第2章 5 简单复合函数的求导法则(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦简单复合函数（形如f(ax+b)）的求导法则，从利润与销售价格的实际问题引入复合函数概念，推导求导法则，通过例题（如y=ln(2x+1)求导）和练习巩固，拓展函数性质与导数关系，构建完整学习支架。 特色在于情境化引入培养数学眼光，问题链引导数学思维，实例应用（如潮水高度导数的实际意义）强化数学语言表达。课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升数学运算与应用能力。

§5　简单复合函数的求导法则 课标要求 能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算）. 　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x. 　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2. 　　上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－9x2. 【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？ （2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g'（x）的关系. 知识点　复合函数及求导法则 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝φ（x）＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f（u）和u＝φ（x）的复合函数，记作y＝　f（φ（x））　，其中　u　为中间变量. 2.简单复合函数的求导法则 y'x＝[f（φ（x））]'＝　f'（u）φ'（x）　，其中u＝φ（x）.特别地，当u＝ax＋b时，y'x＝　a·f'（u）　. 　　提醒：复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数. 【想一想】 1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数. 2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）＝2x2－是复合函数.（　×　） （2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（　√　） （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（　√　） 2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'＝（　　） A.－5　　　　　　　　　　 B.－3 C.－4 D.－ 解析：B　f'（x）＝－2sin 2x－3，f'＝－2sin π－3＝－3. 3.曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率是　－2e　. 解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e. 题型一｜简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝； 解：（1）令u＝1－3x， 则y＝＝u－4， 所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3. 所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝. （2）y＝cos x2； 解：（2）令u＝x2，则y＝cos u， 所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. （3）y＝log2（2x＋1）. 解：（3）令u＝2x＋1，则y＝log2u， 所以y'x＝y'u·u'x＝＝. 通性通法 求复合函数的导数的步骤 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝； 解：（1）函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋1的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（ ）'·（3x＋1）'＝ （ 2）'·3＝－3＝－3（3x＋1. （2）y＝（1－2x）3； 解：（2）函数y＝（1－2x）3可以看作函数y＝u3和u＝1－2x的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（u3）'·（1－2x）'＝－6u2＝－6·（1－2x）2. （3）y＝ln（2x＋1）； 解：（3）函数y＝ln（2x＋1）可以看作函数y＝ln u和u＝2x＋1的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（ln u）'·（2x＋1）'＝＝ . （4）y＝cos； 解：（4）函数y＝cos可以看作函数y＝cos u和u＝的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（cos u）'·（ ）'＝－sin u ＝－sin. （5）y＝22x＋1. 解：（5）函数y＝22x＋1可以看作函数y＝2u和u＝2x＋1的复合函数， 所以y'x＝y'u·u'x＝（2u）'·（2x＋1）'＝2·2u·ln 2＝2·22x＋1·ln 2＝22x＋2·ln 2. 题型二｜复合函数导数的应用问题 【例2】　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3sin（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. 解：设f（x）＝3sin x，x＝φ（t）＝t＋， 所以s'（t）＝f'（x）φ'（t）＝3cos x· ＝cos， 将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝cos＝（m/h）. s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 通性通法 　　将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况. 【跟踪训练】 某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的关系可近似地表示为y＝f（t）＝，则在时刻t＝41 min的降雨强度为（　　） A.2 mm/min　　　　　　　B.4 mm/min C. mm/min D. mm/min 解析：D　f'（t）＝·[10（t－1）]'＝，∴f'（41）＝＝，故选D. 题型三｜与复合函数有关的切线问题 【例3】　（1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　A　） A. B.2 C.3 D.0 解析：（1）设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y'＝，∴当x＝x0时，y'＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. （2）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　2　. 解析：（2）令y＝f（x），则曲线y＝eax在点（0，1）处的切线的斜率为f'（0），又∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴f'（0）＝2.∵f（x）＝eax，∴f'（x）＝（eax）'＝eax·（ax）'＝aeax，∴f'（0）＝ae0＝a，故a＝2. 【母题探究】 1.（变条件、变设问）本例（1）的条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值. 解：由题意可知，设切点P（x0，y0）， 则当x＝x0时，y'＝＝2， ∴x0＝1，即切点P（1，0）， ∴＝2，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 当m＝8时，直线2x－y＋8＝0与曲线y＝ln（2x－1）相离，符合题意； 当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln（2x－1）相交，不符合题意，舍去.故m＝8. 2.（变设问）本例（2）中的问题改为“求曲线的切线与坐标轴围成的面积”. 解：由题意可知，切线方程为y－1＝2x. 即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1； 令y＝0得x＝－. ∴曲线的切线与坐标轴围成的面积为S＝××1＝. 通性通法 解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法 　　正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 【跟踪训练】 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是　2x－y＝0　. 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x. 又f（x）为偶函数，f（x）＝f（－x）＝ex－1＋x. 所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x. 因此，当x＞0时，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为f'（1）＝2， 所以切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0. 1.已知f（x）＝sin 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A.2cos 2x＋2e2x B.cos 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x 解析：A　因为f（x）＝sin 2x＋e2x，所以f'（x）＝2cos 2x＋2e2x.故选A. 2.设f（x）＝ln（3x＋2）－3x2，则f'（0）＝（　　） A.1　 B. C.－1　 D.－2 解析：B　f'（x）＝－6x，故f'（0）＝－0＝. 3.设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f'（1）＝　2　. 解析：法一　令ex＝t，则x＝ln t.∵f（ex）＝x＋ex，∴f（t）＝ln t＋t，∴f'（t）＝＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2. 法二　求导，得[f（ex）]'＝f'（ex）ex＝1＋ex，令x＝0，得f'（e0）＝f'（1）＝1＋e0＝2. 4.已知函数f（x）的导函数f'（x），若f（x）＝f'sin 3x＋cos 3x，求f'的值. 解：∵f（x）＝f'sin 3x＋cos 3x，∴f'（x）＝f'·3cos 3x－3sin 3x，令x＝可得f'＝f'×3cos －3sin ＝f'－3×，解得f'＝3. 1.奇偶性 （1）若函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝f'（x），所以导函数f'（x）为偶函数. 如图①所示，曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f'（－a）＝f'（a）. 于是我们得到：奇函数的导数是偶函数. 例如，y＝sin x是奇函数，y'＝cos x是偶函数. （2）若函数f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝－f'（x），所以导函数f'（x）为奇函数. 如图②所示，曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g'（a）＝－g'（－a）. 于是我们得到：偶函数的导数是奇函数. 例如，y＝x2是偶函数，y'＝2x是奇函数. 2.对称性 （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（a＋x）＝f（a－x），两边对x求导，得f'（a＋x）＋f'（a－x）＝0，所以导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称. （2）若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，两边对x求导，得f'（a＋x）＝f'（a－x），所以导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 于是有：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 3.周期性 若函数f（x）为周期函数，则f（x＋T）＝f（x）（T≠0）.两边对x对导，得f'（x＋T）＝f'（x）.所以导函数f'（x）仍为周期函数. 1.设f（x）＝log3（x－1），则f'（2）＝（　　） A.ln 3　　　　　　　　　 B.－ln 3 C. D.－ 解析：C　f'（x）＝，故f'（2）＝. 2.（2025·嘉兴期中）下列选项正确的是（　　） A.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 B.若y＝cos 3x，则y'＝－sin 3x C.若y＝e2x－2，则y'＝2e2x D.若y＝xsin 2x，则y'＝2xcos 2x 解析：A　y'＝cos x2×（x2）'＝2xcos x2，A正确；y'＝－sin 3x×（3x）'＝－3sin 3x，B错误；y'＝e2x－2×（2x－2）'＝2e2x－2，C错误；y'＝sin 2x＋2xcos 2x，D错误. 3.已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（　　） A.－4 B.－2 C.2 D.4 解析：B　由题得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f（x）＝xex－2，可得f（2）＝2×e2－2＝2，所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B. 4.曲线y＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D.1 解析：A　当x＝0时，y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x＝y＝，∴A，如图所示，则围成的三角形的面积为××1＝. 5.〔多选〕已知曲线y＝f（x）＝2（x＋1）3＋1，则曲线过点P（0，3）的切线方程为（　　） A.6x＋y－3＝0 B.6x－y＋3＝0 C.5x－2y＋6＝0 D.3x－2y＋6＝0 解析：BD　设切点坐标为（x0，2（x0＋1）3＋1），因为f'（x）＝6（x＋1）2，所以切线斜率k＝f'（x0）＝6（x0＋1）2，切线方程为y－[2（x0＋1）3＋1]＝6（x0＋1）2（x－x0）.切线过点P（0，3），代入得3－[2（x0＋1）3＋1]＝6（x0＋1）2（－x0），可化简为2＋3＝0，解得x0＝0或x0＝－，则曲线过点P（0，3）的切线方程为6x－y＋3＝0或3x－2y＋6＝0. 6.〔多选〕曲线y＝e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（　　） A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4 C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4 解析：AB　y'＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），∴当x＝0时，y'＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 7.函数y＝sin 2xcos 3x的导数是　y'＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x　. 解析：∵y＝sin 2xcos 3x，∴y'＝（sin 2x）'cos 3x＋sin 2x（cos 3x）'＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. 8.若f（x）＝log3（2x－1），则f'＝　　. 解析：∵f（x）＝log3（2x－1），∴f'（x）＝，∴f'＝. 9.若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标为　（－ln 2，2）　. 解析：设P（x0，y0）.∵y＝e－x，∴y'＝－e－x.∴曲线y＝e－x在点P处的切线的斜率k＝－＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为（－ln 2，2）. 10.已知直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln（x＋1）的切线，求b的值. 解：函数y＝ln x＋2的导函数为y'＝，函数y＝ln（x＋1）的导函数为y'＝. 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln（x＋1）上的切点横坐标分别为m，n， 则该直线方程可以写成y＝·（x－m）＋ln m＋2，也可以写成y＝（x－n）＋ln（n＋1）. 整理后对比得 解得 故b＝1－ln 2. 11.y＝x2与y＝ln（x＋a）有一条斜率为2的公切线，则a＝（　　） A.－ln 2 B.ln 2 C.－ln 2 D.ln 2 解析：B　由y＝x2得y'＝2x＝2⇒x＝1，由点斜式得切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1， 对曲线y＝ln（x＋a）求导，得y'＝＝2⇒x＝－a，代入y＝ln（x＋a），得y＝－ln 2，将代入y＝2x－1，得－ln 2＝2－1⇒a＝ln 2.故选B. 12.〔多选〕已知f（x）（x∈R）是奇函数，f（x＋2）＝f（－x）且f（1）＝2，g（x）是f（x）的导函数，则（　　） A.f（2 026）＝2 B.g（x）的一个周期是4 C.g（x）是偶函数 D.g（1）＝1 解析：BC　因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），f（0）＝0，所以f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2 026）＝f（4×506＋2）＝f（2）＝0，A错误；因为f（x＋4）＝f（x），所以f'（x＋4）＝f'（x），即g（x＋4）＝g（x），所以g（x）的一个周期为4，B正确；由f（－x）＝－f（x），得－f'（－x）＝－f'（x），即－g（－x）＝－g（x），所以g（－x）＝g（x），所以g（x）是偶函数，C正确；由f（x＋2）＝f（－x），得f'（x＋2）＝－f'（－x），即g（x＋2）＝－g（－x），令x＝－1，则g（1）＝－g（1），所以g（1）＝0，D错误. 13.如果函数y＝，那么y'＝　　. 解析：y'＝＝ ＝＝. 14.设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； （2）求S（t）的解析式. 解：（1）∵y＝e－x， ∴y'＝（e－x）'＝－e－x. ∴当x＝t时，y'＝－e－t. 故切线l的方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. （2）令y＝0，得x＝t＋1； 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝（t＋1）e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）. 15.设f0（x）＝sin 2x＋cos 2x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1'（x），…，f1＋n（x）＝fn'（x），n∈N，则f2 024（x）＝（　　） A.22 024（cos 2x＋sin 2x） B.22 024（－cos 2x－sin 2x） C.22 024（cos 2x－sin 2x） D.22 024（－cos 2x＋sin 2x） 解析：A　∵f0（x）＝sin 2x＋cos 2x，∴f1（x）＝f0'（x）＝2（cos 2x－sin 2x），f2（x）＝f1'（x）＝22（－sin 2x－cos 2x），f3（x）＝f2'（x）＝23（－cos 2x＋sin 2x），f4（x）＝f3'（x）＝24（sin 2x＋cos 2x），通过以上可以看出fn（x）满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4（x）＝24fn（x）.故f2 024（x）＝f506×4（x）＝（24）506f0（x）＝22 024·（cos 2x＋sin 2x），故选A. 16.（1）已知f（x）＝eπxsin πx，求f'（x）及f'； （2）在曲线g（x）＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程. 解：（1）∵f（x）＝eπxsin πx， ∴f'（x）＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx（sin πx＋cos πx）. ∴f'＝π＝π. （2）设切点坐标为P（x0，y0）， 由题意可知g'（x0）＝0. 又g'（x）＝， ∴g'（x0）＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $