第1章 3 培优课 数列的综合问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

题型一｜等差数列与等比数列的综合问题 【例1】　记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1. （1）证明：{an}是等差数列； （2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决等差、等比数列的综合问题应注意四个方面 （1）等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用； （2）对于解答题注意基本量及方程思想； （3）注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题； （4）当题中出现多个数列时，既要纵向考虑单一数列的项与项之间的关系，又要横向考虑各数列之间的内在联系. 【跟踪训练】 已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 题型二｜新定义问题 【例2】　已知数列{an}为“二阶等差数列”，即当an＋1－an＝bn（n∈N＋）时，数列{bn}为等差数列.若a1＝25，a3＝67，a5＝101. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的最大值. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决数列中新定义问题的一般流程 （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论； （3）通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差、等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案； （4）联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. 【跟踪训练】 定义函数f（x）＝{x·{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x∈（0，n]（n∈N＋）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则＋＋…＋＝　　　　. 题型三｜数列与不等式的综合问题 【例3】　（2023·天津高考19题）已知数列{an}是等差数列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4. （1）求{an}的通项公式和ai； （2）已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k－1≤n≤2k－1，则bk＜an＜bk＋1. ①当k≥2时，求证：2k－1＜bk＜2k＋1； ②求{bn}的通项公式及其前n项和. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【例4】　（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 【跟踪训练】 若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N＋都成立的最小正整数m. 提示：完成课后作业　第一章　培优课 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　数列的综合问题 【典例研析】 【例1】　解：（1）证明：由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n， ① 所以2Sn＋1＋（n＋1）2＝2an＋1（n＋1）＋（n＋1）， ② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1（n＋1）－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列{an}的公差为1. 由＝a4a9，得（a1＋6）2＝（a1＋3）（a1＋8），解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝－， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 跟踪训练 　解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1， 即a1＝b1. （2）由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－1）a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2，3，4，…，10，共9个数，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9. 【例2】　解：（1）由定义知，b1＝a2－a1，b2＝a3－a2，b3＝a4－a3，b4＝a5－a4， 得b1＋b2＝a3－a1＝42，b3＋b4＝a5－a3＝34. 设数列{bn}的公差为d，b3＋b4－（b1＋b2）＝4d＝－8，即d＝－2，易得b1＝22，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－2n＋24. （2）由题知，b1＝a2－a1，b2＝a3－a2，b3＝a4－a3，b4＝a5－a4，…，bn－1＝an－an－1， 累加可得，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝bn－1＋bn－2＋…＋b1＋a1＝＋25＝－n2＋25n－24＋25＝－n2＋25n＋1（n≥2）. 又当n＝1时，a1＝25也满足上式，所以an＝－n2＋25n＋1. 由于二次函数y＝－x2＋25x＋1在x＝时取得最大值， 所以数列{an}的最大值为a12＝a13＝157. 跟踪训练 　　解析：由题意，a1＝1，当x∈（n，n＋1]时，{x}＝n＋1，x·{x}∈（n2＋n，n2＋2n＋1]，{x·{x}}的取值依次为n2＋n＋1，n2＋n＋2，…，n2＋2n＋1，共n＋1个，即an＋1＝an＋n＋1，由此可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＝2（ －），所以＋＋…＋＝2［（ 1－）＋（ －）＋…＋（ －）］＝2（ 1－）＝. 【例3】　解：（1）设等差数列{an}的公差为d. 由得解得 则数列{an}的通项公式为an＝3＋2（n－1）＝2n＋1. 所以ai＝ ＝＝3×22n－2. （2）①证明：由（1）知an＝2n＋1，则数列{an}是递增数列. 所以当k≥2，2k－1≤n≤2k－1时，有2×2k－1＋1≤an≤2（2k－1）＋1，即2k＋1≤an≤2k＋1－1. 又对于任意k∈N*，当2k－1≤n≤2k－1时，有bk＜an＜bk＋1，所以bk＋1＞2k＋1－1，bk＜2k＋1. 由bk＋1＞2k＋1－1，得bk＞2k－1. 所以当k≥2时，2k－1＜bk＜2k＋1. ②由①可知1＜b1＜3，3＜b2＜5，7＜b3＜9，15＜b4＜17， 据此猜测bn＝2n. 否则，若数列的公比q＞2，则bn＝b1qn－1＞b1×2n－1＞2n－1. 注意到2n－1－（2n－1）＝1－2n－1，则2n－1－（2n－1）＞0不恒成立，即2n－1＞2n－1不恒成立， 此时无法保证2n－1＜bn. 若数列的公比q＜2，则bn＝b1qn－1＜b1×2n－1＜3×2n－1. 注意到3×2n－1－（2n＋1）＝2n－1－1，则2n－1－1＜0不恒成立，即3×2n－1＜2n＋1不恒成立， 此时无法保证bn＜2n＋1. 综上，数列的公比为2，则数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2. 【例4】　解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为bn＝且S4＝32，T3＝16， 所以 解得 所以an＝5＋2（n－1）＝2n＋3. （2）证明：由（1）可知，Sn＝＝＝n2＋4n. 由an＝2n＋3，得bn＝ 若n为偶数，则 Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝－3n＋2×＝n2＋n. 所以当n＞5时，Tn－Sn＝n2＋n－（n2＋4n）＝n2－n＝n（n－1）＞0， 即Tn＞Sn. 若n为奇数，则n－1为偶数，则 Tn＝Tn－1＋bn＝（n－1）2＋（n－1）＋2n＋3－6＝n2＋n－5. 所以当n＞5时， Tn－Sn＝n2＋n－5－（n2＋4n）＝n2－n－5＝（n2－3n－10）＝（n＋2）（n－5）＞0， 即Tn＞Sn. 综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn. 跟踪训练 　解：（1）设{an}的公差为d（d≠0）， 则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d. 因为S1，S2，S4成等比数列， 所以a1·（4a1＋6d）＝（2a1＋d）2. 所以2a1d＝d2. 因为d≠0，所以d＝2a1. 又因为S2＝4， 所以a1＝1，d＝2， 所以an＝2n－1. （2）因为bn＝＝＝（ －）， 所以Tn＝（ 1－＋－＋…＋－） ＝（ 1－）＜. 要使Tn＜对所有n∈N＋都成立， 则有≥，即m≥30. 因为m∈N＋， 所以m的最小值为30. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $