第2章 6.1 第2课时 函数单调性的综合问题（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 第2课时 函数单调性的综合问题 课堂。互动学案 题型一 讨论函数的单调性 题型二 构造函数利用函数的单调性求解不等 式或比较大小 [例1]讨论函数f(x)= 2a.x2+x- (a+1)In x(a [例2] 已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函 ≥0)的单调性， 数为f'(x)且满足f(x)·x<f(x),f(3)=0,则 [思路点拨】 求函数的定义域→ 求f(x) f)>0的解集为 分a>0,a=0 解不等式f(x)>0或f(x)<0 规律方法 表述f(x)的单调性 根据题中所给条件构造函数，求导判定函数 的单调性，利用函数的单调性求解不等式或比较 函数式的大小，是考题中的重要题型。 ◇[变式训练] 2.设函数f（x)的导函数为f(x),且当x∈ [0,)时，f(x)cosx+fx)sinx<0,f0)=0, 下列判断中，一定正确的是 Af)>2f() Bf()Ef() C.f(1n2)>0 nf()Ef() 规律方法 题型己知函数的单调性求参数的范围 讨论函数f(x)单调性的步骤 [例3]已知函数f(x)=x3一a.x一1在R上为单调 (1)确定函数f(x)的定义域： 递增函数，求实数a的取值范围， (2)求导数f'(x),并求方程f(x)=0的根； [思路点拨] f(x)单调递增→f(x)0恒成立 (3)利用f(x)=0的根将函数的定义域分成若干 →分离参数求a的范围 个子区间，在这些子区间上讨论f'(x)的正 负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性. ◇[变式训练] 1.已知函数f(x)=x3一kx+k2,讨论f(x)的单 调性. ·58· 第二章导数及其应用 五维课堂 [母题变式] ⊙[变式训练] 1.(变条件)若函数f(x)=x3一ax一1的单调减区间 1 为（一1,1），求a的取值范围. 3.已知函数f()=hx,g(x)=2ax+2x,a≠0. (1)若函数h(x)=f(x)一g（x)存在单调递减区 间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)=f(x)一g(x)在[1,4]上单调递 减，求a的取值范围. 2.(变条件)若函数f(x)=x3-a.x-1在(-1,1)上 [当堂达标] 单调递减，求a的取值范围. 1.命题甲：对任意x∈(a,b),有f(x)>0:命题乙： f(x)在(a,b)内单调递增.命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若f()=ln ,e<a<b,则 x 3.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上 A.f(a)f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) 不单调，求a的取值范围. D.f(a)f(b)>1 3.已知函数f(.x)=lnx十x2十ax的单调递减区间为 (合1)，则a的值为 4.试求函数f(x)=k.x一lnx的单调区间. 规律方法 1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a,b)上单调 递增（或单调递减）的充要条件是f(x)≥0（或 f(x)≤0)在(a,b)上恒成立，且f'(x)在(a,b) 上的任何子区间内都不恒等于0. 2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性，求参数范 围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单 调递增（减）的问题，则区间(a,b)是相应单调 区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单 调递增（减）的问题，则f(x)≥0(f(x)≤0) 在(a,b)内恒成立，注意验证等号是否成立. ·59·数学(BS)·选择性必修第二册 令f'(x<0,则(x+万)(x-万)<0， -√B<x<b,且x≠0. .函数的单调递减区间为（一√b,0)和(0，Wb). 综上所述，函数的单调递增区间为（一∞，一√万）和(W万，十∞)， 单调递减区间为（一√万，0）和(0W万). 当堂达标 1.C[f(x)在(-o∞，1)，(4，十∞)上是减函数，在(1,4) 上为增函数，∴.当x<1或x>4时，f'(x)<0;当1<x<4 时，f(x)>0.故选C.] 2.C[对于A选项，函数y=x4为偶函数，在(0，十o∞)上递 增，在（一∞，0）上递减；对于B选项，函数y=2r在R上 递减；对于C选项，y'=1一sinx≥0在R上恒成立，则函 效y=x十cosx在其定义域R上递增；对于D选项，函数 y=一x立在(0，十∞)上递减，故选：C.] 3D[f)=osx-日，由了)>0得cos>日在区 间(0，)上，当0<<号时，满足0s1>2] 1 4.解：f(x)=(x-k+1)e.令f(x)=0,得x=k-1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表： x (-o∞，k-1) k-1 (k-1,十o∞) f(a) 0 f(z) -e4-1 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1），单调递增区间 是(k-1,十∞). 第2课时函数单调性的综合问题 课堂互动学案 [例1][解]函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=ax +1-a十1_ax2+x-(a+1) ①)当a=0时，f()=,由f(x)>0,得>1，由 f(x)<0,得0x<1..f(x)在(0,1)内为减函数，在 (1,十∞)内为增函数. +安)水- (2)当a>0时，f(x)= x :a>0,-+1<0.由f(x)>0,得r>1,由f(x)< a 0,得0<x<1. .f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十∞)内为增函数， 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十o∞) 内为增函数. 变式训练 1.解：f(x)=3x2-k. 当k=0时，f(x)=x3,故f(x)在（一∞，十∞)上单调 说增. 当k<0时，f(x)=3.x2-k>0,故f(x)在(-o∞，十∞)上 单调递增， ·10 当>0时，令f(x)=0,得x=士3颜 当x∈ √3k 时，f'(x)>0； 3 当x∈ √3 ,3k]时，f(x)<0: 3 故f(x)在-，- (+)上单调运增， 在(，)上单调运 综上，当k≤0时，f(x)在（一∞，十∞）上单调递增；当k> 0时，f(x)在 -60,- 3k) 3/ (+)小上单 [例2][解析]设g(x)=f）,因为f(x)·r<fx), 所以g'(x)=·f)-f）<0>g(x)是(0，+oo)上 的减函数，因为f(3)=0,所以g(3)=0, 因此f>0→g(x)>0=g(3)→x<3,“x>0,0<x <3. 所以f>0的解集为(0,3). [答案](0,3) 变式训练 2.B[:f(r)对于任意的x∈[0，受)满足f(x)osx+ f(x)sinx<0,令g(x)= f(z) 则g'(x)= f)cosf)nE<0.∴g)在[0，受)上单调通 *}<自包 cos cos >f()] [例3][解]由已知得f(x)=3x2-a,因为f(x)在 (一o∞，十)上是单调增函数，所以f(x)=3x2一a≥0 在(-o0,十o∞)上恒成立，即a≤3.x2对x∈R恒成立，因 为3.x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0时，f(x)=3x2≥ 0,f(x)=x3一1在R上是增函数，所以a≤0. 母题变式 1.[解]由f(x)=3x2-a,①当a≤0时，f(x)≥0， f(x)在(-o∞，十o∞)上为增函数. @当>0时，令32-a=0,得x=士，当-< 3 <3时，f(x)<0. 3 上为减函数，.f(x)的单调递 减区间为一 2.[解]由题意可知f(x)=3.x2-a≤0在(-1,1)上恒成 立，f(-1)50 1f(1)≤0 中信仁中a的水准到关3，中 3.[解]f(x)=x3-ax-1,∴.f(x)=3.x2-a,由f(x) =0,得x=土@(a≥0)，：fx)在区间(-1,1)上不单 3 调，0<@<1，即0<a<3.故a的取值范国为(0,3). 3 变式训练 1 3.解：1)h(x)=lhx2ar2-2r,x∈(0，+o, -r-ar-2. .h'(x)=1 ,h(x)在(0，十∞)上存在单调递减区间， 当x60,十0)时ar-2<0有，即a> 2 2 有条这G)-立兰R要。>0rm中时 而G(x) (2）-1cm-=-1>-1. 故a的取值范围是{aa>一1，且a≠0}. (2),h(x)在[1,4」上单调递减， x∈[1,4]时，h'(x)=上-ar-2≤0恒成立， x 即a≥马-2恒成主，a≥G(x)mm,而G(x)= (-)- 7 一16 故a的取值范国是{知。≥品且a≠0} 当堂达标 1.A[f(x)=x3在(-1,1)内单调递增，但f(x)=3.x2≥0 (一1<x<1),故命题甲是命题乙的充分不必要条件.] 1 2.A[因为f'(x)=工 -lnt=1-lnx.当xe(e,+oo） x2= 时，l-lnx<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(e,+o∞)上为 单调递减函数.故f(a)>f(b).] 3.解析：由题意得函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f'(x)= 上+2x十a=2+中<0的解条为（合1），所以不 等式2r2+a+1<0的解桑为（分），所以分十1= 分a=-3 答案：一3 ·10 参考答案 4.解：函数f(x)=k.x-lnx的定义域为(0，十oo),f'(x)=k -1=kx-1 当k≤0时，kx-1<0,.f(x)<0,则f(x)在(0，+o∞)上 单调递减。 当>0时，由f)<0,即c<0,解得0<石： 由f)>0,即>0，解得>石 “当>0时，x)的单洞递减区间为(0，)单调道增 区间为（+∞） 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，十∞)： 当>0时，fx)的单调递减区间为(0，)单调递增区 间为（+∞） 6.2函数的极值 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.都小于极大值点极大值 2.都大于极小值点极小值 [思考] 1.[提示]函数的极大值不一定大于极小值。 2.[提示]不一定，如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是f(x) =x3的极值点.所以，当f(xo)=0时，要判断x=x0是否为 f(x)的极值点，还要看f(x)在xo两侧的符号是否相反. 知识点三、1.极大值点极小值点不是极值点 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[设y=f(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次 为x1x23x4,则f(x)在x=T1x=x3处取得极大值，在x =2x=x4处取得极小值] 3.B[①y=x3在R上单调递增，无极值：②y=x2+1在( o∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故y=x2+1在x =0处取得极小值：③y=x在（一○，0）上单调递减，在(0， 十oo)上单调递增，故y=x在x=0处取得极小值；④y=2 在R上单调递增，无极值.] 4.解析：由f(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2. 当x变化时，f(x)的变化情况如下表： x -∞，0) 0 (0,2) 2 (2,十∞) f(x) 0 0 f(r) 极大值 极小值 .当x=2时，f(x)取得极小值. 答案：2