第2章 4.1 导数的加法与减法法则(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“导数的加法与减法法则”核心知识点，系统梳理法则表达式[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)及常数倍、有限个函数和差的推广，前承基本初等函数导数公式，后为复杂函数求导提供工具，构成学习支架。 以高铁运动实例引入，培养数学眼光，通过判断、选择及直接应用、逆向、几何意义等题型训练，提升数学思维（运算、推理），课中辅助分层教学，课后练习助学生查漏补缺，强化数学语言表达。

4.1　导数的加法与减法法则 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.这类运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　导数的加法与减法法则 知识点要素 梳理知识 导数的加法 与减法法则 两个函数和（或差）的导数等于这两个函数导数的和（或差） 表达式 [f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x） 　　提醒：（1）特别地，若f（x）＝2g（x）＝g（x）＋g（x），则f'（x）＝（2g（x））'＝（g（x）＋g（x））'＝ g'（x）＋g'（x）＝2g'（x），即f（x）＝kg（x）（k为常数），f'（x）＝kg'（x）；（2）导数和（差）的求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即[u（x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）'＝ex.（　　） （2）函数f（x）＝x2＋x的导数是f'（x）＝x＋1.（　　） （3）函数f（x）＝sin x－cos x的导数是f'（x）＝cos x＋sin x.（　　） （4）函数f（x）＝2ln x，则f'（x）＝.（　　） 2.函数f（x）＝x＋的导数f'（x）＝（　　） A.1－　　　　　　 B.1－ C.1＋ D.1＋ 3.设f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，则a＝　　　　. 题型一｜利用导数加法、减法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝－x4＋3x3； （2）y＝（2x2－1）（3x＋1）； （3）y＝x（x＋1）（x2－x＋1）； （4）y＝＋ln x－sin x. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　对于能转化为和、差运算的求导问题，应先将函数结构化简为和、差结构再利用加法、减法法则求导. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝（x－a）（x－b）在x＝a处的导数为（　　） A.ab　　　　　　　　B.－a（a－b） C.0 D.a－b 2.已知f（x）＝x2＋2xf'（1），求f'（0）的值. 题型二｜求导法则的逆向应用 【例2】　已知f'（x）是一次函数，x2·f'（x）－（2x－1）·f（x）＝1对一切x∈R恒成立，求f（x）的解析式. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　求导法则的逆向应用，其实质就是待定系数法.先设出含字母系数的函数模型，然后利用已知条件解出所设未知的字母系数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　　　　. 题型三｜求导法则在导数几何意义中的应用 【例3】　已知函数f（x）＝ax3－x2－x＋b（a，b∈R，a≠0），g（x）＝ex，f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋. （1）求a，b的值； （2）直线y＝x＋是否与函数g（x）的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　对于由某些基本初等函数的和（差）所构成的初等函数f（x），求解与曲线的切线有关的问题时，正确求出f'（x）是解题的关键，利用导数的加（减）法法则时应注意先化简再求导. 【跟踪训练】 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式l（t）＝3t2－t.当运动员的滑雪路程为46 m时，此时的滑雪速度为　　　 m/s. 1.函数y＝（＋1）（－1）的导数等于（　　） A.1　　　B.－　　C.　　D.－ 2.已知函数f（x）＝ex＋ax，若f'（0）＝2，则实数a的值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 3.〔多选〕下列导数运算正确的是（　　） A.（x2－2x＋3）'＝2x－2 B.（sin x＋cos x）'＝sin x－cos x C.（x－1＋ln x）'＝（x－1）x－2 D.'＝ 4.已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　　　　. 5.求下列函数的导数： （1）y＝x3－x2－x＋3； （2）y＝＋. 提示：完成课后作业　第二章　§4　4.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 【基础落实】 自我诊断 1.(1)V(2)V(3)V(4)× 2.Aw)=x+=r+=1-2 3 解析：(x)=3x2+2ax-2,故f(1)=3+2a-2=4,解得a=2: 【典例研析】 【例1】解：(1)y'=(-x4+3x3)=(-x4)+(3x)′ =-4x3+9x2. (2)先将乘积形式转化为和差形式， y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y'=(6x3+2x2-3x-1)=18x2+4x-3. (3)利用立方和公式转化， y=x（x+1)(x2-x+1)=x(x3+1)=x4+x, ∴.y'=4x3+1. (4)先将根式化幂的形式， yxInxsinx=xx-sinx, 1 跟踪训练 1.Df(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab,∴.f(x)=2x-(a+b),.f(a)=2a -(a十b)=a一b,故选D. 2.解：.f(x)=2x+2f(1),f(1)=2+2f(1),即f(1)=-2,(0)=2f(1)=- 4. 【例2】解：由f(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)=ax2+bx十c(a≠0)，则 f(x)=2ax+b,把f(x),f(x)代入关于x的方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c) =1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0, 又该方程对一切x∈R恒成立， 1/3 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a-b=0, a=2, 所以b-2c=0,解得b=2, c-1=0, c=1, 所以f（x)=2x2+2x+1. 跟踪训练 f(x)=2x3-9x2+12x解析：因为(x)=-3ax2+2bx+c,f(1)=0,f(2)=0,f(1)= 5, 3a+2b+c=0, a=2, 所以12a+4b+c=0,解得b=-9,故函数f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x. a+b+c=5, c=12. 【例3】解： (1)f(x)=3ax2-2x-1. (x)的图象在x=-处的切线方程为y=子+骨 3,9 -引子即3a-+1-1=子解得a=1, 又f)的图家过点-子引 ---+子解得b8 综上，a=1,b=5 81 319 (2)设直线y=x+8与函数g)的图象相切于点A(o,· g)3,gw-3e-子架将= 4 转=入g0)=理，得点4的型拆分引顿线方程为y是引+引化间 待y寻+骨放宜我y一寻十8与西数g()的图象相切，柯应坠标一宁引 跟踪训练 47 2 解析：由题意得3r-之-46，解得1=4或1=召（舍去），因为”(0=61-2所以 6 1(4)=6×4-号=47 .47 )=),当运动员的滑雪路程为46m时，此时的滑雪速度为)ms 2/3 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 随堂检测 1.A因为y=(Vx+1)(x-1)=x-1,所以y=x'-1'=1. 2.Cf(x)=e+a,故f(0)=1+a=2,所以a=1. 3.ACD(x2-2x+3)'=2x-2,A正确.（sinx十cosx)'=cosx-sinx,B错误.（x1+lnx)'= 斗-》，cE确最+(x+品 2x7D正确 4.1解析：由题知片=文，片=3r-2x十2，所以两由线在x=x处切线的斜率分别为，3好-20 Xo +2,所以36-20+2 3,所以xo=1. 5.解：(1)y=(x3-x2-x+3)=(x3)'-(x2)-x+3=3x2-2x-1. (2)因为y=2x2+3x3, 所以y'=(2x+3x3)=(2x2)+(3x)=-4r-9x4=-4-9 3/3 ·独家授权侵权必究