2.6.3 第1课时 导数与函数的最值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“导数与函数的最值”核心知识点，先明确闭区间上连续函数最值的条件与结论，再梳理求最值的步骤，通过“微点助解”区分最值与极值的联系与区别，构建从定义到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过基础训练、题型辨析（如多选例1）、求最值（例2）及参数问题（例3），培养数学思维中的推理能力与运算能力。“思维建模”环节帮助学生用数学语言总结方法，课中助力教师分层教学，课后辅助学生查漏补缺。

6.3　函数的最值 第1课时　导数与函数的最值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、最大（小）值的关系. 1.函数f（x）在区间[a，b]上的最值 （1）取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线. （2）结论：函数y=f（x）必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得. 2.求函数y=f（x）在区间[a，b]上的最值的步骤 （1）求函数y=f（x）在区间（a，b）内的极值. （2）将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. |微|点|助|解| 函数最值与极值的区别与联系 （1）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个. （2）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）闭区间上的连续函数一定有最值. （　　） （2）开区间上的单调连续函数无最值. （　　） （3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得. （　　） （4）函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值. （　　） 答案：（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 2.函数f（x）=2x-cos x在（-∞，+∞）上 （　　） A.无最值　　　　　　 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 解析：选A　f'（x）=2+sin x>0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值，也无最值. 3.函数y=在[0，2]上的最大值为　　　　.  解析：令y=f（x），∵y'==，令y'=0，得x=1∈[0，2].∴f（1）=，f（0）=0，f（2）=，∴f（x）max=f（1）=. 答案： 题型（一）　函数最值的辨析 [例1]　（多选）下列结论不正确的是 （　　） A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x=a和x=b时取得 D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值 解析：选ABC　选项A，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f（x）可能在端点处取得最大值，判断错误；选项B，若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值不一定是[a，b]上的最小值，f（x）可能在端点处取得最小值，判断错误；选项C，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x=a和x=b时取得，判断错误；选项D，若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值，判断正确.故选ABC. 　　|思|维|建|模| （1）正确理解极值与最值的关系是解题关键. （2）一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内，若f（x0）为极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其为最大值. 　　[针对训练] 1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 （　　） A.f（b）>f（a）>f（c） B.函数f（x）在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值 C.函数f（x）在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值 D.函数f（x）的最小值为f（d） 解析：选C　由题图可知，当x≤c时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在（-∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f（a）<f（b）<f（c），故A不正确；因为f'（c）=0，f'（e）=0，且当x<c时，f'（x）>0；当c<x<e时，f'（x）<0；当x>e时，f'（x）>0.所以函数f（x）在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'（x）≤0，所以函数f（x）在[d，e]内单调递减，从而f（d）>f（e），故D不正确. 题型（二）　求函数的最值 [例2]　 已知函数f（x）=x3-3x，x∈R. （1）求f（x）的单调区间； （2）当x∈[-，3]时，求f（x）的最大值与最小值. 解：（1）f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）， 当x<-1或x>1时，f'（x）>0，当-1<x<1时，f'（x）<0. 所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）. （2）由（1）知x∈[-，3]时， f（x）的极大值为f（-1）=2，f（x）的极小值为f（1）=-2， 又f（-）=0，f（3）=18. 所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为-2. 　　|思|维|建|模| 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 （1）对函数进行准确求导，并检验f'（x）=0的根是否在给定区间内. （2）研究函数的单调性，确定极值和端点函数值. （3）比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 　　[针对训练] 2.求下列函数的最值： （1）f（x）=； （2）f（x）=x2-x-ln x，x∈[1，3]. 解：（1）因为函数f（x）=的定义域为R， f'（x）==， 当f'（x）=0时，x=2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （-∞，2） 2 （2，+∞） f'（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 所以f（x）在（-∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，所以f（x）无最小值，且当x=2时，f（x）max=f（2）=. （2）因为f'（x）=2x-1-= =，又因为x∈[1，3]， 所以f'（x）≥0在[1，3]上恒成立.所以f（x）在[1，3]内单调递增，所以当x=1时，f（x）min=f（1）=0；当x=3时，f（x）max=f（3）=6-ln 3. 题型（三）　由函数最值求参数的值或范围 [例3]　（1）当x=1时，函数f（x）=aln x+取得最大值-2，则a= （　　） A.-2 B.-4 C.2 D.4 解析：选A　当x=1时，函数f（x）=aln x+取得最大值-2，所以f（1）==-2，即b=-2，f（x）=aln x-，定义域为（0，+∞），又因为f（x）在x=1处取得最大值，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f'（x）=，则f'（1）==0，所以a=-2. （2）函数f（x）=x3-x2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-3，2） B.[-3，2） C.[-1，2） D.（-1，2） 解析：选C　由f'（x）=x2-2x=0得x1=0，x2=2， 则当x∈（-∞，0）时，f'（x）>0，f（x）单调递增；当x∈（0，2）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 当x∈（2，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增.f（x）在区间（a，a+5） 内存在最小值，故最小值为f（2），又f（-1）=f（2）， 故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1，2）. 　　|思|维|建|模| 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 　　[针对训练] 3.已知h（x）=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 解：∵h（x）=x3+3x2-9x+1， ∴h'（x）=3x2+6x-9， 令h'（x）=0，得x1=-3，x2=1， 当x变化时h'（x）及h（x）的变化情况如下表. x （-∞，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+∞） h'（x） + 0 - 0 + h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=-3时，取极大值28； 当x=1时，取极小值-4. 而h（2）=3<h（-3）=28， 由h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤-3. 故k的取值范围是（-∞，-3]. 学科网（北京）股份有限公司 $