6.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

第2课时　函数单调性的综合问题

1.结合实例，进一步了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究含有参数的函数的单调性．　3.能利用导数比较式或值的大小．　4.能构造函数解有关不等式．

　已知函数f(x)＝ex(x2－ax－a)，求函数f(x)的单调区间．

【解】　因为f′(x)＝ex[x2＋(2－a)x－2a]，

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝a.

当a<－2时，令f′(x)<0，得a<x<－2，令f′(x)>0，得x<a或x>－2，所以f(x)在区间(a，－2)上单调递减，在区间(－∞，a)，(－2，＋∞)上单调递增．

当a＝－2时，因为f′(x)＝ex(x＋2)2≥0，当且仅当x＝－2时，f′(x)＝0，

所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增．

当a>－2时，令f′(x)<0，得－2<x<a，令f′(x)>0，得x<－2或x>a，

所以f(x)在区间(－2，a)上单调递减，在区间(－∞，－2)，(a，＋∞)上单调递增．

综上所述，当a<－2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(－2，＋∞)，单调递减区间为(a，－2)；

当a＝－2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；

当a>－2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(a，＋∞)，单调递减区间为(－2，a).

讨论含参函数的单调性的关键点

(1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间内的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结．

(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．　

[跟踪训练1] 已知函数f(x)＝a ln x＋2x，讨论函数f(x)的单调性．

解：f′(x)＝＋2＝，x>0，

当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a<0时，令f′(x)<0，得0<x<－；

令f′(x)>0，得x>－，

所以函数f(x)在(0，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增．

综上所述，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a<0时，函数f(x)在(0，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增．

在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上________；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上________．

若函数f(x)在D上单调递增⇒________；若函数f(x)在D上单调递减⇒________．

点拨：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.

[答案自填] 单调递增　单调递减　f′(x)≥0

f′(x)≤0

　(1)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(1，e)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)　　　　　 B．(－∞，3]

C．[3，e2＋1]     D．(－∞，e2＋1]

(2)已知函数f(x)＝ex(2x2－4x－4)在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的

取值范围是______________．

【解析】　(1)依题意f′(x)＝2x－a＋≥0在区间(1，e)上恒成立，即a≤2x＋在区间(1，e)上恒成立．令g(x)＝2x＋(1<x<e)，则g′(x)＝2－＝>0，所以g(x)在(1，e)上单调递增，

则g(x)>g(1)＝3，所以a≤3.故选B.

(2)因为f(x)＝ex(2x2－4x－4)，

所以f′(x)＝ex(2x2－8)，令f′(x)＝0，得x＝±2.

当x<－2或x>2时，f′(x)>0；

当－2<x<2时，f′(x)<0.

所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，

由题意可得k－1<－2<k＋1，或k－1<2<k＋1，

解得－3<k<－1或1<k<3.

所以实数k的取值范围是(－3，－1)∪(1，3).

【答案】　(1)B　(2)(－3，－1)∪(1，3)

【变式探究】

1．(条件变式)本例(1)变为：若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在区间(1，e)上单调递减，则实数a的取值范围是______________．

解析：依题意f′(x)＝2x－a＋≤0在区间(1，e)上恒成立，即a≥2x＋在区间(1，e)上恒成立．令g(x)＝2x＋(1<x<e)，则g′(x)＝2－＝>0，所以 g(x) 在(1，e)上单调递增，则 g(x)<g(e)＝2e＋，所以a≥2e＋.

答案：

2．(综合变式)本例(1)变为：已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区