第2章 6.3 函数的最值(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

6.3　函数的最值

课标要求

　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：

【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？

（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？

知识点　函数的最值

1.最大值点与最小值点

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　不超过f（x0）　.

函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　不低于f（x0）　.

2.最大值与最小值

最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求函数的最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有　导数零点　与　区间端点　的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值.

函数的最大值和最小值统称为　最值　.

　　提醒：函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；②在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值至多一个；③函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.

【想一想】

在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？

提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（　√　）

（2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（　×　）

（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（　×　）

2.函数f（x）＝x－sin x，x∈的最大值是（　　）

A.π－1　　　　　　　 B.－1

C.π D.π＋1

解析：C　∵f'（x）＝1－cos x，当x∈时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）的最大值为f（π）＝π－sin π＝π，故选C.

3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为　　，最小值为　－　.

解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0，得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3，又f（－4）＝－，f（4）＝－，故f（x）的最大值为f（－1）＝，最小值为f（－4）＝－.

题型一｜求函数的最值

角度1　不含参数的最值问题

【例1】　（1）y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为（　C　）

A. B.2

C.－1 D.4

解析：　y'＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），令y'＝0，解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C.

（2）已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R.

①求f（x）的单调区间；

②在x∈[－，3]时，求f（x）的最大值与最小值.

解：①f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），

当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1）.

②由①知x∈[－，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的极小值为f（1）＝－2，

又f（－）＝0，f（3）＝18.

所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2.

通性通法

求函数最值的四个步骤

（1）求函数的定义域；

（2）求f'（x），解方程f'（x）＝0；

（3）列出关于x，f（x），f'（x）的变化表；

（4）求极值、端点值，确定最值.

提醒：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.

角度2　含参数的最值问题

【例2】　已知函数f（x）＝（x－k）ex.