函数极值的步骤 1.确定定义域：写出函数的定义域. 2.求导函数：计算，并化简. 3.找临界点：解方程，求出定义域内的所有根；同时找出不存在的点（不可导点）. 4.判定符号：将临界点作为分界点，划分定义域为若干子区间，判断在每个子区间内的符号. 5.确定极值：根据第一判定定理或第二判定定理，判定每个临界点是否为极值点，若是则求出对应极值. 易错辨析 1.误区：忽略定义域优先原则，将定义域外的导函数零点作为极值点. 纠正：所有临界点必须在定义域内，超出定义域的点无需讨论. 2.误区：遗漏不存在的点. 纠正：不可导点可能是极值点，必须纳入临界点进行讨论. 3.误区：仅由直接判定为极值点. 纠正：必须结合临界点两侧的导数符号变化才能判定. 重点记忆内容 1.求极值的核心步骤：找临界点→判符号→定极值. 2.含参数函数求极值的关键：对参数进行分类讨论，讨论依据为导函数零点的大小关系或零点是否在定义域内. 常考结论 1.多项式函数的极值点个数不超过个. 2.若是一次函数，则最多有1个极值点；若是二次函数，则最多有2个极值点. 【即学即练】 1．设，函数的单调增区间是． (1)求实数a； (2)求函数的极值． 2.（23-24高二下·全国·课前预习）设为实数，函数．求的极值. 知识点04 函数的最值与最值点的定义 1.最大值与最大值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最大值，称是最大值点. 2.最小值与最小值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最小值，称是最小值点. 3.最值的统称：最大值与最小值统称为最值. 易错辨析 1.误区：函数在定义域内一定存在最值. 纠正：非闭区间上的连续函数可能不存在最值，如在上既无最大值也无最小值. 2.误区：极值一定是最值，最值一定是极值. 纠正：极值是局部性质，最值是整体性质；最值可能在区间端点处取得（此时不是极值）. 重点记忆内容 1.最值的整体性：最值与函数在整个区间上的函数值有关. 2.闭区间上连续函数的最值存在性：若在上连续，则在上一定存在最大值和最小值. 常考结论 1.闭区间上连续函数的最值必在区间端点或区间内的极值点处取得. 2.若函数在上单调递增，则，；若单调递减，则，. 【即学即练】 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．( ) (2)函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) (4)函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值．( ) 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 知识点05 利用导数求闭区间上函数最值的步骤 1.验证连续性：确认函数在上连续（初等函数在定义域内均连续）. 2.求导函数：计算，并化简. 3.找临界点：解方程，求出内的所有根；同时找出内不存在的点，记所有临界点为. 4.算函数值：计算、、、、、. 5.比大小定最值：比较上述所有函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 易错辨析 1.误区：忽略验证函数在闭区间上的连续性. 纠正：若函数在上不连续，则可能不存在最值，后续计算无意义. 2.误区：遗漏区间内的不可导点. 纠正：不可导点可能是极值点，进而影响最值的求解. 3.误区：比较函数值时遗漏区间端点的函数值. 纠正：最值可能在端点处取得，必须纳入比较范围. 重点记忆内容 1.求闭区间最值的核心步骤：找全临界点→算准函数值→比大小定最值. 2.含参数函数求最值的关键：根据参数的取值范围，讨论临界点是否在区间内，并比较不同情况下的函数值大小. 常考结论 1.若函数在内只有一个极值点，则该极值点必为最值点（极大值点为最大值点，极小值点为最小值点）. 2.若函数在内无极值点，则最值在区间端点处取得. 【即学即练】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 2.已知函数，且当时，有极值． (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． 知识点06 极值与最值的实际应用问题 1.核心解题步骤 步骤 操作要点 审题 明确实际问题中的已知条件和目标量（如最大利润、最小成本、最大体积等） 建模 设自变量（需符合实际意义），建立目标函数，并确定定义域 求解 利用导数求函数在定义域内的极值，结合实际意义判定最值 检验 验证所求最值是否符合实际问题的背景（如长度非负、产量为正等） 作答 写出实际问题的答案，注明单位 2.常见应用模型 1.利润最大化：利润收入成本，为产量或销量. 2.成本最小化：建立成本函数，为产量、用料量等. 3.几何最值：面积/体积最值问题，建立面积/体积函数，为边长、半径、高. 易错辨析 1.误区：自变量选取不当，导致函数模型复杂. 纠正：选取与目标量直接相关的变量作为自变量，简化函数表达式. 2.误区：忽略函数定义域的实际约束. 纠正：定义域必须符合实际意义，如（长度、产量）、（取值范围限制）. 3.误区：未检验最优解的实际意义. 纠正：即使求出函数的最值，也需验证是否符合实际问题的背景（如利润不能为负）. 重点记忆内容 1.实际应用问题的核心：将实际问题转化为函数最值问题. 2.最优解的判定技巧：若目标函数在定义域内只有一个极值点，则该极值点对应的函数值即为实际问题的最值（无需与端点比较）. 常考结论 1.实际应用问题中，目标函数通常为单极值函数，极值点即为最值点. 2.几何最值问题需熟练运用几何图形的面积、体积公式，确保模型构建准确. 【即学即练】 1．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 2．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm． (1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 题型01 极值与极值点的概念辨析 【典例1】已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】【多选题】下列结论正确的是（    ） A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【变式2】判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) 【变式3】【多选题】判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极小值一定比极大值小． B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D．三次函数在R上可能不存在极值． 核心考点：极值与极值点的定义区分、极值的局部性特征、极值与函数单调性的关联 方法技巧： 1.定义锚定法：明确极值点是横坐标，极值是纵坐标，二者不可混淆；判定某点是否为极值点，必须紧扣“附近所有点的函数值均小于（或大于）”的局部性定义，而非整体函数值大小关系. 2.单调性辅助法：极值点处函数单调性必发生突变，即左、右两侧单调性相反；若函数在某点两侧单调性一致（如在处），则该点一定不是极值点. 3.易错规避技巧：①拒绝“极大值一定大于极小值”的误区，极值的大小仅局限于局部区间，整体上极大值可能小于极小值；②不可导点可能是极值点（如在处），但不可导点不一定是极值点，需结合单调性突变特征判断；③极值点必须在函数定义域内，定义域外的导函数零点无意义. 题型02 导函数图像与极值或极值点的关系 【典例1】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【变式1】【多选题】函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【变式2】已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【变式3】（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 核心考点：由导函数图像判断极值点个数、极值类型（极大/极小）、导函数符号与函数单调性的对应关系 方法技巧： 1.极值点的图像判定准则：导函数图像与轴的交点不一定是极值点，关键看交点处导函数的符号是否发生突变；若左正右负，则对应原函数的极大值点；若左负右正，则对应极小值点；若符号不变，则不是极值点. 2.极值个数的判断方法：导函数图像与轴有个符号突变的交点，原函数就有个极值点；若导函数图像与轴相切（如），则切点处导函数符号不变，不构成极值点. 3.辅助分析技巧：①先明确导函数图像中“正区间”对应原函数单调递增，“负区间”对应原函数单调递减；②结合导函数的增减性可判断原函数的凹凸性，但不影响极值点的判定，核心仍聚焦导函数符号的突变点；③若导函数图像跨越轴时斜率绝对值越大，说明原函数在该极值点附近的单调性变化越剧烈. 题型03 求已知函数的极值或极值点 【典例1】（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知函数的图象在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 【变式1】（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【变式2】（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，则在上的极值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知函数在处的切线平行于直线 (1)求的值： (2)求的单调区间和极值． 核心考点：基本求导公式与法则的应用、极值判定的第一/第二定理、定义域优先原则 方法技巧： 1.标准化解题步骤：①定定义域：先写出函数的定义域，后续所有分析均在定义域内进行；②求导化简：计算导函数，通过因式分解等方式化简，便于找零点；③找临界点：解方程，求出定义域内的根，同时找出不存在的点（不可导点）；④符号判定：用“数轴标根法”或“列表法”，判断每个临界点左、右两侧的符号；⑤定极值：根据符号变化确定极值类型，代入原函数求出极值. 2.判定定理选择技巧：①第一判定定理适用范围广，可用于可导函数和不可导但连续的函数，核心看符号变化；②第二判定定理适用于二阶可导且的函数，计算更简便，只需判断二阶导数符号：为极大值，为极小值；若，需改用第一判定定理. 3.易错规避技巧：①不可遗漏定义域内的不可导点；②解方程时，需注意分式、根式等形式的定义域限制，避免增根；③符号判定时，区间划分要完整，每个子区间内取代表性点代入导函数判断符号，确保准确. 题型04 由极值或极值点求参数 【典例1】（2026·四川绵阳·二模）已知函数（，a为常数） (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求a的取值范围 【变式1】（25-26高三上·河南·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【变式2】（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为 . 核心考点：极值点的必要条件（）与充分条件、参数的分类讨论、方程与不等式的综合应用 方法技巧： 1.基本解题框架：①列方程：由极值点的必要条件，将代入，得到关于参数的方程，初步求解参数值；②验充分性：将初步求得的参数值代入原函数，判断在处是否满足极值的充分条件（即导函数符号是否突变），排除“导函数零点非极值点”的情况；③定范围：若题目给出极值类型（极大/极小）或极值大小，需结合判定定理列不等式，进一步确定参数的取值范围. 2.分类讨论技巧：①当导函数为二次函数时，参数可能影响导函数零点的个数、大小或位置，需按判别式的符号、零点与定义域的关系分类；②当参数在导函数的一次项或常数项时，重点讨论零点是否存在、零点是否在函数定义域内. 3.易错规避技巧：①避免“由直接确定参数值”，必须验证充分性，否则易产生增根；②含多参数时，需明确主参数与辅助参数，逐步分析；③若函数存在多个极值点，需保证各极值点对应的导函数零点均满足符号突变条件. 题型05 函数最值与极值的辨析 【典例1】【多选题】（25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【变式1】【多选题】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）观察如图所示函数的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题. (1)图中所示函数的最值点与最值分别是多少? (2)图中所示函数的极值点与极值分别是多少? (3)一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系?怎样求可导函数的最值? 【变式3】【多选题】（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 核心考点：最值的整体性与极值的局部性差异、最值与极值的联系、不同区间内最值的存在性 方法技巧： 1.概念区分核心：①性质差异：极值是局部性质，仅与某点附近函数值相关；最值是整体性质，与整个区间内所有函数值相关；②存在性差异：闭区间上连续函数一定存在最值，可能存在多个极值；开区间上连续函数不一定存在最值，但若存在最值，必为极值；③数量差异：一个函数在某区间内可有多个极值，且极值大小无固定关系；最值唯一（可能在多个点处取得相同最值）. 2.联系判定技巧：①闭区间上的最值必在区间端点或区间内的极值点处取得；②若函数在区间内只有一个极值点，则该极值点必为最值点；③极值不一定是最值，当极值大于区间两端点函数值时，极值即为最大值；当极值小于区间两端点函数值时，极值即为最小值. 3.易错规避技巧：①拒绝“开区间内函数一定无最值”的误区，如在内有最大值1；②区分“最值点”与“极值点”，区间端点可为最值点，但一定不是极值点；③不可用极值的大小直接判定最值，需结合区间端点函数值综合比较. 题型06 求函数的最值（不含参数） 【典例1】（2026·河南开封·一模）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【变式1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（是自然对数的底数） (1)求函数在上的单调增区间； (2)若为的导函数，函数，求在上的最大值. 【变式2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 【变式3】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 核心考点：闭区间上连续函数最值的求解步骤、开区间内函数最值的判定、单调函数的最值特征 方法技巧： 1.闭区间上的标准化步骤：①验连续性：确认函数在上连续（初等函数在定义域内均连续）；②求导找临界点：计算，求出内的根和不存在的点，记为；③算函数值：计算；④比大小定最值：比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值. 2.开区间上的求解技巧：①先判断函数在开区间内的单调性，若单调，则无最值；②若存在极值点，计算极值大小，再判断函数在区间端点处的极限趋势：若和时，，则唯一极大值即为最大值；若，则唯一极小值即为最小值；③若存在多个极值点，需比较极值大小及端点极限趋势，确定是否存在最值. 3.简化技巧：①单调函数的最值可直接代入区间端点求解，无需找极值点；②若函数在区间内只有一个极值点，可直接将该极值作为最值，无需与端点值比较（适用于开区间或闭区间）. 题型07 求函数的最值（含参数） 【典例1】（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若且的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·天津河北·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【变式3】（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 核心考点：参数对临界点个数与位置的影响、分类讨论思想、区间与临界点的位置关系分析 方法技巧： 1.分类讨论核心标准：①按临界点的存在性分类：通过导函数的判别式判断零点是否存在（适用于导函数为二次函数的情况）；②按临界点与区间的位置关系分类：将临界点与区间端点$a、b$比较，分为“临界点在区间内”“临界点在区间左端点左侧”“临界点在区间右端点右侧”三类；③按参数对函数单调性的影响分类：参数不同取值可能导致函数在区间内单调递增、单调递减或先增后减（先减后增）. 2.解题步骤：①求导化简：得到含参数的导函数，分析其零点情况（用参数表示临界点）；②分类讨论：根据上述分类标准划分参数范围，逐一分析每种范围内函数的单调性、极值点；③求最值：在每种参数范围内，计算区间端点和极值点的函数值，比较得出最值（最值需用参数表示）；④整合结论：汇总不同参数范围对应的最值，形成完整结论. 3.易错规避技巧：①分类讨论时需保证“不重不漏”，区间划分的临界点要准确；②当参数影响导函数的符号时，需明确每种情况下导函数的正、负区间，避免单调性判断错误；③计算含参数的函数值时，注意代数式的化简，确保最值表达式简洁准确. 题型08 由函数的最值求参数 【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【变式2】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【变式3】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 核心考点：含参数函数的最值表达式、方程思想、参数范围的边界分析 方法技巧： 1.解题核心框架：①先求最值：按题型07的方法，求出含参数的函数最值表达式（需分参数范围讨论）；②列方程/不等式：根据题目给出的最值大小，建立关于参数的方程或不等式；③求解验证：解出参数值或参数范围，再代入原函数验证，确保在该参数取值下，函数的最值确实符合题意；④定范围：若存在多个参数范围满足条件，需整合得出最终的参数取值集合. 2.关键分析技巧：①若最值在区间端点处取得，直接将端点函数值等于已知最值，解出参数，再验证函数在区间内的单调性（确保端点确实为最值点）；②若最值在区间内的极值点处取得，先由确定极值点与参数的关系，再将极值点代入原函数等于已知最值，解出参数，最后验证极值点是否在区间内；③若题目要求“最值不大于（或不小于）某值”，则建立不等式，结合参数范围求解. 3.易错规避技巧：①避免忽略参数范围的限制，解出的参数需在之前分类讨论的参数范围内才有效；②当存在多个极值点时，需确认哪个极值点对应题目中的最值；③验证步骤不可省略，防止因导函数符号判断错误导致最值求解偏差. 题型09 函数单调性极值最值的综合应用 【典例1】（山东省青岛市2025-2026学年高三上学期1月部分学生调研检测数学试题）设函数，曲线在点处的切线斜率为3． (1)求a的值； (2)设函数． （i）讨论极值点的个数； （ⅱ）若，求b的最小值． 【变式1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数. (1)求的单调区间； (2)已知与有相同的最大值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 【变式3】（2025高三上·湖北咸宁·专题练习）已知函数. (1)当时，证明：在上单调递减； (2)若有两个极值点，满足且，求的取值范围； 核心考点：单调性、极值、最值的内在关联、转化与化归思想、不等式恒成立/能成立问题的转化 方法技巧： 1.核心关联转化：①单调性→极值：函数单调性突变的点为极值点，可通过单调性判断极值类型；②极值→最值：闭区间内的最值由极值和端点值共同确定，开区间内的最值可通过极值和端点极限趋势确定；③最值→不等式：不等式恒成立问题（如对恒成立）可转化为；不等式能成立问题（如存在使）可转化为. 2.综合解题步骤：①分析单调性：求导并判断导函数符号，确定函数的单调区间；②求极值：根据单调性突变点求出函数的极值；③求最值：结合区间端点值求出函数的最值；④解决目标问题：将综合问题（如不等式、方程根的个数）转化为最值问题，代入最值表达式求解. 3.技巧拓展：①含参不等式恒成立问题，可先分离参数（如恒成立，转化为），简化求解；②若函数存在多个单调区间，需逐一分析每个区间内的极值，再综合比较得出最值；③方程根的个数问题，可通过分析函数的单调性、极值和最值，结合函数图像的走势判断根的个数. 题型10 函数最值的实际应用 【典例1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是 . 【变式2】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【变式3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 核心考点：数学建模思想、实际问题的定义域限制、最值的实际意义检验 方法技巧： 1.标准化建模步骤：①审题析量：明确实际问题中的已知条件、未知量和目标量（如最大利润、最小成本、最大体积等），梳理各量之间的数量关系；②设元建模：选取与目标量直接相关的变量作为自变量（注意的实际意义，如长度、产量需为正数），根据数量关系建立目标函数，并严格确定函数的定义域（结合实际问题的约束条件）；③求解最值：利用导数求出函数在定义域内的极值，结合实际问题特征判定最值（实际问题多为单极值函数，极值点即为最值点）；④检验作答：验证所求最值是否符合实际意义（如是否为正、是否在合理范围内），写出最终答案并注明单位. 2.常见模型构建技巧：①利润模型：利润=收入-成本，需明确收入、成本与产量/销量的函数关系；②几何最值模型：面积/体积问题，需结合几何图形的边长、半径、高等变量，利用几何公式构建函数（如长方体体积=长×宽×高）；③成本模型：需区分固定成本与可变成本，可变成本与产量成线性或非线性关系. 3.易错规避技巧：①变量选取要合理，避免因变量选取不当导致函数模型复杂；②定义域的确定要严格遵循实际意义，不可仅由数学表达式确定；③不可直接将数学上的最值作为实际问题的答案，必须检验其实际可行性（如长度不能为负、产量不能为小数等）；④构建函数时，要确保数量关系准确，避免公式错误（如利润公式、几何公式混淆）. 一、单选题 1．（25-26高三上·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 2．（25-26高三上·福建宁德·月考）已知函数，则下列说法不正确（   ） A．在上单调递减 B．是的零点 C．的极小值为0 D．的极大值点为 3．（2025·全国·模拟预测）设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（   ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点;                乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减;            丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25高二下·云南曲靖·月考）函数在上（   ） A．有极大值，且极大值为 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏无锡·月考）如图所示，在直角坐标系中（轴未画出）．已知为原点，均为函数的极值点，在点之间，则满足如图图象的函数可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高三上·江西·月考）已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 9．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 三、填空题 11．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知是实数，是函数的一个极值点，则 ． 12．（24-25高二下·江苏南通·月考）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 16．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 17．（24-25高二下·重庆·月考）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.    (1)求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； (3)要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 18．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 19．（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 20．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数（a为常数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 函数的极值与最值及其应用 教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解函数极值、极值点的定义，能准确区分极值与极值点的概念. 2.掌握可导函数取得极值的必要条件与充分条件，能熟练运用导数判定函数的极值. 3.掌握闭区间上连续函数最值的存在性定理，能规范求解闭区间上函数的最值. 4.能建立实际问题的函数模型，运用极值与最值知识解决利润、成本、面积等实际应用问题. （二）过程与方法目标 1.通过数形结合思想，经历“函数图像→导数符号→极值判定”的推理过程，培养抽象概括能力. 2.在含参数函数极值与最值的求解中，掌握分类讨论的思想方法，提升逻辑推理能力. 3.在实际应用问题中，经历“审题→建模→求解→检验”的完整流程，培养数学建模能力. （三）情感态度与价值观目标 1.体会导数作为研究函数性质的工具价值，感受数学知识的严谨性与实用性. 2.通过解决实际问题，培养运用数学知识解决生活问题的意识，提升学习数学的兴趣. 教学重难点 （一）教学重点 1.函数极值的定义与导数判定方法. 2.闭区间上连续函数最值的求解步骤. 3.极值与最值的实际应用问题建模与求解. （二）教学难点 1.对“是可导函数在处取得极值的必要不充分条件”的理解. 2.含参数函数极值点的个数判定与最值的分类讨论. 3.实际应用问题中函数定义域的确定与最优解的检验. 知识点01 函数极值与极值点的定义 1.极大值与极大值点 设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极大值，称点是函数的极大值点. 2.极小值与极小值点 设函数在点及其附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的极小值，称点是函数的极小值点. 3.极值与极值点的统称：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点. 易错辨析 1.误区：极值点是函数取得极值的纵坐标. 纠正：极值点是横坐标，极值是纵坐标，二者不可混淆. 2.误区：函数的极大值一定大于极小值. 纠正：极值是局部性质，一个函数在某区间内的极大值可能小于极小值. 3.误区：所有函数都存在极值. 纠正：单调函数（如，）在定义域内无极值. 重点记忆内容 1.极值的局部性：极值只与附近的函数值有关，不代表函数在整个定义域内的最值. 2.极值点的存在前提：函数在处连续（可导函数必连续，但连续函数不一定可导）. 常考结论 1.函数的极值点一定在定义域内. 2.极值点处函数的单调性一定发生改变（左增右减为极大值点，左减右增为极小值点）. 3.不可导点也可能是极值点（如在处不可导，但是极小值点）. 【即学即练】 1．（24-25高二·全国·课堂例题）知识点一  函数极值的定义 一般地，设函数的定义域为D，设，如果对于附近的任意不同于的x，都有 （1） ，则称为函数的一个 ，且在处取极大值； （2） ，则称为函数的一个 ，且在处取极小值． 极大值点与极小值点都称为 ，极大值与极小值都称为 ．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 【答案】 极大值点 极小值点 极值点 极值 2.（24-25高三上·上海·课前预习）利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点． ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 【答案】 不大于 极大值 极大值点 不小于 极小值点 极大值 极小值． 知识点02 可导函数取得极值的条件 1.必要条件 若函数在处可导，且在处取得极值，则. 2.充分条件（第一判定定理） 设函数在处连续，且在的左右两侧可导： 若时，；时，，则在处取得极大值. 若时，；时，，则在处取得极小值. 若两侧的符号相同，则在处无极值. 3.充分条件（第二判定定理） 设函数在处具有二阶导数，且，： 若，则在处取得极大值. 若，则在处取得极小值. 易错辨析 1.误区：是函数在处取得极值的充要条件. 纠正：是必要不充分条件，如，，但不是极值点. 2.误区：第二判定定理中，时函数在处无极值. 纠正：时无法用第二判定定理，需改用第一判定定理，如，，，但是极小值点. 重点记忆内容 1.第一判定定理的适用范围：所有连续函数（无论是否可导）. 2.第二判定定理的适用范围：二阶可导且的函数. 3.极值判定的核心逻辑：导数符号的变化是判定极值的关键，而非本身. 常考结论 1.可导函数的极值点必为导函数的零点，但导函数的零点不一定是极值点. 2.若函数在区间内只有一个极值点，则该极值点必为函数在内的最值点. 【即学即练】 1．函数的极值 （1）函数极值的定义：如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，；而且在点x＝a附近的左侧<0，右侧>0. 类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，；而且在点x＝b附近的左侧>0，右侧<0. 我们把a叫做函数y＝f（x）的 ，f（a）叫做函数y＝f（x）的 ；b叫做函数y＝f（x）的 ，f（b）叫做函数y＝f（x）的 . 极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 . （2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f（x）在某一点的导数值为0是函数y＝f（x）在这点取得极值的 . 可导函数y＝f（x）在x＝处取极大（小）值的充分条件是： ① ； ②在x＝附近的左侧（<0），右侧（>0）. （3）导数求极值的方法：解方程＝0，当时，如果在附近的左侧>0，右侧＜0，那么f（）是 ；如果在附近的左侧＜0，右侧>0，那么f（）是 . 【答案】 极小值点 极小值 极大值点 极大值， 极值点 极值 必要条件 极大值 极小值 2．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）； 【分析】根据导函数的图像判断导函数的极大值和极小值点；由导函数图像判断原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值和极小值点. 【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 知识点03 利用导数求函数极值的步骤 1.确定定义域：写出函数的定义域. 2.求导函数：计算，并化简. 3.找临界点：解方程，求出定义域内的所有根；同时找出不存在的点（不可导点）. 4.判定符号：将临界点作为分界点，划分定义域为若干子区间，判断在每个子区间内的符号. 5.确定极值：根据第一判定定理或第二判定定理，判定每个临界点是否为极值点，若是则求出对应极值. 易错辨析 1.误区：忽略定义域优先原则，将定义域外的导函数零点作为极值点. 纠正：所有临界点必须在定义域内，超出定义域的点无需讨论. 2.误区：遗漏不存在的点. 纠正：不可导点可能是极值点，必须纳入临界点进行讨论. 3.误区：仅由直接判定为极值点. 纠正：必须结合临界点两侧的导数符号变化才能判定. 重点记忆内容 1.求极值的核心步骤：找临界点→判符号→定极值. 2.含参数函数求极值的关键：对参数进行分类讨论，讨论依据为导函数零点的大小关系或零点是否在定义域内. 常考结论 1.多项式函数的极值点个数不超过个. 2.若是一次函数，则最多有1个极值点；若是二次函数，则最多有2个极值点. 【即学即练】 1．设，函数的单调增区间是． (1)求实数a； (2)求函数的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，极大值为0. 【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值. （2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值. 【详解】（1）函数的定义域为： 且 因为函数的单调增区间是， 所以的解集是. 所以方程的解是，， 所以 . （2）当时，令，则或 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 f'(x) + 0 f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当时，有极小值 ； 当时，有极大值. 2.（23-24高二下·全国·课前预习）设为实数，函数．求的极值. 【答案】极大值为，极小值为 【分析】利用函数的导函数符号确定函数单调性，即得函数的极大极小值. 【详解】函数的定义域为R，， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 故函数的极大值为，极小值为. 知识点04 函数的最值与最值点的定义 1.最大值与最大值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最大值，称是最大值点. 2.最小值与最小值点 设函数在区间上有定义，若存在，使得对任意，都有，则称是函数在区间上的最小值，称是最小值点. 3.最值的统称：最大值与最小值统称为最值. 易错辨析 1.误区：函数在定义域内一定存在最值. 纠正：非闭区间上的连续函数可能不存在最值，如在上既无最大值也无最小值. 2.误区：极值一定是最值，最值一定是极值. 纠正：极值是局部性质，最值是整体性质；最值可能在区间端点处取得（此时不是极值）. 重点记忆内容 1.最值的整体性：最值与函数在整个区间上的函数值有关. 2.闭区间上连续函数的最值存在性：若在上连续，则在上一定存在最大值和最小值. 常考结论 1.闭区间上连续函数的最值必在区间端点或区间内的极值点处取得. 2.若函数在上单调递增，则，；若单调递减，则，. 【即学即练】 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．( ) (2)函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) (4)函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值．( ) 【答案】(1)正确 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】（1）（2）根据极值和最值的定义作出判断；（3）可举出反例；（4）可举出实例. 【详解】（1）函数的最大值可能在端点处取到，故函数的最大值不一定是函数的极大值，正确； （2）函数在区间上的最大值与最小值可能在区间端点处取得， 也可能在极大值点和极小值点处取得，错误； （3）有极值的函数不一定有最值，比如，， ，当时，，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，恒成立，当时，， 故在处取得极小值，但函数没有最小值，故错误； （4）若函数在区间上连续，若在单调， 则在区间上一定有最值，但没有极值， 即函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值；正确. 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 【答案】D 【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误； 函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误； 若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确. 故选：D. 知识点05 利用导数求闭区间上函数最值的步骤 1.验证连续性：确认函数在上连续（初等函数在定义域内均连续）. 2.求导函数：计算，并化简. 3.找临界点：解方程，求出内的所有根；同时找出内不存在的点，记所有临界点为. 4.算函数值：计算、、、、、. 5.比大小定最值：比较上述所有函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 易错辨析 1.误区：忽略验证函数在闭区间上的连续性. 纠正：若函数在上不连续，则可能不存在最值，后续计算无意义. 2.误区：遗漏区间内的不可导点. 纠正：不可导点可能是极值点，进而影响最值的求解. 3.误区：比较函数值时遗漏区间端点的函数值. 纠正：最值可能在端点处取得，必须纳入比较范围. 重点记忆内容 1.求闭区间最值的核心步骤：找全临界点→算准函数值→比大小定最值. 2.含参数函数求最值的关键：根据参数的取值范围，讨论临界点是否在区间内，并比较不同情况下的函数值大小. 常考结论 1.若函数在内只有一个极值点，则该极值点必为最值点（极大值点为最大值点，极小值点为最小值点）. 2.若函数在内无极值点，则最值在区间端点处取得. 【即学即练】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 2.已知函数，且当时，有极值． (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值和最小值分别为 【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数，由此即可得解； （2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解. 【详解】（1），由题意， 解得，所以的解析式为. （2），， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 而， ， 所以在上的最大值和最小值分别为. 知识点06 极值与最值的实际应用问题 1.核心解题步骤 步骤 操作要点 审题 明确实际问题中的已知条件和目标量（如最大利润、最小成本、最大体积等） 建模 设自变量（需符合实际意义），建立目标函数，并确定定义域 求解 利用导数求函数在定义域内的极值，结合实际意义判定最值 检验 验证所求最值是否符合实际问题的背景（如长度非负、产量为正等） 作答 写出实际问题的答案，注明单位 2.常见应用模型 1.利润最大化：利润收入成本，为产量或销量. 2.成本最小化：建立成本函数，为产量、用料量等. 3.几何最值：面积/体积最值问题，建立面积/体积函数，为边长、半径、高. 易错辨析 1.误区：自变量选取不当，导致函数模型复杂. 纠正：选取与目标量直接相关的变量作为自变量，简化函数表达式. 2.误区：忽略函数定义域的实际约束. 纠正：定义域必须符合实际意义，如（长度、产量）、（取值范围限制）. 3.误区：未检验最优解的实际意义. 纠正：即使求出函数的最值，也需验证是否符合实际问题的背景（如利润不能为负）. 重点记忆内容 1.实际应用问题的核心：将实际问题转化为函数最值问题. 2.最优解的判定技巧：若目标函数在定义域内只有一个极值点，则该极值点对应的函数值即为实际问题的最值（无需与端点比较）. 常考结论 1.实际应用问题中，目标函数通常为单极值函数，极值点即为最值点. 2.几何最值问题需熟练运用几何图形的面积、体积公式，确保模型构建准确. 【即学即练】 1．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 【答案】(1) (2)见解析； (3). 【分析】（1）利用题意建立函数关系即可； （2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可； （3）根据（2）求函数的极值、最值即可. 【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：， 则， 所以y关于x的函数解析式为，； （2）由（1）， 显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大； 当时，，即此时随着x的增大，y减小； （3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时， 所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为. 2．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm． (1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 【答案】(1)瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大 (2)瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的 【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论． 【详解】（1）由于瓶子的半径为， 所以每瓶饮料的利润是，． 令，解得（舍去）． 所以当时，；当时，． 当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高； 当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低． 又， 故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大． （2）由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以当时，有最小值，其值为， 故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的. 题型01 极值与极值点的概念辨析 【典例1】已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】函数在点处取得极值的充要条件是：且在点附近的左右两侧异号，由此结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案． 【详解】函数在处可导，推不出函数在点处取得极值； 反之，函数在点处取极值，必有． 故是函数在点处取得极值的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】【多选题】下列结论正确的是（    ） A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】AB 【分析】举例可判断A，结合极值点以及极值的定义，根据导数与极值的关系即可判断B，C，D. 【详解】不妨取，，， 当或时，都有，即不是函数的极值点，A正确； 根据极值的概念，在点附近的左侧，则函数单调递增； 在点附近的右侧，函数单调递减，则为极大值； 在点附近的左侧，则函数单调递减， 在点附近的右侧，函数单调递增，则为极小值， 故B正确，C，D错误 故选：AB 【变式2】判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) 【答案】 错误 错误 错误 正确 【分析】由导数与极值的关系逐个判断即可. 【详解】函数的极大值不一定大于其极小值，故（1）错误； 导数为0的点不一定是极值点，比如， ，但是不是极值点，故（2）错误； 函数可能有极大值或极小值，也可能没有极值，故（3）错误； 函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.故（4）正确. 故答案为：错误；错误；错误；正确. 【变式3】【多选题】判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极小值一定比极大值小． B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D．三次函数在R上可能不存在极值． 【答案】CD 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误； 对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误； 对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确； 对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确； 故选：CD. 核心考点：极值与极值点的定义区分、极值的局部性特征、极值与函数单调性的关联 方法技巧： 1.定义锚定法：明确极值点是横坐标，极值是纵坐标，二者不可混淆；判定某点是否为极值点，必须紧扣“附近所有点的函数值均小于（或大于）”的局部性定义，而非整体函数值大小关系. 2.单调性辅助法：极值点处函数单调性必发生突变，即左、右两侧单调性相反；若函数在某点两侧单调性一致（如在处），则该点一定不是极值点. 3.易错规避技巧：①拒绝“极大值一定大于极小值”的误区，极值的大小仅局限于局部区间，整体上极大值可能小于极小值；②不可导点可能是极值点（如在处），但不可导点不一定是极值点，需结合单调性突变特征判断；③极值点必须在函数定义域内，定义域外的导函数零点无意义. 题型02 导函数图像与极值或极值点的关系 【典例1】（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可. 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 【变式1】【多选题】函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【答案】BCD 【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知， 函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在内单调递减，所以函数在区间内有极小值， 当时，是函数在区间内的最小值， 所以A错误，B正确； 对C，函数在区间内有极大值，所以C正确； 对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：BCD． 【变式2】已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 【答案】B 【分析】根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断. 【详解】因为， 由图可知：，；或，； 且或，；，； 可得或，；，； 且函数为连续可导函数， 则在内单调递减，在内单调递增， 可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确； 由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误； 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 核心考点：由导函数图像判断极值点个数、极值类型（极大/极小）、导函数符号与函数单调性的对应关系 方法技巧： 1.极值点的图像判定准则：导函数图像与轴的交点不一定是极值点，关键看交点处导函数的符号是否发生突变；若左正右负，则对应原函数的极大值点；若左负右正，则对应极小值点；若符号不变，则不是极值点. 2.极值个数的判断方法：导函数图像与轴有个符号突变的交点，原函数就有个极值点；若导函数图像与轴相切（如），则切点处导函数符号不变，不构成极值点. 3.辅助分析技巧：①先明确导函数图像中“正区间”对应原函数单调递增，“负区间”对应原函数单调递减；②结合导函数的增减性可判断原函数的凹凸性，但不影响极值点的判定，核心仍聚焦导函数符号的突变点；③若导函数图像跨越轴时斜率绝对值越大，说明原函数在该极值点附近的单调性变化越剧烈. 题型03 求已知函数的极值或极值点 【典例1】（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知函数的图象在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值，无极大值. 【分析】（1）求导，根据切线与直线平行，得到，得到； （2）求导，得到函数单调性和极值情况. 【详解】（1）因为，定义域， 所以， 因为直线的斜率为， 函数在处的切线与直线平行， 所以， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 又时，， 所以； （2）由（1）得：，，定义域， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令，解得， 当变化时，的变化情况如下表所示： 0 单调递减 极小值 单调递增 因此，当时，有极小值，并且极小值，无极大值. 【变式1】（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 【变式2】（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，则在上的极值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性进而求极值即可求解. 【详解】由题意得：， 令，得或， 因为，所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为， 在上无极大值. 故选：C. 【变式3】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知函数在处的切线平行于直线 (1)求的值： (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导数求解单调性并研究函数的极值即可. 【详解】（1）由已知可得， 而直线的斜率为， 可得； （2）由（1）得， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则的单调递增区间为，，单调递减区间为， 故极大值为，极小值为. 核心考点：基本求导公式与法则的应用、极值判定的第一/第二定理、定义域优先原则 方法技巧： 1.标准化解题步骤：①定定义域：先写出函数的定义域，后续所有分析均在定义域内进行；②求导化简：计算导函数，通过因式分解等方式化简，便于找零点；③找临界点：解方程，求出定义域内的根，同时找出不存在的点（不可导点）；④符号判定：用“数轴标根法”或“列表法”，判断每个临界点左、右两侧的符号；⑤定极值：根据符号变化确定极值类型，代入原函数求出极值. 2.判定定理选择技巧：①第一判定定理适用范围广，可用于可导函数和不可导但连续的函数，核心看符号变化；②第二判定定理适用于二阶可导且的函数，计算更简便，只需判断二阶导数符号：为极大值，为极小值；若，需改用第一判定定理. 3.易错规避技巧：①不可遗漏定义域内的不可导点；②解方程时，需注意分式、根式等形式的定义域限制，避免增根；③符号判定时，区间划分要完整，每个子区间内取代表性点代入导函数判断符号，确保准确. 题型04 由极值或极值点求参数 【典例1】（2026·四川绵阳·二模）已知函数（，a为常数） (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】(1)单减区间为，单增区间为. (2) 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区间. （2）对导数的根进行分类讨论，分析不同取值下导数的符号变化，确定为极大值点时的取值范围. 【详解】（1）， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. （2）， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 【变式1】（25-26高三上·河南·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，且，． 不妨设，当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知当时，是的极大值点，不符合题意． 综上，若没有极值点，则a的取值范围是． 【变式2】（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】，则， 由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根， 记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以. 故选：A 【变式3】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为 . 【答案】30或6 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 核心考点：极值点的必要条件（）与充分条件、参数的分类讨论、方程与不等式的综合应用 方法技巧： 1.基本解题框架：①列方程：由极值点的必要条件，将代入，得到关于参数的方程，初步求解参数值；②验充分性：将初步求得的参数值代入原函数，判断在处是否满足极值的充分条件（即导函数符号是否突变），排除“导函数零点非极值点”的情况；③定范围：若题目给出极值类型（极大/极小）或极值大小，需结合判定定理列不等式，进一步确定参数的取值范围. 2.分类讨论技巧：①当导函数为二次函数时，参数可能影响导函数零点的个数、大小或位置，需按判别式的符号、零点与定义域的关系分类；②当参数在导函数的一次项或常数项时，重点讨论零点是否存在、零点是否在函数定义域内. 3.易错规避技巧：①避免“由直接确定参数值”，必须验证充分性，否则易产生增根；②含多参数时，需明确主参数与辅助参数，逐步分析；③若函数存在多个极值点，需保证各极值点对应的导函数零点均满足符号突变条件. 题型05 函数最值与极值的辨析 【典例1】【多选题】（25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【答案】BD 【分析】根据极值和最值的概念可判断ABD，对于C，举说明即可. 【详解】对于A，函数在某区间上或定义域内的极大值可以有多个，故A错误； 对于B，函数的极大值不一定比极小值小，故B正确； 对于C，对可导函数，是点处为极值点的必要不充分条件， 例如， ，但是不是函数的极值点.，故C错误； 对于D，函数的极值是局部概念，可以有多个极值，函数的最值是全局概念， 函数的最大值和最小值分别最多只有一个，故D正确. 故选：BD 【变式1】【多选题】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）观察如图所示函数的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题. (1)图中所示函数的最值点与最值分别是多少? (2)图中所示函数的极值点与极值分别是多少? (3)一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系?怎样求可导函数的最值? 【答案】(1)最大值点为2，最大值为3；最小值点为0，最小值为－3； (2)极大值点为－2，极大值为2；极小值点为0，极小值为－3； (3)答案见解析. 【分析】根据函数极值和最值的概念即可简单. 【详解】（1）图象最高点为(2,3)，最低点为(0,－3)，所以最大值点为2，最大值为3； 最小值点为0，最小值为－3； （2）在(－2,2)和(0,－3)两个点左右两侧，函数单调性发生变化， 再根据图象可知，极大值点为-2，极大值为2；极小值点为0，极小值为－3； （3）一般地，对于闭区间内的连续函数，最值出现在区间端点或极值处， 故可求出函数极值和端点函数值，它们中最大的即为函数最大值，最小的即为函数的最小值. 【变式3】【多选题】（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 核心考点：最值的整体性与极值的局部性差异、最值与极值的联系、不同区间内最值的存在性 方法技巧： 1.概念区分核心：①性质差异：极值是局部性质，仅与某点附近函数值相关；最值是整体性质，与整个区间内所有函数值相关；②存在性差异：闭区间上连续函数一定存在最值，可能存在多个极值；开区间上连续函数不一定存在最值，但若存在最值，必为极值；③数量差异：一个函数在某区间内可有多个极值，且极值大小无固定关系；最值唯一（可能在多个点处取得相同最值）. 2.联系判定技巧：①闭区间上的最值必在区间端点或区间内的极值点处取得；②若函数在区间内只有一个极值点，则该极值点必为最值点；③极值不一定是最值，当极值大于区间两端点函数值时，极值即为最大值；当极值小于区间两端点函数值时，极值即为最小值. 3.易错规避技巧：①拒绝“开区间内函数一定无最值”的误区，如在内有最大值1；②区分“最值点”与“极值点”，区间端点可为最值点，但一定不是极值点；③不可用极值的大小直接判定最值，需结合区间端点函数值综合比较. 题型06 求函数的最值（不含参数） 【典例1】（2026·河南开封·一模）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1． 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）利用导数可判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1），依题意，，解之得：； （2）令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 【变式1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（是自然对数的底数） (1)求函数在上的单调增区间； (2)若为的导函数，函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令，求得增区间； （2）对函数求导，判断单调性求出最值. 【详解】（1）由题可得，， 令，即，因为，所以， 即，所以， 又，则，所以，即. 所以函数的单调递增区间是. （2）由题，，则， 由，， ， 因为，所以，，所以，仅在和时，， 所以函数在上单调递增， 故， 所以函数在上的最大值为. 【变式2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合切线的点与斜率，联立函数值与导数值的方程求解； （2）求导分析函数单调性，计算区间内关键点的函数值，确定值域. 【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 【变式3】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 核心考点：闭区间上连续函数最值的求解步骤、开区间内函数最值的判定、单调函数的最值特征 方法技巧： 1.闭区间上的标准化步骤：①验连续性：确认函数在上连续（初等函数在定义域内均连续）；②求导找临界点：计算，求出内的根和不存在的点，记为；③算函数值：计算；④比大小定最值：比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值. 2.开区间上的求解技巧：①先判断函数在开区间内的单调性，若单调，则无最值；②若存在极值点，计算极值大小，再判断函数在区间端点处的极限趋势：若和时，，则唯一极大值即为最大值；若，则唯一极小值即为最小值；③若存在多个极值点，需比较极值大小及端点极限趋势，确定是否存在最值. 3.简化技巧：①单调函数的最值可直接代入区间端点求解，无需找极值点；②若函数在区间内只有一个极值点，可直接将该极值作为最值，无需与端点值比较（适用于开区间或闭区间）. 题型07 求函数的最值（含参数） 【典例1】（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，令，求得，得到的单调性，得到函数的最小值，得出，令，求得，得出的单调性，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 要使得函数在上的最小值为，则必不是单调函数， 所以在定义域上为先减后增， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且， 令，可得， 构造函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若且的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的性质，由已知可得，再构造函数，由其最大值为求出值即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，则，， 因此，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而的最大值为， 于是，解得，此时，符合题意， 所以的值为. 故选：B 【变式2】（25-26高三上·天津河北·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求的导数，直接根据的范围，讨论导函数的正负，即可求解函数单调性； （2）讨论的范围，利用函数的单调性进行最大值和最小值的判断，进而求解的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. （2）当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以. 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 【变式3】（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 核心考点：参数对临界点个数与位置的影响、分类讨论思想、区间与临界点的位置关系分析 方法技巧： 1.分类讨论核心标准：①按临界点的存在性分类：通过导函数的判别式判断零点是否存在（适用于导函数为二次函数的情况）；②按临界点与区间的位置关系分类：将临界点与区间端点$a、b$比较，分为“临界点在区间内”“临界点在区间左端点左侧”“临界点在区间右端点右侧”三类；③按参数对函数单调性的影响分类：参数不同取值可能导致函数在区间内单调递增、单调递减或先增后减（先减后增）. 2.解题步骤：①求导化简：得到含参数的导函数，分析其零点情况（用参数表示临界点）；②分类讨论：根据上述分类标准划分参数范围，逐一分析每种范围内函数的单调性、极值点；③求最值：在每种参数范围内，计算区间端点和极值点的函数值，比较得出最值（最值需用参数表示）；④整合结论：汇总不同参数范围对应的最值，形成完整结论. 3.易错规避技巧：①分类讨论时需保证“不重不漏”，区间划分的临界点要准确；②当参数影响导函数的符号时，需明确每种情况下导函数的正、负区间，避免单调性判断错误；③计算含参数的函数值时，注意代数式的化简，确保最值表达式简洁准确. 题型08 由函数的最值求参数 【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导后分，，，四种情况讨论可得； （2）利用（1）的单调性分和两种情况求出最大值后讨论可得. 【详解】（1）函数的定义域为， 当，即时，在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增， ，，所以函数在区间上单调递减. 综上， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为，解得，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为， 整理得，即，所以，符合题意， 综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为. 【变式3】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. 【详解】（1）由题可得定义域为：.. 若，则 在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； （2）由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 核心考点：含参数函数的最值表达式、方程思想、参数范围的边界分析 方法技巧： 1.解题核心框架：①先求最值：按题型07的方法，求出含参数的函数最值表达式（需分参数范围讨论）；②列方程/不等式：根据题目给出的最值大小，建立关于参数的方程或不等式；③求解验证：解出参数值或参数范围，再代入原函数验证，确保在该参数取值下，函数的最值确实符合题意；④定范围：若存在多个参数范围满足条件，需整合得出最终的参数取值集合. 2.关键分析技巧：①若最值在区间端点处取得，直接将端点函数值等于已知最值，解出参数，再验证函数在区间内的单调性（确保端点确实为最值点）；②若最值在区间内的极值点处取得，先由确定极值点与参数的关系，再将极值点代入原函数等于已知最值，解出参数，最后验证极值点是否在区间内；③若题目要求“最值不大于（或不小于）某值”，则建立不等式，结合参数范围求解. 3.易错规避技巧：①避免忽略参数范围的限制，解出的参数需在之前分类讨论的参数范围内才有效；②当存在多个极值点时，需确认哪个极值点对应题目中的最值；③验证步骤不可省略，防止因导函数符号判断错误导致最值求解偏差. 题型09 函数单调性极值最值的综合应用 【典例1】（山东省青岛市2025-2026学年高三上学期1月部分学生调研检测数学试题）设函数，曲线在点处的切线斜率为3． (1)求a的值； (2)设函数． （i）讨论极值点的个数； （ⅱ）若，求b的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）求出，由曲线在点处的切线斜率为3，得到计算得到的值. （2）（i）求出，求出，设，求出，利用导数法求出的单调性，得到的最大值，对的最大值与的大小进行分类讨论得到极值点的个数； （ⅱ）由得，再验证即可得到的最值. 【详解】（1），，， ， 曲线在点处的切线斜率为3， ，. （2）（i）,则. 令. 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减． . ①当时，，故在上恒成立． 所以在上单调递减，此时无极值点． ②当时，， 令． 在上大于0，在上小于0， 故，故有，故， 当时,； 又因为时，； 故在和上各有一个零点．共有两个零点． 此时有两个极值点. 综上所述，当时，有两个极值点；当吋，无极值点. （ⅱ）由得， 下面证明符全要求， 当时，令， 则， 因为对，其，则恒成立， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单改递减， 所以，能使恒成立. 【变式1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得有2个正根，所以有2个正根，通过换元可得有两个正根，即有两个正根，令，求导可得的单调性，结合图象即可求得实数 的取值范围. 【详解】由题意得，因为存在极大值点，又存在极小值点， 所以有2个正根，即有2个正根. 当时，在上单调递增， 此时至多1个零点，不符合题意，故； 令，由，得，即， 即有两个正根， 令，则与有两个不同的交点， 求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 画出函数的图像如图所示： 由在上有两个正根，则， 所以，所以实数 的取值范围是. 故选：A 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数. (1)求的单调区间； (2)已知与有相同的最大值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)（ⅰ）1 （ⅱ）证明见详解 【分析】（1）求函数定义域，求导数，即可求得函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）求得函数的最大值.求函数的定义域和导数，由导数求得函数单调区间，求得函数的最大值，然后建立方程解得； （ⅱ）构造函数和函数，由（ⅰ）得到函数的单调区间.构造函数，由得到函数的单调性，然后得到的大小关系，即可求得函数的最大值，然后得到函数的关系，画出函数大致图像，得到交点.然后方程求得方程的解得关系，即可证明结论. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，即，则， ∴时，，函数单调递增， ∴时，，函数单调递减， （2）（ⅰ）由（1）可知函数， 函数的定义域为，， 当时，∵，∴，∴，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 由题意得，即， 令函数，， ，所以函数在上单调递减，所以函数存在唯一的零点， 即. （ⅱ）∴，， 令， 令，且，则 由（ⅰ）可知在上单调递减，在上单调递增， 令，则， 当时，，函数单调递减，则， ∴，此时 当时，，函数单调递增，则， ∴，此时 ∴，当且仅当取等号， 所以函数， 作函数的大致图像如下 由图可知是方程的两根，是方程的两根， ∴， 令，，则， 令函数，则，当时，，函数单调递减， ∴，即，则， ∴，∴， 同理可得，， 即，∴ 【变式3】（2025高三上·湖北咸宁·专题练习）已知函数. (1)当时，证明：在上单调递减； (2)若有两个极值点，满足且，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对于函数二次求导进行求解； （2）对函数求导，根据分类讨论，判断函数单调性，结合函数的极值点的取值范围计算得到的取值范围； 【详解】（1）证明：若，则， 令 故在单调递增，在单调递减，， 即在上恒成立，在上单调递减． （2），令， ①若，则在上恒成立，在上单调递增， 在上最多一个极值点，不符合题意 ②若 故在单调递增，在单调递减， 且 且. 若，则，这与矛盾，舍去. 则且 ，， ， 令， 则 恒成立， 故在单调递增，. 综合：. 核心考点：单调性、极值、最值的内在关联、转化与化归思想、不等式恒成立/能成立问题的转化 方法技巧： 1.核心关联转化：①单调性→极值：函数单调性突变的点为极值点，可通过单调性判断极值类型；②极值→最值：闭区间内的最值由极值和端点值共同确定，开区间内的最值可通过极值和端点极限趋势确定；③最值→不等式：不等式恒成立问题（如对恒成立）可转化为；不等式能成立问题（如存在使）可转化为. 2.综合解题步骤：①分析单调性：求导并判断导函数符号，确定函数的单调区间；②求极值：根据单调性突变点求出函数的极值；③求最值：结合区间端点值求出函数的最值；④解决目标问题：将综合问题（如不等式、方程根的个数）转化为最值问题，代入最值表达式求解. 3.技巧拓展：①含参不等式恒成立问题，可先分离参数（如恒成立，转化为），简化求解；②若函数存在多个单调区间，需逐一分析每个区间内的极值，再综合比较得出最值；③方程根的个数问题，可通过分析函数的单调性、极值和最值，结合函数图像的走势判断根的个数. 题型10 函数最值的实际应用 【典例1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥性质以及侧棱长度得出三棱锥体积表达式，再构造函数并求导得出函数单调性，即可得出其高度. 【详解】设帐篷高度为， 则底面正三角形的外接圆半径， 易知底面边长， 底面面积为， 帐篷容积， 则， 令得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在时取得最大值. 故选：C. 【变式1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是 . 【答案】 【分析】先分析水平平面内的硬管极限长度：即将走廊的水平截面看作 “直角拐角”（左侧宽米，右侧宽1米）；再求的最小值：即水平方向能通过的最长硬管长度；最后结合高度求空间极限长度：即走廊高度为6米，硬管需同时满足“水平长度≤8”和“高度≤6”，因此空间中硬管的极限长度为“水平极限长度与高度构成的空间对角线”，计算出实际长度即可. 【详解】设硬管与左侧走廊水平方向的夹角为，则水平方向硬管长度为：， 则， 令，得，即， 所以，即，代入得： 水平极限长度：， 空间极限长度==10， 因为实际长度为极限长度的0.8倍，所以. 故的值是8. 故答案为：. 【变式2】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 【变式3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【分析】（1）由题设得，应用作差法比较大小； （2）（i）由（1）及球体、圆柱的表面积求法，写出函数表达式，注意定义域；（ii）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得. 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 核心考点：数学建模思想、实际问题的定义域限制、最值的实际意义检验 方法技巧： 1.标准化建模步骤：①审题析量：明确实际问题中的已知条件、未知量和目标量（如最大利润、最小成本、最大体积等），梳理各量之间的数量关系；②设元建模：选取与目标量直接相关的变量作为自变量（注意的实际意义，如长度、产量需为正数），根据数量关系建立目标函数，并严格确定函数的定义域（结合实际问题的约束条件）；③求解最值：利用导数求出函数在定义域内的极值，结合实际问题特征判定最值（实际问题多为单极值函数，极值点即为最值点）；④检验作答：验证所求最值是否符合实际意义（如是否为正、是否在合理范围内），写出最终答案并注明单位. 2.常见模型构建技巧：①利润模型：利润=收入-成本，需明确收入、成本与产量/销量的函数关系；②几何最值模型：面积/体积问题，需结合几何图形的边长、半径、高等变量，利用几何公式构建函数（如长方体体积=长×宽×高）；③成本模型：需区分固定成本与可变成本，可变成本与产量成线性或非线性关系. 3.易错规避技巧：①变量选取要合理，避免因变量选取不当导致函数模型复杂；②定义域的确定要严格遵循实际意义，不可仅由数学表达式确定；③不可直接将数学上的最值作为实际问题的答案，必须检验其实际可行性（如长度不能为负、产量不能为小数等）；④构建函数时，要确保数量关系准确，避免公式错误（如利润公式、几何公式混淆）. 一、单选题 1．（25-26高三上·云南·月考）函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由， 可得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为. 故选：B． 2．（25-26高三上·福建宁德·月考）已知函数，则下列说法不正确（   ） A．在上单调递减 B．是的零点 C．的极小值为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】由导数确定单调性，从而可得极值点，计算函数值后可判断各选项． 【详解】, 当时，，所以在上单调递减，时，，在上单调递增，是极小值，，因此ABC正确，D错误， 故选：D． 3．（2025·全国·模拟预测）设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（   ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据极值点定义或举例判断，再结合充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】因为是上的可导函数，根据可导函数取得极值的必要条件可知，若在区间上存在极值， 则，使得，所以甲是乙的充分条件． 若，使得，则在区间上不一定存在极值， 比如，， 则，函数在上单调递增，无极值， 所以甲不是乙的必要条件． 故选：B． 4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点;                乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减;            丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】由题知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，根据条件可求得，再利用导数确定单调性及极值即可. 【详解】根据题意可知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题， ，又， 所以，， 则，又乙为真命题，， 即，， 令或， 所以或时，，单调递增， 时，，单调递减， 故甲为假命题，乙、丙、丁为真命题. 故选：A. 5．（24-25高二下·云南曲靖·月考）函数在上（   ） A．有极大值，且极大值为 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 【答案】D 【分析】求导，得到函数单调性，从而确定极值情况. 【详解】由题意得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，且极小值为. 故选：D 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 7．（25-26高三上·江苏无锡·月考）如图所示，在直角坐标系中（轴未画出）．已知为原点，均为函数的极值点，在点之间，则满足如图图象的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，据此逐项判断即可． 【详解】A．，函数不过原点，与图象不符，故A错误； B．，与图象不符，故B错误； C．，，，与图象不符，故C错误； D．，满足，与图象相符，故D正确． 故选：D． 二、多选题 8．（25-26高三上·江西·月考）已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 【答案】BC 【分析】结合的图象，先分析的符号与原函数的单调性的关系判断单调性，再利用单调性判断出极值点. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以是的极小值点，无极大值点，在上单调递减，在上单调递增． 故答案为：BC. 9．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，利用导数研究函数的极值点可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D. 【详解】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数， 则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知是实数，是函数的一个极值点，则 ． 【答案】/ 【分析】先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质求出的值，进而计算得. 【详解】. 因是的极值点，故.令 ，解得. ， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意. 所以. 故答案为： 12．（24-25高二下·江苏南通·月考）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，得函数的单调性，即可求解极值点，列不等式即可求解. 【详解】， 当时，在恒成立，函数没有小于0的极值点，不合题意； 当时，当且时，在单调递增，在单调递减，故是的唯一极值点，符合题意. 故答案为： 13．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 【答案】/0.5 【分析】根据处取得极值，利用导数为0，求出，再列表得出函数的极值点. 【详解】因为， 所以，∴， 则， 、随x的变化情况如下表： x 1 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为， ∴的极大值点为. 故答案为： 14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析得出，即，构造新函数，利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，，由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为，所以不一定恒成立，矛盾，故不成立； 当时，由， 由， 所以要使得恒成立，则，即，所以． 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以有最小值，所以的最小值是． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 16．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 17．（24-25高二下·重庆·月考）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.    (1)求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； (3)要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，取最大值，且最大值为. 【分析】（1）利用长方体表面积公式即可求得解果； （2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式， 结合实际意义可得出的取值范围； （3）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【详解】（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则 （2）因为材料利用率为,所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，. （3）铁皮盒体积， 其中，，令，得，列表如下： + 0 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为 18．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 19．（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则 ，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需 ， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 20．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数（a为常数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）分、两种情况讨论函数的极值，再根据方程的根进行消元得出，再构造函数求值域即可. 【详解】（1）当时，， 则，，则， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为， ，由对勾函数可知，， 当，即时，， 则在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当，即时，， 又，， 则由零点存在性定理可知，存在，，使得， 则得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点和极小值点分别为，， 故，是方程即的两根， 则， 则 令，， 则，则在上单调递减， 因时，，，则， 故的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $