章末检测（二） 导数及其应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

章末检测（二）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数f（x）＝f'（1）＋xln x，则f（e）＝（　　） A.1＋e　　　　　　　 B.e C.2＋e D.3 解析：A　∵f'（x）＝ln x＋1，∴f'（1）＝ln 1＋1＝1，则f（x）＝1＋xln x，∴f（e）＝1＋eln e＝1＋e. 2.（2025·福州期中）已知函数f（x）＝x＋的图象在x＝2处的切线与直线l：4x＋5y＋1＝0垂直，则实数a＝（　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析：A　由题意得f'（x）＝1－（x≠0），所以f'（2）＝1－.又函数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线l垂直，所以（ 1－）×（ －）＝－1，所以a＝－1.故选A. 3.三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（－∞，0] D.（－∞，1] 解析：A　依题意可得f'（x）＝3mx2－1≤0，且m≠0，从而m＜0. 4.若函数f（x）＝（x＞1）有最大值－4，则实数a的值是（　　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 解析：B　由函数f（x）＝（x＞1），则f'（x）＝＝，要使得函数f（x）有最大值－4，则a＜0，则当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，2）上单调递增，当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调递减，所以当x＝2时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max＝f（2）＝＝－4，解得a＝－1，满足题意，故选B. 5.若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为（　　） A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.πr2 解析：A　设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则侧面积S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.∴S＝4π. 令（r2－）'＝0得r1＝r或r1＝－r（舍去）或r1＝0（舍去）.此时S＝4π·r·＝4π·r·r＝2πr2. 6.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（　　） A.（0，1） B.（－1，0）∪（0，1） C.（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：C　不等式f（x）＞x可化为f（x）－x＞0，设g（x）＝f（x）－x，则g'（x）＝f'（x）－1，由题意g'（x）＝f'（x）－1＞0，∴函数g（x）在R上是增函数，又g（1）＝f（1）－1＝0，∴原不等式⇔g（x）＞0⇔g（x）＞g（1）.∴x＞1，故选C. 7.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是（　　） A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 解析：A　构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＞0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），即＜＜，故a＜c＜b.故选A. 8.方程－ln x－2＝0的根的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　令f（x）＝－ln x－2（x＞0），则f'（x）＝－＝，当x∈（0，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且f（4）＝2－ln 4－2＜0，f（e6）＝e3－ln e6－2＝e3－8＞0，f（e－2）＝e－1－ln e－2－2＝＞0，结合函数零点存在定理可知函数在区间（0，4）上存在一个零点，在区间（4，＋∞）上也存在一个零点，故方程－ln x－2＝0的根的个数为2.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9.下列结论中正确的是（　　） A.若y＝cos，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x 解析：BC　对于A，y＝cos ，则y'＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故正确；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故错误. 10.（2025·西安期中）已知f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且（x＋1）f'（x）＞f（x），则下列不等式一定成立的是（　　） A.3f（4）＜4f（3） B.4f（4）＞5f（3） C.3f（3）＜4f（2） D.3f（3）＞4f（2） 解析：BD　由（x＋1）f'（x）＞f（x），得（x＋1）·f'（x）－f（x）＞0.令g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，则有g（2）＜g（3）＜g（4），即＜＜，所以4f（2）＜3f（3），5f（3）＜4f（4），故B、D正确，C错误，而选项A无法确定，故选B、D. 11.已知函数f（x）＝aln x－ax＋1（a∈R），g（x）＝f（x）＋x2－1，则下列结论正确的是（　　） A.当a＝1时，f（x）≤0恒成立 B.若经过原点的直线与f（x）的图象相切于点（3，f（3）），则a＝ C.若g（x）在区间［，4］上单调递减，则a的取值范围为[16，＋∞） D.若g（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），则a的取值范围为（12，＋∞） 解析：ACD　当a＝1时，f（x）＝ln x－x＋1（x＞0），f'（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝1时，f（x）取得极大值，也是最大值，又f（1）＝0，故f（x）≤0恒成立，A正确；由f（x）＝aln x－ax＋1，可得f'（x）＝－a，则f（x）的图象在（3，f（3））处的切线斜率为f'（3）＝－，切线方程为y－（aln 3－3a＋1）＝－（x－3），代入原点坐标，得－（aln 3－3a＋1）＝2a，解得a＝，B错误；由g（x）＝f（x）＋x2－1＝aln x＋x2－ax，得g'（x）＝＋3x－a＝，x＞0，因为g（x）在区间［，4］上单调递减，所以关于x的不等式3x2－ax＋a≤0在区间［，4］上恒成立，设h（x）＝3x2－ax＋a，则需使即解得a≥16，C正确；因为g（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），则g'（x）＝＝0有两个正实根x1，x2（x1≠x2），即关于x的方程3x2－ax＋a＝0有两个正实根x1，x2，则解得a＞12，由二次函数的图象知x1，x2是函数g'（x）的变号零点，符合题意，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.函数f（x）＝的单调递增区间是　（0，1）　，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是　y＝1　. 解析：f'（x）＝－（x＞0），令f'（x）＞0得0＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）.又f'（1）＝0，故f（x）在（1，1）处的切线方程为y＝1. 13.若关于x的方程m＋eln m＝＋e（ln x－x）有解，则实数m的最大值为　　. 解析：由题意得eln m＋eln m＝eln x－x＋e（ln x－x）.令f（x）＝ex＋ex，则f（ln m）＝f（ln x－x）.因为函数y＝ex和y＝ex单调递增，所以f（x）单调递增，所以ln m＝ln x－x.令g（x）＝ln x－x，则g'（x）＝，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时 ，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝1时，g（x）取最大值，为－1，所以ln m≤g（1）＝－1，得0＜m≤，所以m的最大值为. 14.设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有｜f（x）－g（x）｜≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.设函数f（x）＝ln x－x与g（x）＝x－2t在［，e］上是“密切函数”，则实数t的取值范围是　［，1］　. 解析：因为函数f（x）＝ln x－x与g（x）＝x－2t在［，e］上是“密切函数”，所以对任意的x∈［，e］都有｜f（x）－g（x）｜≤1，即有｜ln x－x－x＋2t｜≤1，所以｜ln x－x＋2t｜≤1，所以－2t－1≤ln x－x≤1－2t.令h（x）＝ln x－x，x∈［，e］，h'（x）＝－1＝，所以当x∈（ ，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，e）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝－1，又h（ ）＝ln－＝－1－，h（e）＝ln e－e＝1－e，所以h（x）min＝1－e，所以－2t－1≤1－e且－1≤1－2t，所以≤t≤1，所以实数t的取值范围为［，1］. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝. （1）求曲线y＝f（x）在点（0，－1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥0. 解：（1）f'（x）＝， f'（0）＝2. 因此曲线y＝f（x）在（0，－1）处的切线方程是 2x－y－1＝0. （2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥（x2＋x－1＋ex＋1）e－x. 令g（x）＝x2＋x－1＋ex＋1，则g'（x）＝2x＋1＋ex＋1. 当x＜－1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞－1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 所以g（x）≥g（－1）＝0. 因此f（x）＋e≥0. 16.（本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）. （1）求f（x）的单调区间； （2）求使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值. 解：（1）∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0， ∴f'（x）＝－2x＋a＝－， 由于a＞0，∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，＋∞）. （2）由题意得，f（1）＝a－1≥e－1，即a≥e， 由（1）知f（x）在[1，e]上单调递增， 要使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立， 只要 解得a＝e. 17.（本小题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）. （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解：（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元. 又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝（300－4r2）， 从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）. 因为r＞0，又由h＞0可得0＜r＜5， 故函数V（r）的定义域为（0，5）. （2）因为V（r）＝（300r－4r3）， 所以V'（r）＝（300－12r2）. 令V'（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（舍去）. 当r∈（0，5）时，V'（r）＞0，故V（r）在（0，5）上单调递增； 当r∈（5，5）时，V'（r）＜0，故V（r）在（5，5）上单调递减. 由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大. 18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ex－x2－x. （1）若k＝0，求f（x）的最小值； （2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性. 解：（1）k＝0时，f（x）＝ex－x，f'（x）＝ex－1. 当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减， 在（0，＋∞）上单调递增， 故f（x）的最小值为f（0）＝1. （2）若k＝1，则f（x）＝ex－x2－x，定义域为R. 所以f'（x）＝ex－x－1，令g（x）＝ex－x－1， 则g'（x）＝ex－1， 由g'（x）＞0得x＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 由g'（x）＜0得x＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减， 所以g（x）min＝g（0）＝0，即f'（x）min＝0， 故f'（x）≥0. 所以f（x）在R上是增函数. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3. （1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞－2，当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围. 解：（1）b＝0时，f（x）＝ln＋ax，其中x∈（0，2）， 则f'（x）＝＋a，x∈（0，2）， ∵x（2－x）≤（）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立， 故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2， ∴a的最小值为－2. （2）证明：法一　∵x∈（0，2），f（2－x）＋f（x）＝ln＋a（2－x）＋b（1－x）3＋ln＋ax＋b（x－1）3＝2a， ∴f（x）关于（1，a）中心对称. 法二　将f（x）向左平移一个单位长度⇒f（x＋1）＝ln＋a（x＋1）＋bx3关于（0，a）中心对称， ∴f（x）关于（1，a）中心对称. （3）令函数g（x）＝f（x）＋2，依题意g（x）＞0当且仅当1＜x＜2，从而g（1）≤0. 若g（1）＜0，∵g（）＞0， ∴存在x0∈（1，），使g（x0）＝0，矛盾， 从而g（1）＝0，故a＝－2. f'（x）＝＋3b（x－1）2 ＝（x－1）2［＋3b］. 设h（x）＝＋3b，x∈（1，2），易知h（x）在（1，2）上单调递增，h（1）＝2＋3b， 若b＜－，h（1）＜0，令h（x）＝0，得x＝1＋或x＝1－（舍去），当x∈时，h（x）＜0，从而f'（x）＜0，f（x）在区间上单调递减，不符合题目要求. 若b≥－，当x∈（1，2）时，h（x）≥0. 从而f'（x）≥0，当且仅当x＝1时等号成立，故f（x）在区间（1，2）上单调递增，符合题目要求. 因此b的取值范围是［－，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $