2.6.3 第1课时 导数与函数的最值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

6.3　函数的最值

第1课时　导数与函数的最值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.

2.体会导数与单调性、最大（小）值的关系.

 

1.函数f（x）在区间[a，b]上的最值

（1）取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线.

（2）结论：函数y=f（x）必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点取得.

2.求函数y=f（x）在区间[a，b]上的最值的步骤

（1）求函数y=f（x）在区间（a，b）内的极值.

（2）将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

|微|点|助|解|

函数最值与极值的区别与联系

（1）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.

（2）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.

基础落实训练

1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）闭区间上的连续函数一定有最值. （　　）

（2）开区间上的单调连续函数无最值. （　　）

（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得. （　　）

（4）函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值. （　　）

答案：（1）√　（2）√　（3）√　（4）×

2.函数f（x）=2x-cos x在（-∞，+∞）上 （　　）

A.无最值　　　　　　 B.有极值

C.有最大值 D.有最小值

解析：选A　f'（x）=2+sin x>0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值，也无最值.

3.函数y=在[0，2]上的最大值为　　　　. 

解析：令y=f（x），∵y'==，令y'=0，得x=1∈[0，2].∴f（1）=，f（0）=0，f（2）=，∴f（x）max=f（1）=.

答案：

 

 

题型（一）　函数最值的辨析

 [例1]　（多选）下列结论不正确的是 （　　）

A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x=a和x=b时取得

D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值

解析：选ABC　选项A，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f（x）可能在端点处取得最大值，判断错误；选项B，若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值不一定是[a，b]上的最小值，f（x）可能在端点处取得最小值，判断错

误；选项C，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x=a和x=b时取得，判断错误；选项D，若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值，判断正确.故选ABC.

　　|思|维|建|模|

（1）正确理解极值与最值的关系是解题关键.

（2）一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内，若f（x0）为极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其为最大值.

　　[针对训练]

1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是              （　　）

A.f（b）>f（a）>f（c）

B.函数f（x）在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值

C.函数f（x）在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数f（x）的最小值为f（d）

解析：选C　由题图可知，当x≤c时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在（-∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f（a）<f（b）<f（c），故A不正确；因为f'（c）=0，f'（e）=0，且当x<c时，f'（x）>0；当c<x<e时，f'（x）<0；当x>e时，f'（x）>0.所以函数f（x）在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'（x）≤0，所以函数f（x）在[d，e]内单调递减，从而f（d）>f（e），故D不正确.

 

题型（二）　求函数的最值

 [例2]　 已知函数f（x）=x3-3x，x∈R.