第2章 4.2 导数的乘法与除法法则-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的乘法与除法法则，通过具体函数乘积和商的导数计算问题导入，连接基本初等函数导数公式，为新知识学习构建支架，帮助学生理解法则推导的必要性。 其亮点在于情境导入激发探究，典例涵盖求导、导数应用及几何意义，通性通法总结提升数学思维，分层作业兼顾基础与拓展。培养数学运算和逻辑推理素养，助力学生掌握法则应用，教师可高效开展分层教学。

4.2　导数的乘法与除法法则 1 能利用基本初等函数的导数公式和导数的乘法与除法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　设f（x）＝x2，g（x）＝x，计算[f（x）·g（x）]'与f'（x）g' （x）. 【问题】　（1）它们是否相等？ （2）f（x）与g（x）商的导数是否等于它们导数的商呢？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　导数的乘法与除法法则 1. 条件：函数f（x）和g（x）的导数分别是f'（x）和g'（x）. 2. 结论：（1）[f（x）g（x）]'＝ ⁠ ⁠； f'（x）g（x）＋f（x）g' （x）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2） '＝ 　 ，g（x）≠0　. 　　提醒：（1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即 [u（x）·v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）·v（x）·…·w（x）＋u（x）v' （x）·…·w（x）＋…＋u（x）·v（x）·…·w'（x）；（2）导数乘法、 除法法则的特殊化公式：[kf（x）]'＝kf'（x），k∈R； '＝－ （其中c为常数）. ，g（x）≠0　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　） A. y'＝2x＋ cos x B. y'＝x2 cos x C. y'＝2x cos x D. y'＝2x sin x＋x2 cos x 解析： 　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x＋ x2 cos x. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设f（x）＝ ，则f'（0）＝ ⁠. 解析：f'（x）＝ ＝ ，故f'（0）＝1. 1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用导数的乘法与除法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解： 把函数的解析式整理变形可得： y＝ ＝ ＝1－ ， ∴y'＝－ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝3xex－2x＋e； 解：根据求导法则进行求导可得： y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋ 3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）y＝ . 解：利用求导的除法法则可得： y'＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求函数的导数的策略 （1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的 运算法则求导数； （2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的 积、商的导数计算. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝ cos x·ln x； 解： y'＝（ cos x·ln x）'＝（ cos x）'·ln x＋ cos x·（ln x）'＝－ sin x·ln x＋ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝ . 解： y'＝ '＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜求导法则的应用 角度1　利用导数求值 【例2】　（1）设函数f（x）＝ .若f'（1）＝ ，则a＝ ⁠； 解析：（1）由于f'（x）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解得 a＝1. （2）已知函数f（x）＝exln x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1） ＝ ⁠. 解析：（2）由题意得f'（x）＝exln x＋ex· ＝ex ，则f'（1）＝e. 1　 e　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　利用导数求值的关键 （1）对函数f（x）正确求导f'（x），若f（x）是由多个基本初等函数通 过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构形式，运用求导 法则求解； （2）求得f'（x）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　与导数的几何意义有关的问题 【例3】　已知函数f（x）＝ ，且f（x）的图象在x＝1处与直线y ＝2相切. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）求函数f（x）的解析式； 解： f'（x）＝ ＝ ＝ ， 因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以 解得 则f（x）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象 切于P点，求直线l的斜率k的取值范围. 解：（2）由（1）可得，f'（x）＝ ， 所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝ ＝ ＝－4· ＋ . 设t＝ ，则t∈（0，1]， 所以k＝4（2t2－t）＝8（ t－ ）2－ ， 则在对称轴t＝ 处取到最小值－ ，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的 斜率k的取值范围是［－ ，4］. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决与导数几何意义有关问题的一般思路 （1）利用导数的四则运算法则对函数f（x）正确求导，得f'（x）； （2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（x0，f（x0））处的导数值f' （x0）等于f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A. y＝x－2 B. y＝－3x＋2 C. y＝2x－3 D. y＝－2x＋1 解析： 　由题意知，点（1，－1）在曲线y＝ 上，又y'＝ ＝ ，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率k＝ ＝－2， 故所求切线的方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知函数f（x）＝x sin x＋ax，且f' ＝1，则a＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析： 　因为f'（x）＝ sin x＋x cos x＋a，且f' ＝1，所以 sin ＋ cos ＋a＝1，即a＝0. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知f（x）＝xex，则f'（2）＝（　　） A. 4e2 B. 3e2 C. 2e2 D. e2 解析： 　由题意，函数f（x）＝xex，可得f'（x）＝ex＋xex＝（x＋ 1）ex，所以f'（2）＝3e2.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下列求导运算正确的是（　　） A. '＝ B. （tan x）'＝ C. （2ln x）'＝ D. （xln x）'＝ln x＋1 √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　对于选项A， '＝ ＝ ＝－ ，故A错误；对于选项B，（tan x）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ ，故B正确；对于选项C，（2ln x）'＝ ，故C错误；对于选项D，（xln x）'＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋x· ＝ln x＋1，故D正确.故选B、D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知f（x）＝ ，若f'（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为 　 　. 解析：∵f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，其中x≠0，由f'（x0）＋f （x0）＝ ＋ ＝0，可得 ＋1＝0，解得x0＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知f（x）＝（x2＋1） cos x，则其导函数为（　　） A. f'（x）＝（x2＋1） sin x B. f'（x）＝－（x2＋1） sin x C. f'（x）＝2x cos x－（x2＋1） sin x D. f'（x）＝2x cos x＋（x2＋1） sin x 解析： 　∵f（x）＝（x2＋1） cos x，∴f'（x）＝2x cos x－（x2＋1） sin x，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线的方程为（　　） A. x＋y－1＝0 B. x＋y＋1＝0 C. x－y－1＝0 D. x＋1＝0 解析： 　∵y＝f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1，f'（1）＝1，根据 导数的几何意义可知曲线在（1，0）处的切线的斜率k＝1，∴曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数f（x）＝ ，则f（π）＋f' ＝（　　） A. － B. C. － D. － 解析： 　因为f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，因此f（π）＋ f' ＝－ ＋ ＝－ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－1，f（－1））处的切线与直 线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为（　　） A. －2e B. 2e C. － D. 解析： 　由f（x）＝（x＋a）ex，得f'（x）＝ex＋（a＋x）ex＝（x ＋a＋1）ex，则f'（－1）＝ ，因为曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－ 1，f（－1））处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以 ＝ ，故a＝ . 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕当函数y＝ （a＞0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0可 以是（　　） A. a B. 0 C. －a D. a2 解析： y'＝（ ）'＝ ＝ ，由 －a2＝0得x0 ＝±a. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕定义在R上的函数f（x）满足xf'（x）－f（x）＝1，则y＝f （x）的图象可能为（　　） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令g（x）＝ ，则g'（x）＝［ ］'＝ ＝ ，所以g（x）＝－ ＋c，c为常数，所以f（x）＝xg （x）＝cx－1.选项A、C、D分别对应c＞0，c＜0，c＝0时函数f（x） 的图象.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ ，则f'（3）＝ 　 　. 解析：因为f'（x）＝ ' ＝ ＝ ＝ ，所以f'（3）＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数f（x）＝ex· cos x＋1在x＝0处的切线方程为 ⁠. 解析：对f（x）求导可得f'（x）＝ex（ cos x－ sin x），则曲线f（x）在 x＝0处的切线方程的斜率为f'（0）＝1，又f（0）＝2，则切线方程为y＝ x＋2，即x－y＋2＝0. x－y＋2＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 函数y＝f（x）的图象如图所示，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x） 在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），则k＝ ，g'（3） ＝ ⁠. － 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，可得k＝f' （3），由图象可得f（3）＝1，所以直线l过点（3，1），又知直线l过点 （0，2），所以k＝ ＝－ ；由g（x）＝xf（x），可得g'（x）＝f （x）＋xf'（x），可得g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝1＋3× ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝（x2＋1）（x＋1）； 解： 法一　y'＝（x2＋1）'·（x＋1）＋（x2＋1）·（x＋1）'＝2x（x ＋1）＋（x2＋1）＝3x2＋2x＋1. 法二　∵y＝（x2＋1）（x＋1）＝x3＋x2＋x＋1， ∴y'＝3x2＋2x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： y'＝ ' ＝ ＝ ＝ . （2）y＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： ∵y＝xtan x－ ＝x· － ＝ ， ∴y'＝ ＝ ＝ . （3）y＝xtan x－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝ 1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　当x＝1时，f（1）＋g（1）＝0，又f（1）＝1，得g（1）＝ －1.原式两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，当x＝1时f' （1）＋g（1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）＝2－g（1）＝2－（－ 1）＝3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 等比数列{an}中，a2a7＝8，函数f（x）＝x（x＋a1）·（x＋a2）… （x＋a8），则f'（0）＝（　　） A. 26 B. 29 C. 212 D. 215 解析： 　f'（x）＝x'·（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋x·[（x＋ a1）·（x＋a2）…（x＋a8）]'＝（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋ x·[（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）]'，f'（0）＝（0＋a1）（0＋a2）… （0＋a8）＋0＝a1a2a3a4a5a6a7a8＝（a2a7）4＝212.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 〔多选〕已知函数f（x）＝ex（ sin x－ cos x），将满足f'（x）＝0的 所有正数x从小到大排成数列{xn}，则下列选项正确的是（　　） A. f'（0）＝1 B. x1＝π C. 数列{xn}是等比数列 D. 数列{f（xn）}是等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　f'（x）＝ex（ sin x－ cos x）＋ex（ cos x＋ sin x）＝2ex sin x，所以f'（0）＝0，A错误；由f'（x）＝0，得x＝kπ，k∈Z，又x＞0， 所以xn＝nπ，n∈N＋，所以x1＝π，B正确； ＝ ＝ ≠常 数，C错误；f（xn）＝－enπ cos nπ＝（－1）n－1enπ，n∈N＋，所以 ＝－eπ，所以数列{f（xn）}是公比为－eπ的等比数列，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ ＋b在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0. （1）求f（x）的解析式； 解： ∵函数f（x）＝ ＋b， ∴f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ， ∴f（x）在x＝1处切线的斜率为k＝f'（1）＝a＝2， 由切线方程可知切点为（1，0），而切点也在函数f（x）的图象上，解得 b＝0， ∴f（x）的解析式为f（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值. 解： 由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－ 2＝0与函数f（x）＝ 在点（1，0）处相切， ∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝ ＝ ， 故函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导 函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″ （x）＝（f'（x））'， 若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上 为凸函数.以下四个函数在（ 0， ）上是凸函数的是（　　） A. f（x）＝ sin x＋ cos x B. f（x）＝ln x－2x C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　若f（x）＝ sin x＋ cos x，则f″（x）＝－ sin x－ cos x，在 （ 0， ）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－ ， 在（ 0， ）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝ －6x，在（ 0， ）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝xex，则f″（x）＝ 2ex＋xex＝（2＋x）ex，在（ 0， ）上恒有f″（x）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g （x）＞f（x）g'（x），且f（x）＝axg（x）（a＞0，且a≠1）， ＋ ＝ .若数列 的前n项和大于62，求n的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：由题设可得 ＝ax， 又f'（x）g（x）＞f（x）g'（x）， ∴ '＝ ＝（ax）'＝axln a＞0，∴a＞1， ∵ ＋ ＝ ，即a＋a－1＝ ，可得a＝2， ∴ ＝2x，故 ＝2n， ∴数列 为等比数列， ∴Sn＝ ＝2n＋1－2＞62，故n＋1＞6，即n＞5，n∈N＋，∴n的 最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $