第2章 7 导数的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§7　导数的应用

▤▤7.1　实际问题中导数的意义

课标要求

低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.

【问题】　如何使汽油的使用效率最高？

知识点　实际问题中导数的意义

1.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f（t）表示，则f'（10）表示（　　）

A.t＝10时的降雨强度　　B.t＝10时的降雨

C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度

解析：A　f'（t）表示t时刻的降雨强度，故选A.

2.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火后　10　 s火箭速度为零（g取10 m/s2）.

解析：由已知，得火箭的运动方程为h（t）＝100t－gt2，h'（t）＝100－gt.令h'（t）＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零.

3.一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系可以用函数s（t）＝1＋t2表示，并且物体的动能U＝mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为　0.015 J　.

解析：∵s'（t）＝2t，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10 cm/s，即0.1 m/s.此时，U＝×3×（0.1）2＝0.015 J.

题型一｜导数在物理中的意义

【例1】　一质点做直线运动，已知路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为s＝3t2＋2t＋1.求：

（1）从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；

解：（1）Δs＝s（3）－s（2）＝（3×32＋2×3＋1）－（3×22＋2×2＋1）＝17，

∴＝＝17，

即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均速度为17 m/s.

（2）当t＝2时的瞬时速度；

解：（2）s'（t）＝6t＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）.

即当t＝2时的瞬时速度为14 m/s.

（3）当t＝2时的加速度.

解：（3）设该质点的速度为v m/s，

则v（t）＝s'（t）＝6t＋2，

∴v'（t）＝6，∴v'（2）＝6.

即当t＝2时的加速度为6 m/s2.

通性通法

1.求运动物体瞬时速度的三个步骤

（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；

（2）求平均速度＝；

（3）求瞬时速度，当Δt趋于0时，趋于的固定常数v即为瞬时速度，即v＝ .

2.求运动物体瞬时加速度的三个步骤

（1）求速度改变量Δv＝v（t0＋Δt）－v（t0）；

（2）求平均加速度＝；

（3）求瞬时加速度，当Δt趋于0时，平均加速度的极限 即为瞬时加速度.

【跟踪训练】

一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为Q（t）＝3t2－ln t.

（1）求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义（结果精确到0.01）；

解：（1）当t从1变到2时，电荷量从Q（1）变到Q（2），此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.

（2）求Q'（2），并解释它的实际意义.

解：（2）Q'（t）＝6t－，Q'（2）＝11.5，它的实际意义是：在t＝2 s这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.

题型二｜导数在生活中的应用

【例2】　假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5％，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为p（t）＝p0（1＋5％）t，其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？