第2章 2.1 导数的概念&2.2 导数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

巴五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 数 课时 §1平均变化率与瞬时变化率 间 1.1 平均变化率 纠错空间 学作业 1.2瞬时变化率 [基础达标练] 8.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所 1.一质点的运动方程是s=5一3t,则在时间[1， 示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月 1+△t]内相应的平均速度为 ( 到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并说 A.3△t+6 B.-3△t+6 明哪一阶段体重的平均变化较快. C.3△t-6 D.-3△t-6 W千克 2.函数y=f(x)=3在x从1变到3时的平均 11 8.6 变化率等于 ( ) 65 A.12 B.24 35 C.2 D.-12 6912/月 3.函数f(x)=x2一1在区间[1，m]上的平均变 化率为3，则实数m的值为 ( A.3 B.2 C.1 D.4 4.函数y=f(x)=4x十1在点x=2处的瞬时变 化率估计是 ( ) 方法总结 A.3 B.4 C.6 D.5 5.(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间 (单位：年)的函数关系如图所示现有下列四 种说法正确的有 ( y 012345678x A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变. 6.路灯距离地面8m,一个身高为1.6m的人以 84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O 沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率 为 m/s. 7.一质点M按运动方程s(t)=at2十1做直线运 动（位移单位：m,时间单位：s).若质点M在t =2s时的瞬时速度为8m/s,则常数a的值为 ·22· 第二章导数及其应用 课时作业乡 [能力提升练] [素养培优练] 9.在x=1附近，取△x=0.3,在四个函数①y= 13.(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效， 间 x②y=x2.③y=x3,④y=1 中，平均变化率 现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓 纠错空间 最大的是 度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓 A.④ B.③ 度c与时间t的关系为c=f(t),甲、乙两人 C.② D.① 10.如图所示，函数y=f(x)在[x,x2],[2x2 服用该药物后，血管中药物浓度c随时间t变 x3],[x3,x]这几个区间内，平均变化率最大 化的关系如图所示。 的一个区间是 Ac(mg/mL) 甲 X10 x2 0 11.函数f(x)=x2与g(x)=1nx在区间(1， t t(h) +∞)上增长较快的是 给出下列四个结论正确的是 ( 12.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化 A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度 率，取△虹都为行，哪一点附近的平均变化率 相同 最大？ B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的 方法总结 瞬时变化率相同 C.在[t2,t]这个时间段内，甲、乙两人血管 中药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1,t2],[t2,t]两个时间段内，甲血管 中药物浓度的平均变化率不相同 14.已知a>1,函数f(x)=1nx,则下面结论中 正确的有 (填上所有正确结论的 序号) ①函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化 率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化 率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化 率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化 率随着a的增大而减小. ·23·巴五维课堂 7.解析：，△s=s(2十△t)-s(2)=a(2+x)+1-a·2-1= 4a△t+a(△t)2, 小是=a十a,当出越于0时言越于4a,即a=8 解得a=2. 答案：2 8.解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 6585=号=1千克/月. 3-0 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 1-8.6=24=0.4(千克/月).因为1>0.4，所以该婴 12-6 6 儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化 较快. 9.B[当△x=0.3时，①y=x在x=1附近的平均变化率 k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率2=2十△x =2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k=3十3△x 十(Ar)=39:0y=子在x=1附近的平均支化率k =中a=一铝>>6>6单均支化年 1 最大的是③.故选B.门 10.解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间 [,x2],[2,x],[,x1]上的平均变化率分别为 )-f)f)一f)fx)-),结合图像可 xg一x1 x1一x3 以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x, x1]. 答案：[x,x1门 11.解析：在(1，十∞)上取(a,a十1)，2 Ay=f(a+1)-f(a) a+1-a =2a-1,器=a》@=n(-召）周为a a+1-a ≥1，所以2a+1≥3.ln(1+a)≤n(+十）=lh2< 1,所以义>器，所以画数gx)=nx在区间(1，中 o)上的增长速度慢于函数f(x)=x2的增长速度，故 增长较快的为f(x)=x. 答案：f(x)=x 12,解：在x=1附近的平均变化率为k,=①十A)-」 △x 2十△x,在x=2附近的平均变化率为k2= 2十△)-一2=4十△，在x=3附近的平均变化率为 △x k,=3+△-3=6十4.若Ax=号，则1=2+ △x =子6=4号6=6+=号由于 <k,<ka,所以在x=3附近的平均变化率最大. 13.ACD[A.在t时刻，为两图像的交点，即此时甲、乙 两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人 在时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率 不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、 ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 乙两人的平均变化率都是)-f),故C正确：D ta-t2 在]时间段，甲的平均变化率是)二，在[6， t2一t1 ]时间段，甲的平均变化率是，)-)，显然不相 t3-t2 等，故D正确.] 14.解析：会2=a。}@=ln(a+1)-na=h a+1-a =lh(1+日)因为a>1,所以1n(1+）<ln1+1D =n2K1,所以①错误，@正确，又当a>1时，1十随 着a的增大而减小，n(（1十)随着1十的减小而减 小， 所以会随着a的增大而减小，所以③错误.④正确 答案：②④ §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 1.A[因为p(10)=0.08(元/年)，由导数的实际意义可 知在第10个年头，物价以0.08元/年的速度上涨.] 2.D[由题意，根据导数的概念可得， fw十m△)-f）=m·im (xo十m△x)-f(x) lim △x mAx mfx)=1,所以fx,)=六] 8A[设切点为)，签=么中-立=2， △x 十△x) 当4x趋于0时会地于2红 由题意可知，切线斜率k=4,即f(x0)=2x。=4,∴.x0 =2, .切点坐标为(2,4)，.切线方程为y一4=4(x一2)，即 4x-y-4=0,故选：A.] 4 D lim)-f1-A2）=号imf1-A）-f △x→0 2△x -△x =-1, ·1imf1-)fD=-2,即f(1)=-2. △x→0 -△x 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率 k=f'(1)=-2.] 5.BD[若f(xo)=0,则函数f(x)在x。处的切线斜率为 0,故选项A错误；函数y=f(x)的切线与函数的图像可 以有两个公共点，例如函数f(x)=x3一3.x,在x=1处的 切线为y=一2，与函数的图像还有一个公共点（一2，一2） ,点，故选项B正确；因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 参考答案 为2x-y=0,所以f(1)=2,又1im1)-f0+2 △*0 2△x 1 m+△)-四=-合f1)=-1≠1，故选 △x 项C错误； 因为函数f(x)的导数(x)=x2-2,所以∫(1)=1一 2=一1，又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2)，斜率为-1， 所以切线方程为y一2=一(x一1)，化简得x十y一3=0， 故选项D正确.] 6.解析：由子数的概念和几何意义知一+f四 △x f=u9=-2 答案：一2 解折：ay证-签=区 △x 1 √xo十△x+ 云当虹超于0时是趋于2令 2√ 厅=号得1，此时=√=1，即函数y= 2√ 1 在点(1,1)处的导数为2 案 (1,1) 8.解：f(10)=1.5表示服药后10min时，血液中药物的质 量浓度上升的速度为1.5g/(mL·min),也就是说，如 果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓度 将上升1.5g/mL. f(100)=一0.6表示服药后100min时，血液中药物的 质量浓度下降的速度为0.6g/(mL·min).也就是说， 如果保持这一速度，每经过1mi,血液中药物的质量浓 度将下降0.6ug/mL. 9.B[如图所示，f(2)是函数f(x)的图像在x=2(即点 A)处切线的斜率k1,∫(3)是函数f(x)的图像在x=3 (即点B)处切线的斜率，3)二f②)=(3)-(2)= 3-2 k是割线AB的斜率 y 5 4 3 2 1 012345x 由图像知，0<k,<k4B<k1,即0<(3)<f(3)-f(2) <f(2).] 10.B[由题图可知，函数的增长越来越快，故函数在该点 的斜率越来越大，所以(2，f(2),(4,f(4))两点连线的 斜率f4)二2的大小在点(2，f(2)处的切线斜率 4-2 f(2)与在点(4，f(4)处的切线斜率f(4)之间，所以 f(2)af'(4).] ·5 课时作业马 11.解析：设切点为P(xo,yo),则△y=2(x。十△x)2十1- 2x8-1=4r。·△x+2(△x)2,所以A=4。十2△.当 △x △0时，一即了(=4红所以4红=4，所 以x=1,yo=3,将(1,3)代入直线4x-y十m=0,得m =-1. 答案：-1 12.解：△y=f(1+△x)-f(1)=√(1+△x)+1-2= √（△x)+2△x+2-√2， :Ay=A)+2△x+2-2 '△x △x (△x)2+2△x Ax[√（△x)+2△x+2+√2] △x十2 √（△x)十2△x十2十√2 当a虹总于0时是越于号，f”1- 21 13.解析：设切点为P(x0y), 则 △y=f(十△x)-f(x) △x △x =ax+A)-a=2a,十aAz Ax 当dr无限地近于零时，是无限趋近子2 ,直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切， .2axo=1. 又y%=azx6,z0-y-1=0, [2axo=1, 联立以上三式，得y=az, 解得a=子 x0-y%-1=0, 答案：} 14.解：：△y=f(xo十△x)-f(xo) =(x十△x)3十a(z。十△x)2-9(x十△x)-1-(x8十 a.x6-9z0-1) =(3z6+2ax-9)△x十(3x十a)(△x)2十（△x)3, Ag=3x+2a,-9+(3,+a)△x+(△x) △x 当△r无限趋近于零时，是无限趋近于3x十2a -9, 即(xo)=3x号十2ax-9, fx)=+号)广-g 当西=一号时了，)取最小值-9一号 ,斜率最小的切线与12x十y=6平行， 诚切线新率为-12一9一 =-12, 解得a=士3.又a<0,,a=-3.