第2章 6.1 第2课时 函数单调性的应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦函数单调性的应用这一核心知识点，系统梳理含参数函数单调性讨论、已知单调性求参数范围、利用单调性比较大小及解不等式等内容，构建从基础判定到综合应用再到构造函数的递进式学习支架。 资料通过分层题型设计与通性通法总结，培养学生逻辑推理能力（数学思维），构造函数（如与x、e^x、sinx结合）环节提升抽象与创新意识（数学眼光）。课中辅助教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固，助力查漏补缺。

第二课时　函数单调性的应用 【典例研析】 【例1】　解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f'（x）＝， 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. ②当a＞0时，f'（x）＝， ∵a＞0，∴＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 跟踪训练 　解：易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞）， f'（x）＝－＋＝. ①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递减. ②当a＞0时，若0＜x＜，则f'（x）＜0； 若x＞，则f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0时，f（x）的单调递减区间为. 【例2】　B　法一　f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7]. 法二　f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7]. 跟踪训练 1.解：由f'（x）＝3x2－a. ①当a≤0时，f'（x）≥0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不符合题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'（x）＜0. 所以f（x）在（ －，）上单调递减， 所以f（x）的单调递减区间为（ －，）， 所以＝1，解得a＝3. 2.解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立， 所以 即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3，＋∞）. 【例3】　（1）D　（2）B　解析：（1）函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D. （2）∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜. 跟踪训练 　C　易知f（x）的定义域为（0，＋∞），令f'（x）＝＜0，解得x＞e.∴f（x）在（e，＋∞）上单调递减，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）. 随堂检测 1.B　f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）. 2.A　f'（x）＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. 3.（－∞，2]　解析：由题意得y'＝2x－2b≥0在[2，8]上恒成立，即b≤x在[2，8]上恒成立，所以b≤2. 4.（－∞，－1]　解析：∵f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，∴f'（x）≤0在（－1，＋∞）上恒成立.∵f'（x）＝－x＋，∴－x＋≤0在（－1，＋∞）上恒成立，即b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立.设g（x）＝x（x＋2）＝（x＋1）2－1，则当x＞－1时，g（x）＞－1，∴b≤－1. 5.解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）. f'（x）＝1＋－＝. 令g（x）＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，有Δ＝a2－4. 当－2≤a≤2时，Δ≤0，g（x）≥0，f'（x）≥0，只有当a＝2，x＝1或a＝－2，x＝－1（舍去）时，等号成立，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 当a＜－2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根都小于0，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上g（x）＞1，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 当a＞2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根为x1＝，x2＝，且x2＞x1＞0. 当0＜x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0.故函数f（x）在（0，x1），（x2＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减. 综上，当a≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＞2时，函数f（x）在（ 0，），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ，）上单调递减. 拓视野　导数中函数的构造问题 【例1】　（－∞，－4）∪（0，4）　解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减，根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 【例2】　（－1，0）∪（0，1） 解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增，根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）. 跟踪训练 （－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增，∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 【例3】　A　构造函数h（x）＝exf（x），则h'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数h（x）在R上是增函数，故h（－2 024）＜h（0），即e－2 024f（－2 024）＜e0f（0），即e－2 024f（－2 024）＜f（0）.同理h（2 024）＞h（0），即e2 024f（2 024）＞f（0），故选A. 跟踪训练 A　构造g（x）＝，则g'（x）＝＝， 因为3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，所以g'（x）＜0在R上恒成立，故g（x）在R上是减函数，所以g（1）＜g（0），即＜，即f（1）＜e3f（0）. 【例4】　A　构造F（x）＝，则F'（x）＝，导函数f'（x）满足f'（x）cos x＋f（x）·sin x＞0，则F'（x）＞0，F（x）在（ －，）上单调递增.把选项转化后可知选A. 跟踪训练 C　由已知，得f（x）为奇函数，由函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x，得f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，即［］'＞0，所以y＝在（0，π）上单调递增，又因为y＝为偶函数，所以y＝在（－π，0）上单调递减，所以＜，即f（ ）＞2f（ ）. 【例5】　B　构造f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x，x∈［0，］时导函数f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈［－，0）时导函数f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（x）为偶函数，根据单调性和图象可知选B. 跟踪训练 　A　由＝1⇒b＝a－2ea，构造函数f（x）＝x－2ex，则动点M（a，b）在函数f（x）图象上，又由＝1⇒d＝2－c，构造函数g（x）＝2－x，则动点N（c，d）在函数g（x）图象上即在直线x＋y－2＝0上，问题转化为求曲线y＝f（x）上的动点M（a，b）与直线x＋y－2＝0上的动点N（c，d）的距离的平方的最小值，即点M到直线x＋y－2＝0的距离平方的最小值.由f'（x）＝1－2ex＝－1，得x＝0，所以切点坐标为（0，－2），所以（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（ ）2＝8. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　函数单调性的应用 题型一｜含参数的函数的单调性 【例1】　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 【跟踪训练】 求函数f（x）＝＋aln x（a∈R）的单调递减区间. 题型二｜已知函数的单调性求参数的范围 【例2】　若函数f（x）＝x3－ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上单调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，5] B.[5，7] C.[7，＋∞） D.（－∞，5]∪[7，＋∞） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（x）≥0（或f'（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f'（x）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. 2.若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值. 2.若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围. 题型三｜函数单调性的应用 【例3】　（1）已知函数f（x）＝＋ln x，则（　　） A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7） C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π） （2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（　　） A.（0，1） B.（1，） C.（－2，－） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小. 2.对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域. 【跟踪训练】 若f（x）＝，e＜a＜b，则（　　） A.f（a）＜f（b）　　 　B.f（a）＝f（b） C.f（a）＞f（b） D.f（a）f（b）＞1 1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（　　） A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2） C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确 2.函数f（x）＝ax3－x在R上为减函数，则（　　） A.a≤0 B.a＜1 C.a＜2 D.a≤ 3.若函数y＝x2－2bx＋6在[2，8]上单调递增，则实数b的取值范围是　　　　. 4.若f（x）＝－x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上单调递减，则b的取值范围是　　　　. 5.设函数f（x）＝x－－aln x（a∈R），讨论f（x）的单调性. 类型一｜利用f（x）与x构造 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【例2】　已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 方法总结 利用f（x）与x构造函数的形式 （1）常见的构造形式为xf（x），； （2）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （3）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 【跟踪训练】 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为　　　　. 类型二｜利用f（x）与ex构造 【例3】　已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）＋f'（x）＞0，则（　　） A.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） B.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） C.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＞f（0） D.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＜f（0） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 方法总结 利用f（x）与ex构造函数的形式 （1）常见的构造形式为exf（x），； （2）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）； （3）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝. 【跟踪训练】 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，则下列等式一定成立的是（　　） A.f（1）＜e3f（0）　　　　B.f（1）＞e2f（0） C.f（1）＞e3f（0） D.f（1）＜e2f（0） 类型三｜利用f（x）与sin x，cos x构造 【例4】　已知函数y＝f（x）对于任意的x∈（ －，）满足f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　） A.f（ ）＜f（ ） B.f（ －）＜f（ －） C.f（0）＜f（ ） D.f（0）＜2f（ ） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 方法总结 利用f（x）与sin x，cos x构造函数常见的形式 （1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x； （2）F（x）＝，F'（x）＝； （3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x； （4）F（x）＝，F'（x）＝. 【跟踪训练】 已知函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　） A.f（ －）＞－f（ ） B.f（ ）＜－f（ －） C.f（ ）＞2f（ ） D.f（ ）＜f（ ） 类型四｜构造具体函数关系式 【例5】　已知α，β∈［－，］，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是（　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 方法总结 　　这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题. 【跟踪训练】 已知实数a，b，c满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，那么（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（　　） A.8　　 　B.10　　 　C.12　　 　D.18 提示：完成课后作业　第二章　§6　6.1　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $