第2章 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“平均变化率”与“瞬时变化率”核心知识点，通过登山、运动等实例引入，先建立平均变化率（含平均速度）的概念，用Δy/Δx表示，再通过Δx趋于0的过程过渡到瞬时变化率，为导数概念的理解搭建学习支架。 资料以问题驱动（如山坡陡峭程度）和实例分析（运动方程）为特色，通过题型分类（平均速度、瞬时速度等）与跟踪训练，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，课中辅助教师引导概念形成，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 【基础落实】 知识点一 1.　2.　 想一想 　提示：函数的平均变化率就是过（x1，f（x1）），（x2，f（x2））两点的直线的斜率. 知识点二 趋于0　 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.B　＝＝＝－1. 3.5　解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝（Δt）2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当Δt趋于0时，趋于5，故物体在3秒末的瞬时速度为5米/秒. 【典例研析】 【例1】　解：（1）物体在区间［0，］上的平均速度为 ＝＝＝. 物体在区间［，］上的平均速度为 ＝＝＝. （2） 由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在［0，］上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s（t）增大得越来越慢. 跟踪训练 　B　＝＝－1＝－. 【例2】　解：因为f（x）＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f（x1＋Δx）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2＋3x1－5） ＝2[（Δx）2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx. （1）当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21，则＝＝21. （2）在（1）中，＝，它表示抛物线上点A（4，39）与点B（5，60）连线的斜率. 跟踪训练 　解：当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7. 【例3】　解：∵＝＝ ＝3＋Δt. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 母题探究 1.解：求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度. ∵＝＝ ＝1＋Δt， ∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s. 2.解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝＝（2t0＋1）＋Δt. 即2t0＋1＝9，∴t0＝4， 即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 【例4】　解：＝＝＝＝，当Δx趋于0时，趋于－，所以函数在x＝2处的瞬时变化率为－. 跟踪训练 　C　函数y＝f（x）＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝（Δx）2＋3Δx＋3，当Δx趋于0时，趋于3，故f（x）在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C. 【例5】　解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx， ∴＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9×2－3.3＝－13.1. ②当Δx＝1时，＝－4.9×1－3.3＝－8.2. ③当Δx＝0.1时，＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79. ④当Δx＝0.01时，＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349. （2）当Δx越来越小时，函数f（x）在区间[1，1＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 跟踪训练 　解：∵山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝＝， 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝＝， ∴hBC＞hAB， ∴山路从B到C比从A到B陡峭. 随堂检测 1.D　由题意知，当x＝x0时，y＝f（x0）；当x＝x0＋Δx时，y＝f（x0＋Δx），故Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.故选D. 2.C　＝＝ ＝＝2Δx＋4. 3.＜＜　解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC， 由题图得kOA＜kAB＜kBC，∴＜＜. 4.1　解析：因为Δs＝7（t0＋Δt）2－13（t0＋Δt）＋8－7＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7（Δt）2，所以＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋于0时，物体在t0处的瞬时速度为1，即14t0－13＝1，所以t0＝1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 　通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想（数学抽象）. 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？ 【问题】　你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平均速度、平均变化率 1.平均速度 物体从某一时刻开始运动，设s（t）表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s（t0）变为s（t1），这段时间内物体的平均速度＝　　　　　. 2.平均变化率 对一般的函数y＝f（x）来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x1）变为f（x2），它的平均变化率＝　　　　　.通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f（x2）－f（x1）称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝　　　　. 　　提醒：（1）如果物体的运动规律是s＝s（t），那么函数s（t）在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝；（2）函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的量. 【想一想】 　函数的平均变化率有何几何意义？ 知识点二　瞬时变化率 对于一般的函数y＝f（x），在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f（x1）－f（x0），则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx　　　　时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 　　提醒：（1）对瞬时速度的两点说明：①瞬时速度即位移函数s（t）相对于时间t的瞬时变化率；②当Δt在变化中趋于0时，比值趋于一个确定的常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度；（2）平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：①区别，平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢；②联系，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在点x0处的瞬时变化率，它是一个固定值；（3）“Δx趋于0”的含义：Δx趋于0的距离要多近有多近，即｜Δx－0｜可以小于给定的任意正数，且始终Δx≠0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值.（　　） （2）在计算物体运动的瞬时速度时，h（t0＋Δt）＞h（t0）.（　　） （3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物理量.（　　） （4）瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.（　　） 2.如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是（　　） A.1　　　　　　　B.－1 C.2 D.－2 3.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是　　　　米/秒. 题型一｜平均变化率 角度1　求物体运动的平均速度 【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈［0，］. （1）分别求该物体在区间［0，］和［，］上的平均速度，； （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算时间的改变量t2－t1； （2）再计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （3）得平均速度＝. 【跟踪训练】 　一质点按函数s（t）＝做直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为（　　） A.－1　　　　　　B.－ C.－2 D.2 角度2　求函数的平均变化率 【例2】　已知函数f（x）＝2x2＋3x－5. （1）当x1＝4，且Δx＝1时，求函数y的改变量Δy和平均变化率； （2）求（1）中的平均变化率的几何意义. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率＝. 【跟踪训练】 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率. 题型二｜瞬时变化率 角度1　求物体运动的瞬时速度 【例3】　某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，试求该物体的初速度. 2.（变设问）在本例条件下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 通性通法 　　求物体在t0时刻的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间的改变量Δt趋于0时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度. 角度2　求函数的瞬时变化率 【例4】　求函数y＝在x＝2处的瞬时变化率. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求瞬时变化率的三个步骤 （1）求改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化量； （3）求瞬时变化率，当Δx趋于0时，趋于的常数即为瞬时变化率. 【跟踪训练】 已知函数y＝f（x）＝x3，则用平均变化率求f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（　　） A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 题型三｜平均变化率的意义 【例5】　已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.一般地，当Δx变化时，函数f（x）在[x0，x0＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率是变化的，当Δx越来越小时，f（x）在某区间上的平均变化率呈现出一定的规律性，如果平均变化率随Δx趋于0，此时平均变化率的值也就趋于某一个确定的值（即瞬时变化率）. 2.可以刻画函数在某段上变化的快慢，而当Δx趋于0时，的极限值可以刻画函数在某点处的变化快慢.具体到实际问题当中，可以刻画山的陡峭程度等. 【跟踪训练】 　如图是一段登山路线图，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 1.我们常用函数y＝f（x）的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝（　　） A.f（x0＋Δx）　　 B.f（x0）＋Δx C.f（x0）·Δx D.f（x0＋Δx）－f（x0） 2.已知函数y＝f（x）＝2x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1＋Δx，－2＋Δy），则＝（　　） A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2（Δx）2 3.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，，，则三者的大小关系为　　　　. 4.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§1　1.1　1.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $