第2章 6.3 函数的最值(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“函数的最值”核心知识点，先通过函数图像观察回顾极值概念，引导学生对比极值与最值的区别联系，再系统讲解最值定义、求法步骤，最后分不含参数、含参数、开区间及逆向问题等题型展开，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以图像观察为切入点，通过问题链引导学生抽象最值本质，培养数学抽象与逻辑推理素养。题型分类清晰且总结通性通法，如求最值四步骤，提升数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

6.3　函数的最值 【基础落实】 知识点 1.不超过f（x0）　不低于f（x0）　2.导数零点　区间端点　最值 想一想 　提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）× 2.C　∵f'（x）＝1－cos x，当x∈时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）的最大值为f（π）＝π－sin π＝π，故选C. 3.　－　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0，得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3，又f（－4）＝－，f（4）＝－，故f（x）的最大值为f（－1）＝，最小值为f（－4）＝－. 【典例研析】 【例1】　（1）C　y'＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），令y'＝0，解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C. （2）解：①f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）·（x－1）， 当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1）. ②由①知x∈[－，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的极小值为f（1）＝－2， 又f（－）＝0，f（3）＝18. 所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2. 【例2】　解：（1）由f（x）＝（x－k）ex，得f'（x）＝（x－k＋1）ex， 令f'（x）＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞， k－1） k－1 （k－1， ＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ －ek－1 ↗ 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－1，＋∞）. （2）当k－1≤0，即k≤1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增.所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由（1）知f（x）在[0，k－1）上单调递减，在（k－1，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减. 所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1－k）e. 综上可知，当k≤1时，f（x）min＝－k； 当1＜k＜2时，f（x）min＝－ek－1； 当k≥2时，f（x）min＝（1－k）e. 跟踪训练 　解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（a）＝－a3； ②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0； ③当a＜0时，f（x）在［0，－）上单调递减，在［－，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ －）＝a3. 综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3； 当a＝0时，f（x）的最小值为0； 当a＜0时，f（x）的最小值为a3. 【例3】　解： （1）函数的定义域为R，f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝－1或3，容易验证函数在x＝－1处取得极小值f（－1）＝－，在x＝3处取得极大值f（3）＝，又知f（0）＝－，f（1）＝0.当x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示.由图象可知，函数的最大值为f（3）＝，最小值为f（－1）＝－. （2）函数的定义域是R，且f'（x）＝2x·ex＋（x2－3）ex＝ex（x2＋2x－3），令f'（x）＞0，得x＞1或x＜－3；令f'（x）＜0，得－3＜x＜1.所以函数f（x）在（－∞，－3）和（1，＋∞）内单调递增，在（－3，1）内单调递减，因此函数f（x）在x＝－3处取得极大值，极大值f（－3）＝6e－3；在x＝1处取得极小值，极小值f（1）＝－2e.又由f（x）＞0，得x＞或x＜－；由f（x）＜0得，－＜x＜.所以函数的大致图象如图所示. 从函数图象可得函数f（x）的最小值就是函数的极小值f（1）＝－2e，而函数无最大值. 跟踪训练 1.A　函数的定义域为（0，＋∞），令y'＝＝＝0，则可得x＝e.当x＞e时，y'＜0；当0＜x＜e时，y'＞0，故x＝e时，y取极大值，y极大值＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝. 2.　－ 解析：令y'＝＝＝0，可得x＝－1或x＝1.当x＜－1或x＞1时，y'＜0，当－1＜x＜1时，y'＞0，∴当x＝－1时，y极小值＝－，当x＝1时y极大值＝.又知f（0）＝0，当x＜0时，y＜0，当x＞0时y＞0.结合单调性画出函数图象，如图所示，可知ymax＝，ymin＝－. 【例4】　D　由题设知a≠0，否则f（x）＝b为常函数，与题设矛盾.对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），令f'（x）＝0，得x1＝0，x2＝4（舍去）. （1）当a＞0，且x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x －1 （－1，0） 0 （0，2） 2 f'（x） ＋ 0 － f（x） －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数f（x）在[－1，2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3. 又f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3＜f（－1）， ∴f（x）在[－1，2]上的最小值为f（2），f（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. （2）当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函数f（x）在[－1，2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.又f（－1）＝－7a－29，f（2）＝－16a－29＞f（－1），∴f（x）在[－1，2]上的最大值为f（2），f（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.故a＋b＝5或a＋b＝－31. 跟踪训练 　解：（1）f（x）的定义域为[0，＋∞），当a＝－4时，f'（x）＝，令f'（x）＞0，得x∈（ 0，）或x∈（2，＋∞）， 故函数f（x）的单调递增区间为（ 0，）和（2，＋∞）. （2）f'（x）＝，a＜0， 由f'（x）＝0得x＝－或x＝－. 当x∈（ 0，－）时，f（x）单调递增；当x∈（ －，－）时，f（x）单调递减；当x∈（ －，＋∞）时，f（x）单调递增. ①当－≤1，即－2≤a＜0时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1），由f（1）＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意. ②当1＜－≤4，即－8≤a＜－2时，此时＜－≤，f（x）在[1，4]上的最小值为f（ －）＝0，不符合题意. ③当－＞4，即a＜－8时，f（x）在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f（1）＝8时没有符合题意的a值，由f（4）＝2（64＋16a＋a2）＝8得a＝－10或a＝－6（舍去），当a＝－10时，f（x）在[1，4]上单调递减，f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意. 综上知，a＝－10. 随堂检测 1.A　设f（x）＝4x－3x3，∴f'（x）＝4－9x2＝（2－3x）（2＋3x）.∵x∈[0，2]，∴当x＝时，f'（x）＝0，f（x）取得极大值.又f（0）＝0，f＝，f（2）＝－16，∴函数y＝4x－3x3在区间[0，2]上的最大值是. 2.BC　由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值. 3.－71　解析：f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0得x＝3或x＝－1.又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.∴f（x）max＝k＋5＝10，∴k＝5，∴f（x）min＝k－76＝－71. 4.解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h'（x）＝3x2＋6x－9. 令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表： x （－∞， －3） －3 （－3，1） 1 （1， ＋∞） h'（x） ＋ 0 － 0 ＋ h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗ 当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4. 而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3. ∴k的取值范围为（－∞，－3]. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　函数的最值 1.理解函数的最值的概念（数学抽象）. 2.了解函数的最值与极值的区别与联系（逻辑推理）. 3.会用导数求在给定区间上函数的最值（数学运算）. 观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题： 【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ （2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的最值 1.最大值点与最小值点 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　　　　　　. 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　　　　　　. 2.最大值与最小值 最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求函数的最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有　　　　　　与　　　　　　的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值. 函数的最大值和最小值统称为　　　　. 　　提醒：函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；②在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值至多一个；③函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 【想一想】 在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（　　） （2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（　　） （3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（　　） 2.函数f（x）＝x－sin x，x∈的最大值是（　　） A.π－1　　　　　　　 B.－1 C.π D.π＋1 3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 题型一｜求函数的最值 角度1　不含参数的最值问题 【例1】　（1）y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为（　　） A.　　　　　　　　　　B.2 C.－1 D.4 （2）已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R. ①求f（x）的单调区间； ②在x∈[－，3]时，求f（x）的最大值与最小值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求函数最值的四个步骤 （1）求函数的定义域； （2）求f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）列出关于x，f（x），f'（x）的变化表； （4）求极值、端点值，确定最值. 提醒：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. 角度2　含参数的最值问题 【例2】　已知函数f（x）＝（x－k）ex. （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性发生变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值. 题型二｜求函数在开区间或无穷区间上的最值 【例3】　求下列函数的最大值与最小值： （1）f（x）＝； （2）f（x）＝（x2－3）ex. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.求函数在开区间或无穷区间上最大（小）值的方法 求函数在无穷区间或开区间上的最大（小）值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，先通过极值情况，确定相应极值点、极值，再根据函数解析式确定函数图象与坐标轴的交点，然后结合单调性画出函数的大致图象，借助图象观察得到函数的最大（小）值. 2.关于开区间上单调函数和单峰函数的最值 （1）开区间上连续的单调函数无最值.若f（x）在（a，b）上是连续曲线且单调递增（减），则f（x）在开区间（a，b）上无最值，其值域为（f（a），f（b））（（f（b），f（a）））； （2）开区间上连续的单峰函数的极大（小）值，也是最大（小）值，但它没有最大（小）值. 【跟踪训练】 1.函数y＝的最大值为（　　） A.e－1　　　　　　　　　　B.e C.e2 D. 2.函数y＝的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 题型三｜最值背景下的逆向探讨 【例4】　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，则a＋b＝（　　） A.5 B.－27 C.－27或1 D.5或－31 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 已知函数最值求参数的步骤 （1）求导数f'（x），并求极值； （2）利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响函数的单调性，要对参数进行分类讨论； （3）利用最值列关于参数的方程（组），解方程（组）即可. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2），其中a＜0. （1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间； （2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值. 1.函数y＝4x－3x3在区间[0，2]上的最大值是（　　） A. B. C.0 D.－16 2.〔多选〕如图所示，函数f（x）的导函数的图象是一条直线，则（　　） A.函数f（x）有最大值 B.函数f（x）没有最大值 C.函数f（x）有最小值 D.函数f（x）没有最小值 3.函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为　　　　. 4.已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 提示：完成课后作业　第二章　§6　6.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $