第2章 6.3 函数的最值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

参考答案 当子<x<1时gx)<0,g《x)在（合1）上单调递 减.·g1<gx)<g(合）即0KKx,)<名数选项 C正确，选项D错误.故选：AC.] 11.D[因为f(x)=a(x-a)'(x-b),所以f(x)=a(x a)(3.x-a-2b), 因为x=a为f(x)的极大值点，所以 a a十2b或 3 {a脚90 a<0 3 la<bla>b 12.解：(1)：f（x)=alnx十bx2十x, ∴f(x)=a+2bx+1. 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0, a+2b+1=0 号中6叶1=0解方程组得a=一号6一合， (2)由1可知)=-号n一日r十， 且画款)=一号n一名十x的定义线是0，十 3 ∞)， f(x)=- 2 3x+1=--1)(x-2 3x 当x∈(0,1)时，f(x)<0;当x∈(1,2)时，f(x)>0: 当x∈(2，十∞)时，(x)<0;所以x=1是函数f(x)的 极小值点，x=2是函数f(x)的极大值，点 13.B[由f(x)=3x2-4=0,得x=±2 ;由f(x)= 3x-4<0,得- 2 2 < :由f(x)=3x2-4>0, 得x< 2或x> 以（后）上米 调递减，在0，一 所以f(x)的极大值点为x= 2 ,极小值点为x= √3 二，函数y=f(x)的图像如图所示 故<-号<-1>0.为月 2 <0,f(2)=a >0,所以x1<2.] 14.解：(1)由已知，f'(x)=3ax2十2bx十c,且f'(1)= f'(-1)=0,得3a十2b十c=0,3a-2b十c=0. 又f(1)=-1,所以a十b+c=-1. 所以a=6=0c=- ·6 课时作业兰 2)由1知)=- 所以f()=号2-=一101 当x<-1或x>1时，f'(x)>0;当-1<x<1时， f(x)<0.所以函数f(x)在（一∞，一1）和(1，十∞)上 是增函数，在（一1,1）上为减函数. 所以当x=一1时，函数取得极大值，且极大值为f(一 1)=1;当x=1时，函数取得极小值，且极小值为f(1) =-1. 6.3函数的最值 1.C[由题中函数图像可知，函数只有一个极小值点，且 函数在此处取得最小值，没有最大值.] 2.A[令F(x)=f(x)-g(x),则F'(x)=f(x)-g'(x), 又f(x)<g'(x),故F(x)<0,F(x)在[a,b]上单调 递减，.F(x)mx≤F(a)=f(a)-g(a).] 3.A[in (os-sin) ecos,当0<≤受时，f20f)在[0受] 是增函数.“fx)的最大值为f(受)-名cf(x)的 最小值为0)=子.] 4.B[因为函数f(x)定义域为(0，十∞)，所以依题可知， f(1)=-2,f(1)=0,而f()=只-乌，所以6=-2， xx a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f(x)=-2+名，因 此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1，+∞)上递减，x=1 时取最大值，满足题高，中有了2)=-1十名=一之] 5.A[令y=血，则y=1-n虹.可以验证当y=0即 a=e=若时=-名，又y日对子>0 e 恒成立≤，得≤1.又kx>0x>0,k>0. e 0<k≤1.] 6.解析：f(x)=3-3x=-3(x-1)(x十1)，当x<-1或 x>1时，f'(x)<0,当-1<x<1时，f'(x)>0,x= 1是函数f(x)的极小值点.，函数f(x)=3x-x3在区 间(a-1,a)上有最小值，即为极小值..a-1<-1<a, 解得-1<a<0. 答案：(-1,0) 7.解析：若a=0时，f(x)= 1,z<0, (x-2)2,x≥0 ∴.f(x)nin=0; 若a<0时，当x<a时，f(x)=一ax十1单调递增，当x →-o∞时，f(x)→一∞，故f(x)没有最小值，不符合题 目要求： 若a>0时， 当x<a时，f(x)=-ax十1单调递减，f(x)>f(a)= -a2+1, (0(0<a2) 当x>a时，f(z)in= (a-2)2(a≥2) 巴五维课堂 .-a十1≥0或-a2十1≥(a-2)2, 解得0<a≤1， 综上可得0≤a1: 答案：0（答案不唯一）1 &解：画数)的定义城为0,2》了)=士2之口 （1D当a=1时，x)=二+2，所以x)的单调递增 x(2-x) 区间为(0√2)，单调递减区间为(W2,2). (2)当xE01时了)=名十a>0,即)在 (0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为∫(1) =a,因此a=之 1 A[由产。得f)=当a>1时， 若x>a,则f'(x)<0.f(x)单调递减；若1<x<√a,则 f(x)>0,f(x)单调递增.故当x=√a时，函数f(x)有最 大值后，解得a=子<1，不特合题意.当a=1时， 2a3 函教f八x)在[1，十6∞)上单调递减，最大值为f1)=合， 不符合题意.当0<a<1时，函数f(x)在[1，十o∞)上单 调适减此时最大位为1)品解得。疗 1,符合题意.故a的值为5-1，故选：A] 10.AB[对于选项A,当a=-1时，f(x)=cos'在区间 [后登]上递减， 所以M= 0登35<5，故老项A正晚，对于德项 π 6 B,当a=2时，f(x)=x2·cosx,则(x)=x cos x(2 -x1m)>0fx)在区同[后，号]上递增，即M= 式<5，故选项B正确，对于选项C,当a=1时，当x∈ 183 (（0,受)时，<anx点成立，所以f)=xcos上< tano=sn,所以MK号故选项C错民. 2 对于选项D,当a=3时，f(x)=x3·cosx,则(x)= ios3-zan)>0,fx)在区间[后，晋]上递 增M=·()>号故选项D错误] 1 11,解析：“g()=生 =e222=f(2lnx2-x2)= e'2 f(x1),且f(x)=e"在R上单调递增， x1=21nx-22 ,4=2.h飞-1. 设(x)=n工，则(x)=1-n二(x>0), x x 当x∈(0，e)时，h(x)>0; 当x∈(e,十o)时，h'(x)0. ·6 数学(BS)·选择性必修第二册 .h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， ==(倍)=。 e 答案2 12.解：根据题意，f(x)=3x2-2ax十3，x=3是函数f(x) 的极值点，得f'(3)=0,即27-6a十3=0，得a=5.所 以f(x)=x3-5x2+3x. 令f()=3x-10x+3=0,得x=3或x=号（含去）. 当1<x<3时，f(x)<0,函数f(x)在[1,3)上是减 函数； 当3<x<5时，f(x)>0,函数f(x)在(3,5]上是增 函数. 由此得到当x=3时，函数f(x)有极小值f(3)=一9， 也就是函数(x)在[1,5]上的最小值；又因为f(1)= -1,f(5)=15,即函数(x)在[1,5]上的最大值为 f(5)=15. 综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为 9. 13.ABD[由题意得，函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且 f(x)=a-1-u-1,当a≤0时，(x)<0恒成立， x 此时f(x)单调递减，没有极值，又，当x→0时，f(x) 十∞，当x十∞时，f(x)→-∞， f代x)有且只有-个零点，当a>0时，在(0，日）上， x0)单湖递减，在（日+）上f>0, fx)单调递增，当工=时，fx)取得极小值，同时 也是最小值， xm=f(日）=1+lna,当x0时，l1n-0, f(x)→十o∞，当x→十o∞时，f(x)→十o∞，当1十lna= 0,即a=时，f(x)有且只有一个零点；当1+1na<0, e 即0<a<上时，f(x)有且仅有两个零点，综上可知 e ABD正确，C错误，] 14.解析：作出函数f(x)= 2,≤0的图像，知图所示， (e,x>0 由[f(x)]=a可得f(x)=√a,所以a>1,即a>l,不 妨设m<n,则2m2=e”=√a,令√a=t(t>1),则m= √径a=n,所以m中n=ln1入√，令g)=nt t √后，则g)=4,所以当1<<8时g) 0;当t>8时，g'(t)<0,当t=8时，g(t)取得最大值g (t)=ln8-2=3ln2-2. 答案：3ln2-2巴五维课堂 数课时 6.3 学作业 [基础达标练] 1.如图所示，函数y=f(x)的导数y=f'(x)的 图像是一条直线，则 A.函数f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数f(x)有最大值，没有最小值 C.函数f(x)没有最大值，有最小值 D.函数f(x)有最大值也有最小值 2.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函 数，在[a,b]上连续且f'(x)<g'(x),则f(x) 一g(x)的最大值为 ( ) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 3.函数f(x)=e(simx十cosr)在区间 [0,]上的值域为 A[e] C.[1,e] D.(1,e) 4.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)= alnx十b取得最大值-2，则f(2)=( A.-1 B-司 c合 D.1 5.已知不等式，虹<对任意的正实数x恒 成立，则实数k的取值范围是 A.(0,1] B.(-∞，1] C.[0,2 D.(0,2] 6.若函数f(x)=3x一x3在区间(a一1，a)上有 最小值，则实数a的取值范围是 7.(2022·北京卷)设函数f(x) {ax十x≤0'若f(x)存在最小值，则a的 (x-2)2,x≥a. 一个取值为 ;a的最大值为 8.设函数f(x)=lnx+ln(2-x)十a.x(a>0). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； ·3 数学(BS)·选择性必修第二册 函数的最值 (2)若f八x)在(0,1]上的最大值为2，求a的值. [能力提升练] 9.已知函数fu)士a>0)在[1，+∞)上 的最大值为号则：的值为 () A.√3-1 B c台 D.3+1 10.(多选)设f(x)=x·cosx,x [,]的 最大值为M,则 A.当a=-1时，M<5 B.当a=2时，M<3 C当a=1时，M 2 D.当a=3时，M<分 11.已知f()=e,g(x)= ·,若存在实数x1, 2满足f(x)=g(x2),则上的最大值为 12.已知函数f(x)=x3一ax2+3x,x=3是函数 f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上 的最大值和最小值。 [素养培优练] 13.(多选)已知函数f(x)=ax一lnx(a∈R),则 下列说法正确的是 () A.若a≤0，则函数f(x)没有极值 B.若a>0,则函数f(x)有极值 C.若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是 D.若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a 的取值范個是(-，0U{} 14.已知函数f(x)= {e,0,若方程 (2zx2,x≤0 [f(x)]=a恰有两个不同的实数根m,n,则 m十n的最大值是 第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §7导数的应用 7.1实际问题中导数的意义 间 学作业 7.2实际问题中的最值问题 纠错空间 [基础达标练] 6.假设某国家在21年期间的平均通货膨胀率为 1.设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速 5%,物价（单位：元）与时间t(单位：年)的函 度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系 数关系为p(t)=p(1十5%)'，其中p。为t=0 为v=u(t)=t3十3t,则t=t。s时轿车的加速 时的物价.假定某商品的p。=1,那么在第10个 度为 ( ) 年头，这种商品的价格上涨的速度是 A.(t+3t。)m/s2 B.(3t+3)m/s2 (其中1.05"=1.63，ln1.05=0.05,结果精确 C.(3t+3t,)m/s2 D.(t+3)m/s2 到0.01) 2.设球的半径为时间t的函数R(t),若球的体积 7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年 以均匀的速度C增长，则球的表面积的增长速 最大规模的种植是8万斤，每种植一斤藕，成 度与球的半径 本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=一 1 A.成正比，比例系数为C B.成正比，比例系数为2C 十品a+4(x是莲藕种植量，单位：万斤： C.成反比，比例系数为C 销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万 D.成反比，比例系数为2C 斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年种 3.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立 植莲藕 万斤. 方和最小，则应分为 8.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知 A.2和6 B.4和4 轮船的最大航行速度为35 nmile/,h,A地至B 方法总结 C.3和5 D.以上都不对 地之间的航行距离约为500 nmile,每小时的 4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元， 运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每 每生产一单位产品，成本增加100元，已知总 小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比 营业收人R与年产量x的关系是R(x)= 例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. 400x- 2r0≤40， (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x 则总利润最大时， (nmile/,h)的函数y=f(x); (80000,x>400, (2)求x从10变到20的平均运输成本； 每年生产的产品是 (3)求f(10)并解释它的实际意义. A.100 B.150 C.200 D.300 5.(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋” 的图形，上部分是体积为10√5π的半球，下 面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合， 在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥 底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与 外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为 A.10x B.18π C.30π D.40元 ·37·