第2章 6.1 第1课时 函数的单调性(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

6.1　函数的单调性  第一课时　函数的单调性

课标要求

第一课时　函数的单调性

　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.

【问题】　函数的单调性与导数有什么关系呢？

知识点一　导数的符号与函数的单调性之间的关系

导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：

（1）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＞0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　单调递增　；

（2）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＜0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　单调递减　.

　　提醒：若在某个区间上，f'（x）≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递增；若在某个区间上，f'（x）≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递减.

【想一想】

　在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之若f（x）在（a，b）上单调递增，则f'（x）＞0成立吗？

提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是可导函数y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件.

知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f（x）在区间（a，b）上：

　　提醒：（1）原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化；（2）导数的绝对值大（小）对应着原函数图象的陡峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（　×　）

（2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（　×　）

（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（　√　）

（4）函数y＝x3＋x的单调递增区间为（－∞，＋∞）.（　√　）

2.若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f'（x）的图象是（　　）

解析：A　f'（x）＝2x＋b，由于函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，所以x＝－＞0，得b＜0.结合选项，可知选A.

3.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是　（0，1）　.

解析：f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调递增区间是（0，1）.

题型一｜函数图象与导函数图象的关系

【例1】　（1）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　D　）

解析：（1）由f（x）的图象可知，y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增，因此在x＜0时，有f'（x）＞0（即f'（x）在（－∞，0）上的图象全部在x轴上方），故排除A、C.从函数f（x）的图象上可以看出，函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，f'（x）＞0，在区间（x1，x2） 上单调递减，f'（x）＜0，在区间（x2，＋∞）上单调递增，f'（x）＞0，故排除B，选D.

（2）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　B　）

解析：（2）法一　由函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.