第2章 6.2 函数的极值(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦函数的极值这一核心知识点，系统梳理极大值、极小值的概念，明确极值点的必要条件（导数为0）和充分条件（导数符号变化），构建从现实情境（苏轼诗句）抽象概念、通过导数应用（求极值步骤）解决问题的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察现实（用庐山山峰类比极值局部性），通过“想一想”问题（如|x-1|在x=1处是否可导）培养“数学思维”的逻辑推理，以精确定义和步骤训练“数学语言”表达。题型分层设计（图象判断、含参问题等），课中助力教师系统教学，课后学生可借练习题查漏补缺，强化知识应用。

6.2　函数的极值 1.了解极大值、极小值的概念（数学抽象）. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（逻辑推理）. 3.会用导数求函数的极大值、极小值（数学运算）. 苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点. 【问题】　在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数极值的概念 1.极大值点与极大值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　　　　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值； （2）几何意义：极大值点x0和极大值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最高点，如图； （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　　　f'（x）＞0，　　　　f'（x）＜0，则x0是函数y＝f（x）的极大值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极大值. 2.极小值点与极小值 （1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　　　　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值； （2）几何意义：极小值点x0和极小值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最低点，如图； （3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于： 若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　　　f'（x）＜0，　　　　f'（x）＞0，则x0是函数y＝f（x）的极小值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极小值. 3.极值点与极值 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 　　提醒：理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的定义域内，定义域的端点不能成为极值点； ④一个函数未必存在极值点，若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点，如图，x1，x3都是函数y＝f（x）的极大值点，x2，x4都是函数y＝f（x）的极小值点.一个函数可以有无穷多个极值点，如函数y＝sin x既有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点；⑤极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值，如图，函数y＝f（x）在点x1处的极大值小于在点x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和对数函数y＝log ax（a＞0且a≠1）都不存在极值点. 【想一想】 1.函数y＝｜x－1｜在x＝1处是否有极值？是否可导？ 2.导数为零的点一定是函数的极值点吗？ 知识点二　函数极值的求法 一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f（x）的导数f'（x0）＝0.因此，可以通过如下步骤求出函数y＝f（x）的极值点： 1.求出导数f'（x）. 2.解方程f'（x）＝0. 3.对于方程f'（x）＝0的每一个实数根x0，分析f'（x）在x0附近的符号（即f（x）的单调性），确定极值点： （1）若f'（x）在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； （2）若f'（x）在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； （3）若f'（x）在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 　　提醒：设x0是f（x）的一个极值点，并求出了f（x）的导数f'（x0），则f'（x0）＝0.反之不一定成立. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的极大值一定大于极小值.（　　） （2）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　　） （3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　　） 2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（　　） A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　　，极小值为　　　　. 题型一｜求函数的极值 角度1　由图象判断函数的极值 【例1】　〔多选〕已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（　　） A.在（－∞，0）上单调递减 B.在x＝0处取极大值 C.在（4，＋∞）上单调递减 D.在x＝2处取极小值 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 由图象判断函数的极值 （1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； （2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 角度2　求不含参数的函数极值问题 【例2】　求函数f（x）＝x2e－x的极值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题： （1）函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去； （2）检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. 角度3　求含参数的函数极值问题 【例3】　若函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种： （1）看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论； （2）看f'（x）在其零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 【跟踪训练】 1.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）上极小值点的个数为（　　） A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 2.求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值. 题型二｜由极值求参数值（或范围） 【例4】　（1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝（　　） A.4或－3 B.4或－11 C.4 D.－3 （2）若函数f（x）＝x2＋（a－1）x－aln x没有极值，则（　　） A.a＝－1 B.a≥0 C.a＜－1 D.－1＜a＜0 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 已知函数极值求参数的方法 　　对于已知可导函数的极值求参数问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. （1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f'（x）； ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1） B.（0，＋∞） C.（0，1） D.（－1，0） 2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　） A.a＜－ B.a＞－1 C.a＜－1 D.a＞－ 1.函数f（x）＝x＋（x＞0）在x＝1时（　　） A.只有极小值 B.只有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.极值不存在 2.函数f（x）＝x＋2cos x在上的极大值点为（　　） A.0 B. C. D. 3.已知函数f（x）＝ln x－x2，则f（x）（　　） A.有极小值，无极大值 B.无极小值，有极大值 C.既有极小值，又有极大值 D.既无极小值，又无极大值 4.〔多选〕定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） A.－3是f（x）的一个极小值点 B.－2和－1都是f（x）的极大值点 C.f（x）的单调递增区间是（－3，＋∞） D.f（x）的单调递减区间是（－∞，－3） 5.已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是　　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§6　6.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　函数的极值 【基础落实】 知识点一 1.（1）小于　（3）左侧　右侧　2.（1）大于 （3）左侧　右侧 想一想 1.提示：有极值.x＝1为极小值点，y极小值＝0，但y＝｜x－1｜在x＝1处无导数.即y＝｜x－1｜在R上不是可导函数. 2.提示：不一定.例如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是它的极值点.一般地，当f'（x0）＝0时，若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值异号，则f（x）在x＝x0处取得极值；若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值同号，则f（x）在x＝x0处不能取得极值. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.C　由图可知导函数f'（x）有三个零点，依次设为x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当x2＜x＜x3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值，故选C. 3.　－3　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3. 【典例研析】 【例1】　BCD　由导函数的图象可知，x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0；x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0.因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以y＝f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选B、C、D. 【例2】　解：函数的定义域为R， f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）'＝2xe－x－x2·e－x＝x（2－x）e－x. 令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0， 解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ 极小 值0 ↗ 极大值 4e－2 ↘ 因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0； 当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝. 【例3】　解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），可知f'（x）＝1－＝. （1）当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值. （2）当a＞0时，令f'（x）＝0， 解得x＝a. 当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）在x＝a处取得极小值.即f（a）＝a－aln a，无极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值； 当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 跟踪训练 1.A　f'（x）＞0时，f（x）单调递增，f'（x）＜0时，f（x）单调递减.可知f（x）在（a，b）上的极小值点只有一个. 2.解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0）， 当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此时函数没有极值； 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－或x＝. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞， －） － （－， ） （， ＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 f（－） ↘ 极小值 f（） ↗ ∴f（x）的极大值为f（－）＝2a＋b，极小值为f（）＝－2a＋b. 【例4】　（1）C　（2）A　解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意得即解得或当时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝4，故选C. （2）f'（x）＝（x－1），x＞0，当a≥0时，＋1＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1，f（x）在x＝1处取极小值，与题意矛盾.当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f'（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值.②若a≠－1，此正数解为x＝－a≠1，f'（x）＝0必有2个不同的正数解，f（x）存在2个极值.综上，a＝－1.故选A. 跟踪训练 1.D　若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意矛盾，故选D. 2.C　y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为其极值点，∴＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C. 随堂检测 1.A　当0＜x＜1时，f'（x）＝1－＜0；当x＞1时，f'（x）＝1－＞0.故函数f（x）＝x＋（x＞0）在x＝1处取得极小值，无极大值.故选A. 2.B　由题意得，f'（x）＝1－2sin x，令f'（x）＝0，得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜时，f'（x）＜0.∴当x＝时，f（x）取得极大值. 3.B　由题可得，f'（x）＝－x＝（x＞0），当x＞1时，f'（x）＜0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝1处取得极大值，无极小值.故选B. 4.ACD　当x＜－3时，f'（x）＜0，x＞－3时，f'（x）≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是（－3，＋∞），单调递减区间是（－∞，－3）.故选A、C、D. 5.（－∞，－3）∪（6，＋∞）　解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f（x）有极大值与极小值，∴f'（x）＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，∴a＜－3或a＞6. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $