第2章 3 导数的计算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦导数的计算核心知识点，从导函数概念切入，通过常数函数、幂函数等具体函数的导数探究，引导学生归纳常见函数导数公式，构建从具体实例到一般规律的学习支架。 该资料以问题链驱动数学抽象，通过判断、例题及跟踪训练提升数学运算能力，切线问题题型分类清晰且总结通性通法。课中助力教师引导学生实践，课后学生可借题组自我检测，有效查漏补缺。

§3　导数的计算 1.理解并掌握导函数的概念（数学抽象）. 2.会用导数公式表求常见函数的导数（数学运算）. 已知函数：①y＝f（x）＝c；②y＝f（x）＝x；③y＝f（x）＝x2；④y＝f（x）＝；⑤y＝f（x）＝. 【问题】　（1）函数y＝f（x）＝c的导数是什么？ （2）函数②③④⑤的导数分别是什么？ （3）函数②③④⑤均可表示为y＝xα（α为实数）的形式，其导数有何规律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　导函数 一般地，如果一个函数y＝f（x）在区间（a，b）的每一点x处都有f'（x）＝，那么f'（x）也是关于x的函数，称　　　　为y＝f（x）的导函数，也简称为导数. 知识点二　几个常见函数的导数 函数 导数 y＝c（c是常数） y＝xα（α是实数） y'＝αxα－1 y＝ax（a＞0，a≠1） y'＝　　　　，特别地（ex）'＝　　　　 y＝logax（a＞0，a≠1） y'＝　　　　，特别地（ln x）'＝　　　　 y＝sin x y'＝　　　 y＝cos x y'＝　　　 y＝tan x y'＝　　　 　　提醒：应用求导公式时应注意的问题：①函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝等都是幂函数y＝xα（α是实数）的形式，可由（xα）'＝αxα－1快速求导；②对于公式（ln x）'＝和（ex）'＝ex很好记，但对于公式（logax）'＝和（ax）'＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置；③对于公式（sin x）'＝cos x，（cos x）'＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 【想一想】 若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝，则y'＝×2＝1.（　　） （2）若f（x）＝，则f'（x）＝－.（　　） （3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（　　） （4）若y＝sin x，则y'＝cos x.（　　） 2.已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（　　） A.0　　　　　　　　　　B.2x C.6 D.9 3.曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是　　　　. 题型一｜利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数：（1）y＝－3；（2）y＝x4；（3）y＝2x；（4）y＝log5x；（5）y＝cos. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求基本初等函数的导数的注意点 （1）若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导. 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝6x；（2）y＝x2；（3）y＝cos2－sin2. 题型二｜利用导数公式解决与切线有关的问题 角度1　求切线的方程 【例2】　函数y＝在点处的切线方程是（　　） A.y＝4x　　　　　　 B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求曲线过点P的切线方程的方法 （1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）·（x－x0）； （2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））； 第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）； 第三步：将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程. 角度2　求参数值 【例3】　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 角度3　两曲线的公切线问题 【例4】　若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为（　　） A.y＝2x＋1　　　　　　B.y＝2x＋ C.y＝x＋1 D.y＝x＋ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决两曲线的公切线问题的两种方法 （1）利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； （2）设公切线l在y＝f（x）上的切点P1（x1，f（x1）），在y＝g（x）上的切点P2（x2，g（x2）），则f'（x1）＝g'（x2）＝. 【跟踪训练】 （2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　　　. 1.若f（x）＝sin x，则f'＝（　　） A.－　　　　　　　B.－ C. D. 2.曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　） A.1 B.2 C.e D. 3.对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝x3 B.f（x）＝x4－2 C.f（x）＝x3＋1 D.f（x）＝x4－1 4.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.若y＝3，则y'＝0 B.若y＝，则y'＝－ C.若y＝，则y'＝ D.若y＝x，则y'＝1 5.曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　导数的计算 【基础落实】 知识点一 f'（x） 知识点二 y'＝0　axln a　ex　　　cos x　－sin x　 想一想 　提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y'＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y'＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y'＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬时速度为2x. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6. 3.y＝x－1　解析：易知曲线y＝ln x与x轴的交点为（1，0），∵y'＝，当x＝1时，可得切线的斜率为1，∴切线方程为y＝x－1. 【典例研析】 【例1】　解：（1）y'＝（－3）'＝0. （2）y'＝（x4）'＝4x3. （3）y'＝（2x）'＝2xln 2. （4）y'＝（log5x）'＝. （5）y'＝'＝（sin x）'＝cos x. 跟踪训练 　解：（1）y'＝（6x）'＝6xln 6. （2）y'＝（x2）'＝'＝＝. （3）∵y＝cos2－sin2＝cos x， ∴y'＝（cos x）'＝－sin x. 【例2】　B　∵y'＝'＝－x－2， ∴k＝－＝－4， ∴切线方程为y－2＝－4，即y＝－4x＋4. 【例3】　　解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝，所以k＝，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. 【例4】　D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y'＝，k＝　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋. 跟踪训练 　ln 2　解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln），由切点在切线y＝2x＋1上得a＋ln＝0，故a＝ln 2. 随堂检测 1.D　f'（x）＝cos x，f'＝cos＝. 2.A　由条件得y'＝ex，根据导数的几何意义，可得当x＝0时，k＝e0＝1. 3.B　由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B. 4.ACD　只有B是错误的.因为y'＝'＝'＝－＝－. 5.e2　解析：∵y'＝（ex）'＝ex，∴曲线在点（2，e2）处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点（2，e2）处的切线方程为y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S＝×1×＝e2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $