第2章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数的概念与几何意义，从平均变化率入手，通过极限思想抽象出导数定义，再结合曲线割线到切线的动态过程，构建从代数定义到几何直观的完整知识脉络。 资料以雨伞水滴运动等生活实例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过割线逼近切线的过程培养直观想象，题型涵盖概念应用与切线方程求解，助力学生用数学思维思考，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 1.了解导数的概念（数学抽象）. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）. 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题. 【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　导数的概念 设函数y＝f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个　　　的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在点x0的　　　　　　.在数学中，称　　　　　　为函数y＝f（x）在点x0处的导数，通常用符号f'（x0）表示，记作f'（x0）＝＝　　　　　　. 　　提醒：对于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数应注意以下四点：①函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛；②函数在x＝x0处的导数f'（x0）只与x0有关，与Δx无关.函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量；③函数f（x）应在x0及其附近有意义，否则导数不存在.若极限 不存在，则称函数y＝f（x）在x＝x0处不可导.若f（x）在开区间（a，b）内每一点处都可导，称f（x）在开区间（a，b）内可导；④在导数的定义式f'（x0）＝ 中，Δx趋于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.这时Δx是一个无穷小量，当Δx＞0（或Δx＜0）时，Δx趋于0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0.当Δx趋于0时，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）趋于0，但趋于f'（x0）. 知识点二　导数的几何意义 1.曲线的割线与切线 （1）设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f（x）在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图①，它是经过A（x0，f（x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y＝f（x）在点A处的一条　　　　； （2）如图②，设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f（x）在点A处的　　　，或称直线l和曲线y＝f（x）在点A处　　　　.该切线的斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数　　　　. 　　提醒：对曲线的切线的再认识：①曲线的切线是指曲线上某一点处的切线，根据切线的定义知曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线是过点（x0，f（x0））的所有割线的极限位置；②曲线y＝f（x）与它的一条切线一定有公共点（x0，f（x0））即切点，但不一定只有切点这一个公共点，还可能有其他公共点；③曲线y＝f（x）与一条直线l只有一个公共点时，直线l不一定是曲线y＝f（x）的切线，可以在公共点处用切线的定义检验；④曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线至多有一条；⑤若函数y＝f（x）在x＝x0处有导数f'（x0），则曲线y＝f（x）上必有唯一一条以（x0，f（x0））为切点的切线；当曲线y＝f（x）上在切点（x0，f（x0））处的切线垂直于x轴时，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数不存在. 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x0处的导数　　　　，是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的　　　　. 【想一想】 1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 2.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在某点处的导数f'（x0）是一个常数.（　　） （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x＝x0处的函数值.（　　） （3）函数f（x）＝0没有导数.（　　） （4）直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.（　　） 2.函数f（x）的图象如图所示，则（　　） A.f'（1）＞f'（2）＞f'（3） B.f'（2）＞f'（1）＞f'（3） C.f'（3）＞f'（2）＞f'（1） D.f'（3）＞f'（1）＞f'（2） 3.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝　　　　. 题型一｜导数的概念 角度1　求函数在某点处的导数 【例1】　求函数y＝f（x）＝x＋在x＝1处的导数. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）给出相对于x0的改变量x0＋Δx，求函数值的改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率＝； （3）取极限，得导数f'（x0）＝. 【跟踪训练】 　y＝f（x）＝x2在x＝1处的导数为（　　） A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 角度2　对导数定义式的理解和应用 【例2】　已知f（x）在x0处的导数f'（x0）＝k，求下列各式的值： （1） ； （2） . 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 导数定义式的变形应用 　　在导数的定义式中，自变量的增量Δx可以有多种表达形式，但不论采用哪种形式，Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式，如将Δx变为mΔx，则Δy＝f（x0＋mΔx）－f（x0），只有这样，才有＝f'（x0）. 【跟踪训练】 1.若函数f（x）可导，则＝（　　） A.－2f'（1）　　　　　　B.f'（1） C.－f'（1） D.f' 2.已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 题型二｜导数的几何意义 角度1　求切线的方程 【例3】　已知曲线y＝x3＋. （1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求曲线过点P（2，4）的切线方程. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　若题中所给点（x0，y0）不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【跟踪训练】 求曲线y＝在点处的切线方程. 角度2　求切点坐标或参数值 【例4】　（1）已知曲线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为　　　　； （2）若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　解答此类题目时，弄清切线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等. 【跟踪训练】 已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值. 题型三｜利用导数的几何意义判断函数图象 【例5】　已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（　　） A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3） C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　导数的几何意义就是切线的斜率，在比较导数大小的问题上可以用数形结合思想来解决. （1）曲线f（x）在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'（x0）＞0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f'（x0）＜0说明在x0附近曲线是下降的； （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）的部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（　　） A.f'（1）＜f'（2）＜a B.f'（1）＜a＜f'（2） C.f'（2）＜f'（1）＜a D.a＜f'（1）＜f'（2） 1.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x－y＋1＝0，则（　　） A.f'（x0）＜0　　　　　B.f'（x0）＞0 C.f'（x0）＝0 D.f'（x0）不存在 2.已知曲线y＝x2－3上一点P，则过点P的切线的斜率为（　　） A. B.1 C.－1 D.－ 3.已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f'（x1）　　　　f'（x2）（填“＜，＞，＝，≤，≥”）. 4.若 ＝1，求f'（x0）. 提示：完成课后作业　第二章　§2　2.1　2.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 【基础落实】 知识点一 固定　瞬时变化率　瞬时变化率　 知识点二 1.（1）割线　（2）切线　相切　f'（x0） 2.f'（x0）　斜率 想一想 1.提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 2.提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）× 2.C　由函数的图象可知，曲线在点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））处切线的斜率大小关系为kC＞kB＞kA，故f'（3）＞f'（2）＞f'（1）. 3.2　解析：f'（1）＝ ＝ ＝2. 【典例研析】 【例1】　解：当x从1变到1＋Δx时，函数值从1＋变到（1＋Δx）＋，函数值y关于x的平均变化率为＝＝ ＝1－. 当x趋于1时，即Δx趋于0时，平均变化率总是0，所以f'（1）＝0. 跟踪训练 　B　当x从1变到1＋Δx时，函数值从1变到（1＋Δx）2，函数值y关于x的平均变化率为＝＝Δx＋2.当x趋于1，即Δx趋于0时，平均变化率总是2，所以f'（1）＝2. 【例2】　解：（1）法一　∵ ＝f'（x0）， 即 ＝f'（x0）＝k. ∴ ＝. 法二　令Δh＝－Δx，则Δx＝－Δh， ∵当Δx→0时，Δh→0， ∴ ＝ ＝ ＝f'（x0）＝. （2）法一　∵， 即为函数f（x）在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上的平均变化率. ∴当Δx→0时，必趋于f'（x0）＝k， ∴ ＝k， ∴ ＝2k. 法二　原式＝ ＝ ＋ ＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）＝2k. 跟踪训练 1.C　＝ －＝－f'（1）. 2.B　由题意，知f'（3）＝ ＝－2，故选B. 【例3】　解：（1）∵P（2，4）在曲线y＝x3＋上， ＝ ＝4＋2Δx＋（Δx）2. 令Δx趋于0，可知y＝x3＋在x＝2处的导数为4. ∴曲线在点P（2，4）处的斜率为4， ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y－4＝4（x－2）， 即4x－y－4＝0. （2）设曲线y＝x3＋与过点P（2，4）的切线相切于点A， ＝ ＝＋x0Δx＋（Δx）2， 令Δx趋于0，可知y＝x3＋在x＝x0处的导数为，于是曲线在点（ x0，＋）处的切线斜率为， ∴切线方程为y－＝（x－x0）， 即y＝·x－＋. ∵点P（2，4）在切线上， ∴4＝2－＋，即－3＋4＝0. ∴＋－4＋4＝0， ∴（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0， ∴（x0＋1）（x0－2）2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 跟踪训练 　解：＝＝， 令Δx趋于0，可知曲线y＝在x＝2处的导数为－，于是曲线y＝在点（ 2，）处的切线的斜率为－， 由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0. 【例4】　（1）　（2）±2 解析：（1）设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴＝4x0＋2Δx，令Δx趋于0，可知y＝2x2＋1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝4x0，于是曲线在点（x0，y0）处的切线斜率为4x0，又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×＋1＝，∴切点坐标为. （2）设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P（x0，y0），由y＝x3得＝＝3＋3x0·Δx＋（Δx）2，令Δx趋于0，可知y＝x3在x＝x0处的导数为3，∴曲线y＝x3在点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝3，又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切于点P，∴3＝3，因此x0＝±1，∴P（1，1）或P（－1，－1）.∵点P在直线y＝3x＋b上，∴b＝±2. 跟踪训练 　解：对于曲线f（x）＝x2－1， ＝ ＝2x0＋Δx. 令Δx趋于0，可知f（x）＝x2－1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0， ∴曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0. 对于曲线g（x）＝1－x3， ＝ ＝－3x0Δx－3－（Δx）2， 令Δx趋于0，可知g（x）＝1－x3在x＝x0处的导数为g'（x0）＝－3， ∴曲线g（x）在点（x0，g（x0））处的切线斜率为－3. 由两切线互相平行，得2x0＝－3， ∴x0＝0或x0＝－. 【例5】　C　kAB＝＝f（3）－f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）. 跟踪训练 　B　由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长越来越快，故函数图象在点（x0，f（x0））（x0∈[0，＋∞））的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B. 随堂检测 1.B　由导数的几何意义可知曲线在（x0，f（x0））处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f'（x0）＝3.故选B. 2.B　∵y＝x2－3且P（ 1，－）在此曲线上，∴Δy＝（1＋Δx）2－3－（ ×12－3）＝（Δx）2＋Δx，∴＝＝1＋Δx.令Δx趋于0得曲线在x＝1处的导数为1，即曲线在点（ 1，－）处的切线斜率为1，∴过点P的切线的斜率为1. 3.＜　解析：由导数的几何意义可知，f'（x1）表示函数y＝f（x）在x＝x1处的切线斜率，f'（x2）表示函数y＝f（x）在x＝x2处的切线斜率，由函数y＝f（x）的部分图象可知，函数y＝f（x）在x＝x1处的切线斜率比在x＝x2处的切线斜率小，所以f'（x1）＜f'（x2）. 4.解：因为 ＝－ ＝－f'（x0）＝1. 所以f'（x0）＝－. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $