第2章 4.2 导数的乘法与除法法则(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦导数的乘法与除法法则这一核心知识点，衔接基本初等函数导数公式，通过问题引入（如比较乘积导数与导数乘积是否相等）、公式推导及例题解析，为复杂函数求导搭建学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，通过分层训练（基础题到综合题）发展数学思维，结合通性通法总结提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

4.2　导数的乘法与除法法则 课标要求 能利用基本初等函数的导数公式和导数的乘法与除法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 　　设f（x）＝x2，g（x）＝x，计算[f（x）·g（x）]'与f'（x）g'（x）. 【问题】　（1）它们是否相等？ （2）f（x）与g（x）商的导数是否等于它们导数的商呢？ 知识点　导数的乘法与除法法则 1.条件：函数f（x）和g（x）的导数分别是f'（x）和g'（x）. 2.结论：（1）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （2）'＝　，g（x）≠0　. 　　提醒：（1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）·v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）·v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）·v（x）·…·w'（x）；（2）导数乘法、除法法则的特殊化公式：[kf（x）]'＝kf'（x），k∈R；'＝－（其中c为常数）. 1.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x　　　 B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 解析：D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. 2.设f（x）＝，则f'（0）＝　1　. 解析：f'（x）＝＝，故f'（0）＝1. 题型一｜利用导数的乘法与除法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝； 解：（1）把函数的解析式整理变形可得： y＝＝ ＝1－， ∴y'＝－ ＝. （2）y＝3xex－2x＋e； 解：根据求导法则进行求导可得： y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2. （3）y＝. 解：利用求导的除法法则可得： y'＝ ＝ ＝. 通性通法 求函数的导数的策略 （1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数； （2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝cos x·ln x； 解：（1）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'＝－sin x·ln x＋. （2）y＝. 解：（2）y'＝'＝ ＝ ＝. 题型二｜求导法则的应用 角度1　利用导数求值 【例2】　（1）设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　1　； 解析：（1）由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. （2）已知函数f（x）＝exln x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）＝　e　. 解析：（2）由题意得f'（x）＝exln x＋ex·＝ex，则f'（1）＝e. 通性通法 　　利用导数求值的关键 （1）对函数f（x）正确求导f'（x），若f（x）是由多个基本初等函数通过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构形式，运用求导法则求解； （2）求得f'（x）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值. 角度2　与导数的几何意义有关的问题 【例3】　已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切. （1）求函数f（x）的解析式； 解：（1）f'（x）＝ ＝＝， 因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f（x）＝. （2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围. 解：（2）由（1）可得，f'（x）＝， 所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝＝＝－4·＋. 设t＝，则t∈（0，1]， 所以k＝4（2t2－t）＝8（ t－）2－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是［－，4］. 通性通法 解决与导数几何意义有关问题的一般思路 （1）利用导数的四则运算法则对函数f（x）正确求导，得f'（x）； （2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（x0，f（x0））处的导数值f'（x0）等于f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率. 【跟踪训练】 曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A.y＝x－2　　　　　 　　 B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝－2x＋1 解析：D　由题意知，点（1，－1）在曲线y＝上，又y'＝＝，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. 1.已知函数f（x）＝xsin x＋ax，且f'＝1，则a＝（　　） A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 解析：A　因为f'（x）＝sin x＋xcos x＋a，且f'＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0. 2.已知f（x）＝xex，则f'（2）＝（　　） A.4e2 B.3e2 C.2e2 D.e2 解析：B　由题意，函数f（x）＝xex，可得f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，所以f'（2）＝3e2.故选B. 3.〔多选〕下列求导运算正确的是（　　） A.'＝ B.（tan x）'＝ C.（2ln x）'＝ D.（xln x）'＝ln x＋1 解析：BD　对于选项A，'＝＝＝－，故 A错误；对于选项B，（tan x）'＝（ ）'＝＝＝，故B正确；对于选项C，（2ln x）'＝，故C错误；对于选项D，（xln x）'＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋x·＝ln x＋1，故D正确.故选B、D. 4.已知f（x）＝，若f'（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为　　. 解析：∵f（x）＝，则f'（x）＝，其中x≠0，由f'（x0）＋f（x0）＝＋＝0，可得＋1＝0，解得x0＝. 1.已知f（x）＝（x2＋1）cos x，则其导函数为（　　） A.f'（x）＝（x2＋1）sin x B.f'（x）＝－（x2＋1）sin x C.f'（x）＝2xcos x－（x2＋1）sin x D.f'（x）＝2xcos x＋（x2＋1）sin x 解析：C　∵f（x）＝（x2＋1）cos x，∴f'（x）＝2xcos x－（x2＋1）sin x，故选C. 2.曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线的方程为（　　） A.x＋y－1＝0　　　　　　B.x＋y＋1＝0 C.x－y－1＝0 D.x＋1＝0 解析：C　∵y＝f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1，f'（1）＝1，根据导数的几何意义可知曲线在（1，0）处的切线的斜率k＝1，∴曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.故选C. 3.已知函数f（x）＝，则f（π）＋f'＝（　　） A.－ B. C.－ D.－ 解析：D　因为f（x）＝，则f'（x）＝，因此f（π）＋f'＝－＋＝－.故选D. 4.已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－1，f（－1））处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为（　　） A.－2e B.2e C.－ D. 解析：D　由f（x）＝（x＋a）ex，得f'（x）＝ex＋（a＋x）ex＝（x＋a＋1）ex，则f'（－1）＝，因为曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－1，f（－1））处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以＝，故a＝.故选D. 5.〔多选〕当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是（　　） A.a B.0 C.－a D.a2 解析：AC　y'＝（ ）'＝＝，由－a2＝0得x0＝±a. 6.〔多选〕定义在R上的函数f（x）满足xf'（x）－f（x）＝1，则y＝f（x）的图象可能为（　　） 解析：ACD　令g（x）＝，则g'（x）＝［］'＝＝，所以g（x）＝－＋c，c为常数，所以f（x）＝xg（x）＝cx－1.选项A、C、D分别对应c＞0，c＜0，c＝0时函数f（x）的图象.故选A、C、D. 7.已知函数f（x）＝，则f'（3）＝　　. 解析：因为f'（x）＝' ＝＝＝，所以f'（3）＝＝. 8.函数f（x）＝ex·cos x＋1在x＝0处的切线方程为　x－y＋2＝0　. 解析：对f（x）求导可得f'（x）＝ex（cos x－sin x），则曲线f（x）在x＝0处的切线方程的斜率为f'（0）＝1，又f（0）＝2，则切线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. 9.函数y＝f（x）的图象如图所示，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），则k＝　－　，g'（3）＝　0　. 解析：直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，可得k＝f'（3），由图象可得f（3）＝1，所以直线l过点（3，1），又知直线l过点（0，2），所以k＝＝－；由g（x）＝xf（x），可得g'（x）＝f（x）＋xf'（x），可得g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝1＋3×＝0. 10.求下列函数的导数： （1）y＝（x2＋1）（x＋1）； （2）y＝； （3）y＝xtan x－. 解：（1）法一　y'＝（x2＋1）'·（x＋1）＋（x2＋1）·（x＋1）'＝2x（x＋1）＋（x2＋1）＝3x2＋2x＋1. 法二　∵y＝（x2＋1）（x＋1）＝x3＋x2＋x＋1， ∴y'＝3x2＋2x＋1. （2）y'＝' ＝ ＝＝. （3）∵y＝xtan x－＝x·－ ＝， ∴y'＝ ＝ ＝. 11.若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　当x＝1时，f（1）＋g（1）＝0，又f（1）＝1，得g（1）＝－1.原式两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，当x＝1时f'（1）＋g（1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）＝2－g（1）＝2－（－1）＝3.故选C. 12.等比数列{an}中，a2a7＝8，函数f（x）＝x（x＋a1）·（x＋a2）…（x＋a8），则f'（0）＝（　　） A.26 B.29 C.212 D.215 解析：C　f'（x）＝x'·（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋x·[（x＋a1）·（x＋a2）…（x＋a8）]'＝（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋x·[（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）]'，f'（0）＝（0＋a1）（0＋a2）…（0＋a8）＋0＝a1a2a3a4a5a6a7a8＝（a2a7）4＝212.故选C. 13.〔多选〕已知函数f（x）＝ex（sin x－cos x），将满足f'（x）＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，则下列选项正确的是（　　） A.f'（0）＝1 B.x1＝π C.数列{xn}是等比数列 D.数列{f（xn）}是等比数列 解析：BD　f'（x）＝ex（sin x－cos x）＋ex（cos x＋sin x）＝2exsin x，所以f'（0）＝0，A错误；由f'（x）＝0，得x＝kπ，k∈Z，又x＞0，所以xn＝nπ，n∈N＋，所以x1＝π，B正确；＝＝≠常数，C错误；f（xn）＝－enπcos nπ＝（－1）n－1enπ，n∈N＋，所以＝－eπ，所以数列{f（xn）}是公比为－eπ的等比数列，D正确. 14.已知函数f（x）＝＋b在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0. （1）求f（x）的解析式； （2）求函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值. 解：（1）∵函数f（x）＝＋b， ∴f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝， ∴f（x）在x＝1处切线的斜率为k＝f'（1）＝a＝2， 由切线方程可知切点为（1，0），而切点也在函数f（x）的图象上，解得b＝0， ∴f（x）的解析式为f（x）＝. （2）由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－2＝0与函数f（x）＝在点（1，0）处相切， ∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝＝， 故函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为. 15.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'， 若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（ 0，）上是凸函数的是（　　） A.f（x）＝sin x＋cos x B.f（x）＝ln x－2x C.f（x）＝－x3＋2x－1 D.f（x）＝xex 解析：ABC　若f（x）＝sin x＋cos x，则f″（x）＝－sin x－cos x，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝xex，则f″（x）＝2ex＋xex＝（2＋x）ex，在（ 0，）上恒有f″（x）＞0. 16.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），且f（x）＝axg（x）（a＞0，且a≠1），＋＝.若数列的前n项和大于62，求n的最小值. 解：由题设可得＝ax， 又f'（x）g（x）＞f（x）g'（x）， ∴'＝＝（ax）'＝axln a＞0，∴a＞1， ∵＋＝，即a＋a－1＝，可得a＝2， ∴＝2x，故＝2n， ∴数列为等比数列， ∴Sn＝＝2n＋1－2＞62，故n＋1＞6，即n＞5，n∈N＋，∴n的最小值为6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $