第2章 第1节 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 基础过关练 题组一　平均变化率 1.(2025河南商丘部分学校开学考试)函数f(x)=x2+2x-1从x=0到x=Δx(Δx>0)的平均变化率为(　　) A.Δx-2　　　　　B.2Δx-1　　　　　 C.Δx+2　　　　　D.2Δx+2 2.(2024河南郑州期末)一个物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为(　　) A.2　　　　　B.1　　　　　C.-1　　　　　D.-2 3.(多选题)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,,,则下列说法正确的是(　　) A.<　　　　　B.=　　　　　C.>　　　　　D.< 4.(2025河南南阳六校期中)2024年,某科技公司研发的智能扫地机器人的销量持续增长.已知该产品2024年前七个月的月销量y(单位:万台)与月份t的函数关系为y=f(t)=2t2+3t,则1月份到3月份月销量的平均增长率为　　　　　万台/月.  题组二　瞬时变化率 5.(2025河南豫东名校期末)一质点做直线运动,其运动的位移x(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为x=t3+2t,则质点在t=3 s时的瞬时速度为(　　) A.17 m/s　　　　B.15 m/s　　　　C.13 m/s　　　　D.11 m/s 6.(多选题)(2025河南青桐鸣期中联考)已知某物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s(t)=则下列说法正确的是(　　) A.该物体在2 s到4 s这段时间内的平均速度为3 m/s B.该物体在t=3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s C.该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为1 m/s D.该物体在t=5 s这个时刻的瞬时速度为8 m/s 7.(2023山东枣庄滕州一中质检)日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100),则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的　　　　倍.  8.航天飞机升空后一段时间内,其高度与时间满足h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中高度h的单位为m,时间t的单位为s. (1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么? (2)求第2 s内的平均速度; (3)求第2 s末的瞬时速度. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C 2.A 3.AD 5.D 6.ABC 1.C　由已知得,平均变化率为 = ==Δx+2. 2.A　Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1, 因为该物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,所以=18+m=20,解得m=2. 方法总结　要求物体在一段时间里的平均速度,就要知道物体在这段时间里走过的路程,用路程除以时间即得平均速度. 3.AD　设直线OA,AB,BC的斜率分别为kOA,kAB,kBC,由题意得=kOA,=kAB,=kBC,由题图可得kOA<kAB<kBC,∴<<. 4.答案　11 解析　由题意可得,1月份到3月份月销量的平均增长率为 ==11(万台/月). 5.D　由已知得, = =11+3Δt+(Δt)2, 当Δt趋于0时, 11+3Δt+(Δt)2趋于11,所以质点在t=3 s时的瞬时速度为11 m/s. 6.ABC　对于A,该物体在2 s到4 s这段时间内的平均速度为==3(m/s),A正确; 对于B,该物体在t=3 s这个时刻的瞬时变化率为=3+Δt,当Δt趋于0时, 3+Δt趋于3,所以该物体在t=3 s这个时刻的瞬时速度为3 m/s,B正确; 对于C,该物体在0 s到8 s这段时间内的平均速度为==1(m/s),C正确; 对于D,Δs=s(5+Δx)-s(5)=0,所以该物体在t=5 s这个时刻的瞬时速度为0 m/s,D错误. 7.答案　25 解析　当x=99时,所需费用的瞬时变化率为==, 当Δx趋于0时,趋于5 284,即此时的瞬时变化率为5 284.当x=95时,所需费用的瞬时变化率为==, 当Δx趋于0时,趋于,即此时的瞬时变化率为. 5 284÷=25,所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍. 8.解析　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度; h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度; h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度. (2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为= =170(m/s). (3)Δh=h(2+Δt)-h(2)=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)=5(Δt)3+60(Δt)2+225Δt, 所以=5(Δt)2+60Δt+225, 当Δt趋于0时,5(Δt)2+60Δt+225趋于225, 因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s. 易错警示　解题时要注意t秒末与t秒初的区别,求t秒末的瞬时速度就是求t秒时的瞬时速度,而求t秒初的瞬时速度则是求(t-1)秒时的瞬时速度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $