第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二课时　等差数列的性质 【基础落实】 知识点一 1.dn＋（a1－d）　等间隔的点　正整数　公差d　3.递增数列　递减数列　常数列 知识点二 1.等差数列　等差中项　 2.（1）am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 3.30　解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 【典例研析】 【例1】　解：数列{an}是首项为18，公差为－3的等差数列， 图象如图.通过图象上所有点的直线的斜率k＝－3. 跟踪训练 　解：（1）∵a＋1，a－1，2a＋3是等差数列{an}的前三项， ∴2（a－1）＝（a＋1）＋（2a＋3），解得a＝－6， ∴a1＝－5，a2＝－7，a3＝－9， ∴d＝－2，∴an＝－5－2（n－1）＝－2n－3. （2）由（1）知d＝－2＜0.∴{an}为递减数列. 【例2】　解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 跟踪训练 　A　由题知a，b的等差中项为（ ＋）＝（－＋＋）＝. 【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）因为a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. （2）设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则（an＋1＋bn＋1）－（an＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝（a2＋b2）－（a1＋b1）＝100－（25＋75）＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. 跟踪训练 1.C　由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3.所以{an}是公差为3的等差数列.又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6（a5＋a7＋a9）＝log6（3a7）＝log636＝2. 2.35　解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5），所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 【例4】　B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即 解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升. 跟踪训练 　2031　解析：设2023年为第1年，第n年该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋（n－1）d＝50n＋400.令50n＋400＞820，解得n＞.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米. 随堂检测 1.A　由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A. 2.A　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4. 3.C　因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 4.1　解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1. 5.－11　解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的性质 1.掌握等差数列的通项与一次函数的关系（数学抽象）. 2.掌握并应用等差中项（数学运算）. 3.了解等差数列的性质及应用（数学运算）. 如图，从下面数第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）从上面数第二层有几个球？ （2）每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差数列与一次函数的关系 1.等差数列的图象 由an＝a1＋（n－1）d＝　　　　　　，可知其图象是直线y＝dx＋（a1－d）上的一些　　　　，这些点的横坐标是　　　　　，其中　　　　　是该直线的斜率. 2.等差数列通项公式的推广及几何意义 （1）an＝am＋（n－m）d（m，n∈N＋）； （2）d＝（m，n∈N＋，且m≠n），其几何意义是过两点（n，an）与（m，am）连线的斜率. 3.等差数列的单调性 对于an＝dn＋（a1－d）， （1）当d＞0时，数列{an}为　　　　　； （2）当d＜0时，数列{an}为　　　　　； （3）当d＝0时，数列{an}为　　　　　. 知识点二　等差中项及其推广结论 1.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成　　　　　　　，那么A叫作a与b的　　　　　，且A＝　　　　　　. 2.等差中项的推广 （1）等差数列“下标和”的性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则　　　　　.特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N＋），则有　　　　　　； （2）等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 知识点三　等差数列的性质 1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N＋） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 2.由数列{an}是公差为d的等差数列，则可衍生其他数列 （1）从等差数列{an}中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列，即在等差数列中，等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋（n－1）t，…为等差数列，公差为td； （2）等差数列{an}中，若am＝n，an＝m（m≠n，m，n∈N＋），则am＋n＝0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.（　　） （2）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（　　） （3）若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.（　　） （4）若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n＞1，且n∈N＋.（　　） 2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A.26　　　　 　　　　 B.29 C.39 D.52 3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝　　　　. 题型一｜等差数列的函数特性 【例1】　画出数列an＝的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，那么数列{an}上任一有序数对（n，an）对应的点都在直线y＝dx＋b上，且数列{an}的公差d等于该直线的斜率. 【跟踪训练】 已知等差数列{an}的前三项依次为a＋1，a－1，2a＋3，求： （1）数列的通项公式； （2）判断数列{an}的增减性. 题型二｜等差中项的应用 【例2】　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法　　由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N＋），即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.在求等差数列的项时，可利用上述性质. 【跟踪训练】 若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　） A.　 　B.　 　C.　 　D. 题型三｜等差数列性质的应用 【例3】　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n－1） （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（　　） A.0 B.37 C.100 D.－37 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 等差数列运算的两种常用方法及思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d的值，然后求其他量； （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N＋），则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 【跟踪训练】 1.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）＝（　　） A.－2　　　　　　　　B.－ C.2 D. 2.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　. 题型四｜等差数列的实际应用 【例4】　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为（　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法1.解答数列实际应用问题的基本步骤 2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 【跟踪训练】 假设某市2022年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房的面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在　　　　年新建住房的面积开始大于820万平方米. 1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝（　　） A.5 B.6 C.8 D.10 2.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　） A.4 B. C.－4 D.－ 3.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an，…组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 4.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　　　　. 5.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是　　　　℃. 提示：完成课后作业　第一章　§2　2.1　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $