第2章 6.3 函数的最值(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

6.3　函数的最值 1.下列结论正确的是（　　） A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f（x）在[a，b]上有极值，则极值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和最小值 2.函数f（x）＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是（　　） A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 3.若函数f（x）＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a＝（　　） A.2 B.1 C. D.0 4.函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　） A.（－1，＋∞） B.（－1，1] C.（－1，2） D.（－1，2] 5.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.函数f（x）的极大值点有2个 B.函数f（x）在[0，2]上单调递减 C.当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t的最大值为4 D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点 6.〔多选〕若函数f（x）＝3x－x3在区间（a2－12，a）上有最小值，则实数a的可能取值是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 7.设0＜x＜π，则函数y＝的最小值是　　　　. 8.已知函数f（x）＝x3－ax2＋b（a，b为实数，且 a＞1）在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为 －2，则a－b＝　　　　　，f（x）的解析式为　　　　. 9.设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 10.已知函数f（x）＝ln x＋. （1）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值. 11.已知函数y＝（x＞1）有最大值－4，则a的值为（　　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 12.〔多选〕下列关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的判断正确的是（　　） A.f（x）＞0的解集是{x｜0＜x＜2} B.f（－）是极小值，f（）是极大值 C.f（x）没有最小值，也没有最大值 D.f（x）有最大值无最小值 13.已知函数f（x）＝2x2－ln x，若f'（x0）＝3，则x0＝　　　　，若在其定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内存在最小值，则实数k的取值范围是　　　　. 14.已知函数f（x）＝excos x－x. （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值. 15.设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），f'（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”.已知当m≤2时，f（x）＝x3－mx2＋2x＋2在（－1，2）上是“凸函数”，则f（x）在（－1，2）上（　　） A.既没有最大值，也没有最小值 B.既有最大值，也有最小值 C.有最大值，没有最小值 D.没有最大值，有最小值 16.已知函数f（x）＝2ex（x＋1）. （1）求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）在区间[t，t＋1]（t＞－3）上的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　函数的最值 1.D　函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值. 2.C　f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝±1.又f（－3）＝－27＋9＋1＝－17，f（0）＝1，f（－1）＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0].所以函数f（x）的最大值为3，最小值为－17.故选C. 3.A　∵f（x）在x＝处有最值，∴x＝是函数f（x）的极值点.又∵f'（x）＝acos x＋cos 3x（x∈R），∴f'＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2. 4.D　由于f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）·（x－1），故函数在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，f（－1）＝f（2）＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间（－2，m）上有最大值，根据图象可知m∈（xB，xA]，即m∈（－1，2]，故选D. 5.AB　由题中f'（x）的图象可知，当x＝0时，函数f（x）取得极大值；当x＝4时，函数f（x）取得极大值，即函数f（x）有2个极大值点，故A中结论正确；易知函数f（x）在[0，2]上单调递减，故B中结论正确；当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C中结论错误；令y＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，当f（2）≤1，1＜a＜2时，易知f（x）＝a有四个根；当1＜f（2）＜2，1＜a＜2时，易知f（x）＝a不一定有四个根，故函数y＝f（x）－a有4个零点不一定正确，故D中结论错误，故选A、B. 6.ABC　由f'（x）＝3－3x2＝0，得x＝±1. 当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表： x （－∞， －1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ －2 ↗ 2 ↘ 由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜. 又当x∈（1，＋∞）时，f（x）单调递减，且当x＝2时，f（x）＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选A、B、C. 7.　解析：y'＝＝.因为0＜x＜π，所以当＜x＜π时，y'＞0；当0＜x＜时，y'＜0.所以当x＝时，ymin＝. 8.　f（x）＝x3－2x2＋1 解析：f'（x）＝3x2－3ax＝3x（x－a），令f'（x）＝0得x1＝0，x2＝a，当x∈[－1，0]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当 x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝b＝1，因为f（－1）＝－a，f（1）＝2－a，所以f（x）min＝f（－1）＝－a，所以－a＝－2，即a＝，所以a－b＝－1＝，所以f（x）＝x3－2x2＋1. 9.（－∞，0）　解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值0 ↗ ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 10.解：函数f（x）＝ln x＋的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－＝. （1）因为a＜0，所以f'（x）＞0，故函数在其定义域（0，＋∞）上单调递增. 所以f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），无单调递减区间. （2）当x∈[1，e]时，分以下情况讨论： ①当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）＝a＜1， 这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾； ②当a＝1时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为f（1）＝1， 同样与最小值是相矛盾； ③当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，f（x）单调递减， 在（a，e]上有f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以函数f（x）的最小值为f（a）＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝； ④当a＝e时，函数f（x）在[1，e]上有f'（x）≤0，f（x）单调递减， 其最小值为f（e）＝2，这与最小值是相矛盾； ⑤当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减， 其最小值为f（e）＝1＋＞2，仍与最小值是相矛盾. 综上所述，a的值为. 11.B　依题意得y'＝'＝＝＝，令y'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去）.若函数在区间（1，＋∞）上有最大值－4，则最大值必然在x＝2处取得，所以＝－4，解得a＝－1，此时y'＝，当1＜x＜2时，y'＞0，当x＞2时，y'＜0，可以验证当x＝2时y取得最大值－4，故选B. 12.ABD　由f（x）＞0得0＜x＜2，故A正确.f'（x）＝（2－x2）ex，令f'（x）＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f'（x）＜0，当－＜x＜时，f'（x）＞0，∴当x＝－时，f（x）取得极小值，当x＝时，f（x）取得极大值，故B正确.当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＜0，且f（）＞0，结合函数的单调性可知，函数f（x）有最大值无最小值，故C不正确，D正确. 13.1　　解析：∵函数f（x）＝2x2－ln x，x∈（0，＋∞），∴f'（x）＝4x－＝，由f'（x0）＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f'（x）＝0得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴当x＝时，f（x）取得极小值，由题意可知解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是. 14.解：（1）因为f（x）＝excos x－x，所以f'（x）＝ex（cos x－sin x）－1，f'（0）＝0.又因为f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1. （2）设h（x）＝ex（cos x－sin x）－1，则h'（x）＝ex（cos x－sin x－sin x－cos x）＝－2exsin x. 当x∈时，h'（x）≤0，所以h（x）在区间上单调递减.所以对任意x∈有h（x）≤h（0）＝0，即f'（x）≤0.所以函数f（x）在区间上单调递减. 因此f（x）在区间上的最大值为f（0）＝1，最小值为f＝－. 15.A　f'（x）＝x2－mx＋2，f″（x）＝x－m.∵函数f（x）在（－1，2）上是“凸函数”，∴f″（x）＝x－m＜0在（－1，2）上恒成立，∴m＞x在（－1，2）上恒成立，∴m≥2，又m≤2，∴m＝2.∴f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－2）2＞0在（－1，2）上恒成立，∴f（x）在（－1，2）内单调递增，∴该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值. 16.解：（1）f'（x）＝2ex（x＋2）， 由f'（x）＞0，得x＞－2；由f'（x）＜0，得x＜－2. ∴f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减. ∴f（x）的极小值为f（－2）＝－2e－2，无极大值. （2）由（1）知，f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减. ∵t＞－3，∴t＋1＞－2. ①当－3＜t＜－2时，f（x）在[t，－2）上单调递减，在（－2，t＋1]上单调递增，∴f（x）min＝f（－2）＝－2e－2. ②当t≥－2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增， ∴f（x）min＝f（t）＝2et（t＋1）， ∴f（x）min＝ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $