第2章 6.1 第2课时 函数单调性的综合问题（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 12已知函数fx)=e,gu)=n受十号的图像分别 随若x的增大，xu)的值近似接近的值.从猜 与直线y=m(m>0)交于A,B两点，求|AB的最 想出发，下列推断正确的是 ( ) 小值. A.当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度 解：A(lnm,m),B(2e"立，m),其中，2em立> 变慢 lnm,且m>0,所以AB|=2e立-lnm. B.当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 C.当x很大时，在区间(x,x+n)(n是一个较大常 令y=2e-1n>0,则y=20-子令 数)内，素数的个数随x的增大而减少 y=0,得x= D.因为π(4)=2，所以x(4)>n4 所以当0<<时y<0,当>时y>0,所 解析：AC[函数fu)一以>0且x子1， 以y=2et-lh,>0在(02)上单调道减， 则f(x)=1nx-1=11 hxnx1nx>0且x≠1， 在（十∞）上单递增。 P(x)=2-In x (n>0且x≠1，当x→十0时， 所以x=2时，ABl=2+lh2. (x)<0,所以当x很大时，随着x的增大，π(x) 的增长速度变慢，故A正确； [素养培优练] 函数f()=心的图像如图所示： 13.函数f(x)的定义域为R,f(一1)=2，对任意x∈ In x R,f'(x)>2.则f(x)>2x十4的解集为（ A.(-1,1) B.(-1,+o∞) C.(-∞，-1) D.（-∞，十∞) 解析：B[构造函数g(x)=f(x)一(2x十4)，则 g(-1)=2-（-2+4)=0,又f(x)>2,.g(x) =f(x)-2>0,.g(x)是R上的增函数.f(x) 由图像可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B >2x+4台g(x)>0台g(x)>g(-1),∴.x>-1.] 错误；当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个较 14.(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要课 大常数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增 题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x)≈ ，其中π(x)表示不大于x的素数的个数，即 大而减少，敢C正确：青≈2.89>2，故D错误] In x 第2课时 函数单调性的综合问题 课堂。互动学亲 对应学生用书P58 题型二 讨论函数的单调性 (1)当a=0时，()=1，由f()>0,得x> [例1] 讨论函数f()=2a+x-（a+1)lnx(a 1 1,由f(x)<0,得0<x<1..f()在(0,1)内为 ≥0)的单调性， 减函数，在(1，十∞)内为增函数， - [思路点拨] 求函数的定义域→求f(x) +)- 分a>0,a=0 解不等式f(x)>0或f(x)<0 (2)当a>0时，f(x)= x 表述f(x)的单调性 a>0,.- [解]函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=ax 十1<0.由f(x)>0,得x>1,由 a +1-a+1=az2+x-(a+1) f'(x)<0,得0<x<1. x ·106· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十∞)内为增 十∞)上的减函数，因为f(3)=0,所以g(3)=0, 函数. 因此f>0→g(x)>0=g(3)→x<3,:x>0, 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在 x (1,十∞)内为增函数. .0<x<3. 规律方法 所以f>0的解集为(0,3). 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； [答案](0,3) (2)求导数f'(x),并求方程f(x)=0的根； 规律方法 (3)利用f(x)=0的根将函数的定义域分成若干 根据题中所给条件构造函数，求导判定函数 个子区间，在这些子区间上讨论f'(x)的正 的单调性，利用函数的单调性求解不等式或比较 负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性. 函数式的大小，是考题中的重要题型， ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.已知函数f(x)=x3一kx+2,讨论f(x)的单 2.设函数f(x)的导函数为f(x),且当x∈ 调性， [0,)时，f(x)cosx+fz)sinz<0.f0)=0. 解：f(x)=3x2-. 当k=0时，f(x)=x3,故f(x)在（一∞，十o∞）上单 下列判断中，一定正确的是 调递增 A.f)>2f() Bf)小f() 当k<0时，f(x)=3x2一k>0,故f(x)在(-∞， 十∞)上单调递增. C.f(ln2)>0 D.f()Er() 当>0时，令f(x)=0,得x=士5 解析：B[:f()对于任意的x[0,)满足 当x∈ √3k 时，f'(x)>0； 3 f'(a)cos z+f(x)sin <0g(x)= ,则 cos 2 当x∈ 3k,3k时，f(x)<0: 3 3 g()()cos f)sin cos x 当x∈ ,+0时，f(x)>0. 3 故f(x)在 + 上单调递 [》单连)〔)圆 cos 增，在一 上单调递减 综上，当k≤0时，f(x)在（一∞，十∞）上单调递增； cos 当k>0时，f(x)在 〔 题型已知函数的单调性求参数的范围] + 上单调递增，在 上 [例3]已知函数f(x)=x3-ax-1在R上为单调 递增函数，求实数a的取值范围. 调递减。 [思路点拨] f(x)单调递增→f(x)≥0恒成立 题型二 构造函数利用函数的单调性求解不等 式或比较大小 分离参数求a的范围 [例2]已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函 数为f'(x)且满足f(x)·x<f(x),f(3)=0,则 [解]由已知得f(x)=3.2-a,因为f(x)在 fx>0的解集为 (一∞，十∞)上是单调增函数，所以f(x)=3.x2 a≥0在(-o∞，十∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R [解析]设g(r)=f》）,因为f()·<f(x), 恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0 所以g'(x)=·f(）-)<0→g(x)是(0， 时，f(x)=32≥0，f(x)=x3-1在R上是增函 数，所以a≤0. ·107· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [母题变式] 1 1.(变条件)若函数f(x)=x3一ax一1的单调减区间 解：(1)h(x)=lnx-2ax2-2x,x∈(0，+∞)， 为（一1,1），求a的取值范围. h'(x)=1 -a.x-2. [解]由f'(x)=3.x-a,①当a≤0时，f(x)≥ 0,.f(x)在（一∞，十∞）上为增函数. :h(x)在(0，十∞)上存在单调递减区间， 0当a>0时，令32a=0,得x=土50， 日当x∈(0，十∞)时，ax2<0有解，即a a<x√时，f()<0. 是二有解.设G)=是只要u>Gr) 2元 3 3 即可 .f()在 30,3u上为减函数，f(x)的单 33 而G(x) -1,.G(x)mm=-1,.a 调递减区间为 √3a3a ,.:3a -1. 33 3 =1,即a=3. 故a的取值范围是{aa>一l,且a≠0}. 2.(变条件)若函数f(x)=x3-a.x-1在(-1,1)上 (2),h(x)在[1,4幻上单调递减， 单调递减，求a的取值范围. [解]由题意可知f'(x)=3.x2一a≤0在（一1,1） x∈[1,4幻时，h()=-Qx-2≤0恒成立。 2 上恒成立，-1)≤0 (f(1)≤0 即a≥-成主a≥G)两G)= 7{得0a≥8即a的取值范圈是[3，十) 即/3-a≤0 任- 3.(变条件)若函数f(x)=x3-a.x-1在(-1,1)上 不单调，求a的取值范围 7 [解]：f(x)=x3-ax-1,.f(x)=3x2-a,由 .a≥-161 f(r)=0,得x=±8a(a≥0)，：f(r)在区间 3 故a的取位范国是{aa≥品且a≠0} (-1,1)上不单调，.0√3a<1,即0<4<3.故a [当堂达标] 3 1.命题甲：对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙： 的取值范围为(0,3). f(x)在(a,b)内单调递增.命题甲是命题乙的 规律方法 ( 1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a,b)上单调 A.充分不必要条件 递增（或单调递减）的充要条件是f(x)≥0（或 B.必要不充分条件 f(.x)≤0)在(a,b)上恒成立，且f'(x)在(a,b) C.充要条件 上的任何子区间内都不恒等于0. D.既不充分也不必要条件 2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性，求参数范 解析：A[f(x)=x3在(-1,1)内单调递增，但 围的方法 f'(x)=3x2≥0(-1<x<1),故命题甲是命题乙的 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单 调递增（减）的问题，则区间(a,b)是相应单调 充分不必要条件.] 区间的子集； 2.若f()=ln2,e<a<b,则 x (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单 A.f(a)f(b) B.f(a)=f(Bb) 调递增（减）的问题，则f(x)≥0((x)≤0) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 在(ab)内恒成立，注意验证等号是否成立. ◇[变式训练] 解析：A[因为f(x)= 1一ln2.当x 3已知函数fx)=n2gc)=号r2+2,u≠0， x 22 ∈(e,十∞)时，1-lnx<0,所以f(x)<0,所以 (1)若函数h(x)=f(x)一g(x)存在单调递减区 f(x)在(e,十∞)上为单调递减函数.故f(a)>f(b).] 间，求a的取值范围； 3.已知函数f(x)=lnx十x2十a,x的单调递减区间为 (2)若函数h(x)=f(x)一g(x)在[1,4]上单调递 减，求a的取值范围。 (合)则a的值为 ·108 第二章导数及其应用 五维课堂兰 解析：由题意得函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f”u)厂士+2x+a-2士中<0的解桑为 当>0时，由/)0，即红<0，解得0K<: 由f()>0,即，1>0，解得>0 (仔1)所以不等式2+ar+1<0的解集为 当>0时，()的单调递减区间为(0，日)单 (31)所以号+1=-号a=-3. 答案：一3 调适增区同为（十）】 4.试求函数f(x)=kx一lnx的单调区间. 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0， 解：函数f(x)=k.x一lnx的定义域为(0，十∞)， 十o∞)： f)=- 当>0时，f(x)的单润递减区间为(0，)，单调 当k≤0时，kx-1<0,.f'(x)<0,则f(x)在(0， 递增区间为 十∞)上单调递减. 课时。素养提升 对应学生用书P33 [基础达标练] C.f(x)≥g(x) 1,函数fx)=x十么(b>0)的单调减区间为( D.f(a)-f(b)g(b)-g(a) 解析：B[根据题意，由f(x)<g'(x),得f(x) A.(-√b√b) B.(-o∞，-√b),(Wb,+∞) g'(x)<0.令F(x)=f(x)-g(x),则F(.x)在[a, C.(-∞，-√b) D.(-√b,0),(0√b) b]上递减，由单调性知，当x∈[a,b]时，必有F(x) 解析：D[“f(x)=x+么(b>0),f(x)=1 ≥F(b),即f()-g(x)≥f(b)一g(b),移项整理， 得f(x)-f(b)≥g(x)-g(b).] 会令fx)=12<0,解得<<0或0< 5.(多选)已知函数f(x)=xln(1十x),则 ( A.f(.x)在(0，十o∞)单调递增 <√b,∴.f(.x)的单调减区间为（一√万，0），(0，Wb).] B.f(x)有两个零点 2.设f(x)=ax3+bz2十cx+d(a>0),则f(x)为R 处切线的斜 上的增函数的充要条件是 ( ) C庙线y=fu)在点（合(）》 A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 率为-1-ln2 C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0 D.f(x)是偶函数 解析：D[,a>0,f(x)为增函数，.f(x)=3a.z2 解析：AC[由f(x)=xln(1十x)知函数的定义域 +2bx十c≥0恒成立，∴.△=(2b)2-4×3a×c=4b 为(-1，+o),f(x)=ln(1+x)+1十2，当x -12ac≤0，.b-3ac≤0.] 3.设函数f)=名-9nx在区间[a-1a+1]上 0,+)时，lh1+0>0:7千>0f（>0. 故f(x)在(0，十∞)上单调递增，A正确；由f(0) 单调递减，则实数a的取值范围是 ) 0,当-1<x<0时，ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+x)> A.(1,2] B.[4,+∞) 0,当ln(1十x)>0,f(x)>0,所以f(x)只有一个 C.(-∞，2] D.(0,3] 解析：A[f(x)的定义域是(0，十∞)，f(x)=x 零点，B错误；令x=- ,由(2)≤0，解得0<x≤3.由题意知 一 ln2一1，故曲线y=f(x)在点 a-1>0, (-2()处切线的斜率为-1-1a2.C正 a+1≤3， 解得1<a≤2.] 确；由函数的定义域为（一1，十∞），不关于原点对 4.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f'(x)< 称知，f(x)不是偶函数，D错误.] g'(x),则下列关系式正确的是 A.f(x)+f(b)≥g(a)十g(b) 6.已知函数f)=mx十号+nx,f-a)< B.f(z)-f(b)g(z)-g(b) f(2a),则实数a的取值范围是 ·109· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解析：由f()=sinx+2a+ln,得f'(x) =2-x,x∈[1,21，所以f()=-是-1<0恒 x cos x+x+(x>0), 成立，所以f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，且 :当>0时x+>≥2，co0sz∈[-11 f)推城为[-11]，要使m>2-x在x[1,2 上有解，则m>一1，即实数m的取值范围是（一1， .当x>0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单 十∞).] 1-a>0, 调递增，.由f(1-a)<f(2a),得2a>0, 10.(2022·新高考I卷)设a=0.1e.1,b= 9,c 1-a<2a, -1n0.9,则 <a<1实袋a的取位范网是（日1： A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 答案：合 解析：C[设f(x)=ln(1十x)-a(x>一1)，因为 1 7.已知函数f(x)=x一sin2,则不等式f(x+1)+ f(x)=1十x 1=千 f(2-2x)>0的解集是 当x∈(-1,0)时，f(x)>0,当x∈(0，+∞)时 解析：因为f(x)=x一sinx,所以f(一x)=-x十 f'(x)<0, sinx=一f(x),即函数f(x)为奇函数，函数的导 所以函数f(x)=ln(1十x)-x在(0，十o∞)上单调 数f'(x)=1一cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则 递减，在（一1,0）上单调递增， 不等式f(.x+1)十f(2-2x)>0等价于f(x+1) >-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得 所以的<f0)=0,所以n兽号<0，故 x<3,故不等式的解集为（一∞，3）. 答案：（一0∞，3） ≥ng=-lh0.9,p6>c, 8.求函数f(x)=(a十1)lnx十a.x2+1的单调区间. 所以f(- 0<f0)=0,所以n号+0<0，故 解：f(x)的定义域为(0，十o∞).(r)=a+1+2az 品<ei,所以品<号 =2ax2+a+1 故a<b, 当a≥0时，f'(x)>0,故f(x)在(0，+∞)上单调 设g(x)=xe+ln(1-x)(0<x<1),则g'(x)= 递增. +1e+=e山， x-1 当a≤-1时，f(x)<0,故f(x)在(0，+∞)上单 令h(x)=e(x2-1)十1，h'(x)=e(x2+2x-1), 调递减 当0<x<√2-1时，h'(x)<0,函数h(x)=e(x 当一1<a<0时，令f(x)=0,解得x= a+1 -1)+1单调递减， 2a 当√2-1<x<1时，h'(x)>0,函数h(x)=e(x 则当x∈ a十1 2a 时，f'(x)>0;x∈ -1)+1单调递增， 又h(0)=0, a+1 ,+o∞时，f(x)<0. 7 2a 所以当0x<√2-1时，h(x)<0, 所以当0<x<√2-1时，g(x)>0,函数g(x)= 故 f(x)在 0× _a+1 上 单调递增，在 2a xe+ln(1一x)单调递增， a+1,十o 所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e.1>-ln0.9,所 上单调递减. 2a 以a>c.] [能力提升练] 11.已知函数f(x)与f'(x)的图像如图所示，则函数 9.若关于x的不等式x2十mz-2>0在区间[1,2]上 g(r)=fC的单调递减区间为 有解，则实数m的取值范围为 A.(-∞，-1) B.(-∞，1) y=f(x) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) v=f(x) 解析：D[关于x的不等式x2+m.x一2>0在区间 [1,2]上有解，所以mx>2-x2在x∈[1,2]上有 解，即m>2-x在x[1,2]上成立，设函数f) ·110· 第二章导数及其应用 五维课堂 解析：由题图可知，不等式f'(x)一f(x)<0的解 解析：ACD[由f(x)= 集为(0,1)U(4,+∞)， 22-f(0)x+f g(x)=f(z) e-1,得f(0)=f(1)e1, e f(x)=x-f(0)+f(1)e-1, (x)-f'(ze-f()(eY_f'(x)-f(2) ∴.f(1)=1-f(1)e1+f'(1),∴.f'(1)=e,则 (e)2 e 由g'(x)<0,可得f'(x)一f(x)<0,解得x∈ f0)=e·e1=1,则f(z)=分2-x+e, (0,1)U(4,+∞). 因此，函数g()=f卫的单调递减区间为(0， ga)=f)-+=e,方程g)-a以 0,即e=ax,x=0时方程显然无解；x<0时，对 1),(4,+o∞). 于任意a<0, 答案：(0,1)，(4，+∞) 函数y=e与y=ax有一个交点，满足题意； 12.已知函数f(x)=x3-x2十ax十1.讨论f(x)的单 调性； >0时，明a=,令()-号，则() 解：(1)由函数的解析式可得：f(x)=3x2一2x十 xe-ee'(x-1) a,导函数的判别式△=4-12a, x 当4=4-12a≤0，即a≥号时.f()≥0，f 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈(1，+∞)时， h'(x)>0, (x)在R上单调递增， .h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 当△=4-12a>0,即a<号时，f()=0的解为 递增， 4-10,x,1+3@ 又当x→0时，h(x)→十o,当x→十∞时，h(x)→ 3 十∞. 当x∈ -oo,1==3@]时，fx)>0,fx)单 ∴，h(x)在(0，+∞)上的图像如图： 3 调递增； 当x∈1--3a,1+1-3a 时，f(x)<0, 、3 3 01 f(x)单调递减； 当e(（亚+时fu)≥0，f 由图可知，当a=e时，方程a=g有一根，综上，a 的取值范围为(-o∞，0)U{e},故选ACD.] 调递增； 14.若关于x不等式x>ke(x+1)的解集中的正整 综上可得：当≥了时fe)在R上单调运增， 数有且只有一个，则的取值范围是 ∞，1--3a 解析：当≤0时，任一正整数都满足不等式x> 当Q<子时，f()在 3 ke(.x+1),故k>0. 1十3远，十上单调递增， 当>0，x≥1时，不等式x>ke(x+1)等价于 3 在1√T-3a,1+√-3a 少-g0, 3 上单调递减. 3 令f(x)=e(x十1)1 [素养培优练] 2≥1， 13.(多选)已知f(x)为函数f(x)的导函数，且f(x) 当≥1时，f)=d+-1D>0版成立， -f0x+fe,若)=fa) .f(x)在[1，十∞)上单调递增， 2十2，方程g6)-az=0有且只有一个根，则 F(1)-2e-0 a的取值可能是 A.e B.1 C.-1 D.-2 答案品刘 ·111·