第2章 6.1 第1课时 函数的单调性(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦函数的单调性与导数关系这一核心知识点，从股票走势实例引入，通过几何直观建立导数符号与函数增减的联系，明确导数大于0则函数单调递增、小于0则单调递减，同时阐述导数值绝对值与图象陡峭程度的关系，构建从实例到概念再到应用的学习支架。 该资料以现实情境激发学习兴趣，通过“想一想”等问题设计培养逻辑推理，题型涵盖函数与导函数图象关系、单调性判断及单调区间求解，强化数学运算与直观想象。课中示例与通性通法辅助教师教学，课后练习帮助学生巩固，提升用数学思维分析问题的能力。

6.1　函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 第一课时　函数的单调性 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】　函数的单调性与导数有什么关系呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　导数的符号与函数的单调性之间的关系 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： （1）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＞0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　　　　　　； （2）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＜0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　　　　　　. 　　提醒：若在某个区间上，f'（x）≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递增；若在某个区间上，f'（x）≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递减. 【想一想】 　在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之若f（x）在（a，b）上单调递增，则f'（x）＞0成立吗？ 知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f（x）在区间（a，b）上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 较大 比较“　　　　　”（向上或向下） 较小 比较“　　　　　”（向上或向下） 　　提醒：（1）原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化；（2）导数的绝对值大（小）对应着原函数图象的陡峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（　　） （2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（　　） （3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（　　） （4）函数y＝x3＋x的单调递增区间为（－∞，＋∞）.（　　） 2.若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f'（x）的图象是（　　） 3.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是　　　　. 题型一｜函数图象与导函数图象的关系 【例1】　（1）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） 　　　　 （2）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）. 【跟踪训练】 在同一坐标系中作出三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是（　　） A.①②　　　　　　　　 B.①③ C.③④ D.①④ 题型二｜利用导数判断或证明函数的单调性 【例2】　下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.y＝cos x B.y＝xex C.y＝x3－x D.y＝ln x－x 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 运用导数研究函数单调性的方法 　　利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数的定义域，再求导数，最后判断导数在所给区间上的符号，从而确定函数的单调性. 【跟踪训练】 若函数y＝xcos x－sin x在某区间上单调递增，则该区间可能为（　　） A.（ ，） B.（ －，） C.（π，2π） D.（0，π） 题型三｜求函数y＝f（x）的单调区间 【例3】　求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝3x2－2ln x； （2）f（x）＝－x3＋3x2. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用导数求函数的单调区间的思路方法 （1）解不等式法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f'（x）；③解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，并写出解集；④根据③的结果确定函数f（x）的单调区间； （2）列表法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f'（x）；③解方程f'（x）＝0；④列表；⑤得出结论. 【跟踪训练】 求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝x2ex； （2）f（x）＝. 1.设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） 2.已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为（　　） A.（－2，0）∪（2，＋∞） B.（－∞，－2）∪（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－2，－1）∪（1，2） 3.函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是（　　） A. 　　　　　　 B.（e，＋∞） C. D. 4.函数f（x）＝x3－x2－3x＋2的单调递增区间是　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§6　6.1　第一课时 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 第一课时　函数的单调性 【基础落实】 知识点一 （1）单调递增　（2）单调递减 想一想 　提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是可导函数y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件. 知识点二 较快　陡峭　较慢　平缓 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.A　f'（x）＝2x＋b，由于函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，所以x＝－＞0，得b＜0.结合选项，可知选A. 3.（0，1）　解析：f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调递增区间是（0，1）. 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）由f（x）的图象可知，y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增，因此在x＜0时，有f'（x）＞0（即f'（x）在（－∞，0）上的图象全部在x轴上方），故排除A、C.从函数f（x）的图象上可以看出，函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，f'（x）＞0，在区间（x1，x2） 上单调递减，f'（x）＜0，在区间（x2，＋∞）上单调递增，f'（x）＞0，故排除B，选D. （2）法一　由函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确. 法二　由于f'（x）＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f（x）单调递增，即图象从左至右上升.四个图象都满足.由于当x＞1时，f'（x）＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”，且呈现上凸状；当x＜1时，f'（x）＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，且呈现下凹状，可以判断B正确. 跟踪训练 　C　当f'（x）＞0时，y＝f（x）单调递增；当f'（x）＜0时，y＝f（x）单调递减.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误. 【例2】　B　A中，y'＝－sin x，当x＞0时，y'的符号不确定；B中，y'＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞0时，y'＞0，故在（0，＋∞）上单调递增；C中，y'＝3x2－1，当x＞0时，y'＞－1；D中，y'＝－1，当x＞0时，y'＞－1.故选B. 跟踪训练 　C　∵y＝xcos x－sin x，∴y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.当x∈（ ，π）时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故A错误；当x∈（ －，0）时，sin x＜0，y'＜0，函数单调递减，故B错误；当x∈（π，2π）时，sin x＜0，y'＞0，函数单调递增，故C正确；当x∈（0，π）时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故D错误.故选C. 【例3】　解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）， 因为f'（x）＝6x－＝＝. 令f'（x）＞0得x＞， 令f'（x）＜0得0＜x＜， 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）f（x）的定义域为R，f'（x）＝－3x2＋6x＝－3x（x－2）. 令f'（x）＝0，解得x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ （单调 递减） f（0） ＝0 ↗ （单调 递增） f（2） ＝4 ↘ （单调 递减） 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0），（2，＋∞）单调递增区间是（0，2）. 跟踪训练 　解：（1）f（x）的定义域为R.f'（x）＝2xex＋x2ex＝x（x＋2）ex， 令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞0. 令f'（x）＜0，解得－2＜x＜0. 所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（0，＋∞），单调递减区间是（－2，0）. （2）f（x）的定义域为R， f'（x）＝＝. 令f'（x）＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞， 2－） 2－ （2－， 2＋） 2＋ （2＋， ＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ f（2－） ＝－2－ ↗ f（2＋） ＝－2＋ ↘ 由上表可知f（x）的单调递减区间是（－∞，2－），（2＋，＋∞），单调递增区间是（2－，2＋）. 随堂检测 1.C　因为f（x）在（－∞，1），（4，＋∞）上单调递减，在（1，4）上单调递增，所以当x＜1或x＞4时，f'（x）＜0；当1＜x＜4时，f'（x）＞0.故选C. 2.C　因为f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（x）＞0. 3.C　f'（x）＝ln x＋1（x＞0），令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞.故函数f（x）的单调递增区间为. 4.（－∞，－1），（3，＋∞）　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，解得x＜－1或x＞3，故f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（3，＋∞）. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $