3.2 等比数列的前n项和课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

3.2 等比数列的前n项和 1.数列的定义 按一定次序排列的一列数. 2.等比数列的定义: 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的比值都 是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为 等比数列的公比,公比通常用字母q表示(. 3.等比数列的通项公式: 4.等比中项 复习回顾 练一练 1.已知等比数列…的第四项等于( ) A. -24 B. 0 C. 12 D. 24 【解析】由题意,解得或,当 时,故舍去; 所以故等比数列前3项为故第四项为-24. 复习回顾 练一练 1.在等比数列中,,,则= _. 【解析】∵,∴, ∴. 注意:等比数列的通项公式的变形运用 复习回顾 学习目标 掌握等比数列的前项和的求和公式. 掌握等比数列的前项和的简单应用. 理解等比数列的前项和公式的推导方法及过程. 在印度有一个古老的传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨 班 达依尔。 国王问他想要什么,他对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!” 国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢? 情境导入 棋盘上的麦粒问题 问题1:每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?若是,首项及公比为几?并写出这个等比数列的通项公式. 答:是等比数列,首项是1,公比是2,共64项.通项公式为. 问题2:请将发明者的要求表述成数学问题. 答:求这个等比数列的前64项的和,即 问题3:回顾等差数列前项和公式,对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法进行求和呢? 答:在等比数列中(前提),,所以 对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法,而是要挖掘此方法的本质, 即求和的本质. 情境导入 棋盘上的麦粒问题 ① 由①式,可得 ② ② - ①,得 . 而可不是一个小数目!利用计算器计算,得 18446744073709551615(粒). 情境导入 棋盘上的麦粒问题 8 对首项为,公比为的等比数列,设是等比数列的前项和,即 ① ①式的两边同乘 ② ①-②,得 即 . 当时,等比数列前项和公式为 . 很明显,当时,每一项都等于,由①式可得. 新课探究 推导方法:错位相减法 从而,等比数列的前项和公式为 新课探究 1.(1)已知等比数列中,,.求 解析:(1)由等比数列的前项和公式,得 (2)求等比数列…的前10项的和. 解析:因为公比,所以, . 例题解析 2.等比数列的首项( ) A. B. C. D. 解: 故选C. 例题解析 3.等比数列中,公比为q,前n项和为Sn. (1)若a1=-8,a3=-2,求S4; (2)若S6=315,q=2,求a1. 解析:(1)由题意得,所以或. 当时,;当时,. 综上,. (2),解得. 例题解析 4.(2020•浙江普通高校招生学业水平考试)设等比数列的前项和若,则 , . 解:因为所以解得 所以. 例题解析 5.已知数列为等比数列,且则等于( ) A.15 B.17 C.19 D.21 解析:因为所以 解得. 所以, 故选B. 例题解析 6.等比数列的前项和为,,,则公比 A. B. C. D. 解析:因为,所以,所以 两式相除,得,即,所以,所以. 故选D. 例题解析 $$