第二章 导数及其应用（单元测试·提升卷）数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 导数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 11．已知函数，，则（   ） A．若存在两个零点，，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的单调递减区间为__________. 13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 14．已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 16．（15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 17．（15分）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．（17分）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 导数·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C D C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值.（5分） （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证.（13分） 16．（15分）(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递减， 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（7分） （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得： 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为.（15分） 17．（15分）(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.（7分） （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是．（15分） 18．（17分）(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即.（3分） （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是.（8分） （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即.（17分） 19．(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值.（5分） （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即.（10分） （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 导数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求出，构造函数，利用导数法得到的单调性，由结合单调性得到在上单调递减，从而得到，继而得到，从而得到． 【详解】令，则． 令，易知在上单调递减， 且， 所以在上恒成立， 则在上单调递减， 则， 即，所以， 所以，即． 故选：D. 6．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 7．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 8．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 【答案】D 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察条件中的，不难发现这是求导后的分子，故设，求导后由题意可得在为增函数，则有，即，最终可得AB错误. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在为增函数，则有，即. 易得是的充分不必要条件，CD正确，AB错误. 故选：AB. 10．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 【答案】BC 【分析】对于A，根据题意，确定的解析式即可判断A； 对于B，令，利用因式分解求解即可； 对于C，不等式等价于即，则或，再解不等式组即可； 对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为，再联立求解即可判断． 【详解】 ， 函数是奇函数， ，解得， ，故A错误； 令，即，解得或， 所以有两个不同的零点，故B正确； 解不等式，即，移项得， 即， 或， 解得或， 所以，不等式的解集为，故C正确； ，则， 则切线方程为，即， 联立，得， 即，解得， 所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误． 故选：BC． 11．已知函数，，则（   ） A．若存在两个零点，，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，，即有两个解，根据交点，不妨取，然后根据对数运算可得即可判断；对于B，即，然后分析分段函数的单调性即可得；对于C，根据高斯函数即可证明；对于D，当，即，分段求导分析函数单调性确定值域，即可确定有解时的取值范围，从而判断选项D. 【详解】对于A，，即有两个解， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点， 如图 由图知，，不妨取， ，故A正确； 对于B，，即， 又在单调递减， 时，，， 所以在单调递减， 即在单调递减， ， 即仅有一解，则，故B错误； 对于C，，， ，故C正确； 对于D，，即， 当时，在单调递增，值域为， 当时，，（舍）， 所以在单调递减，在单调递增， ，， 即时，的值域为， 故有解，， 所以方程无解，则的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】函数，求导得， 令，解得， ，解得或， 在和上单调递减，在上单调递增， 在上存在最大值的条件为，解得． 14．已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意可转化为恒成立，构造函数，利用导数求最小值即可得解. 【详解】由可得， 因为，所以恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，则，故，而， 所以，即在上单调递减； 当时，，则， 当时，，而，所以， 当时，，所以，， 即在上单调递增，所以当时，， 所以，即a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 16．（15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求导，分和，根据导函数的符号判断函数的单调性. （2）先根据函数的单调性得，，设，，求导，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递减， 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得： 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 17．（15分）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 18．（17分）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 19．（17分）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章 导数·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，函数是奇函数，则（    ） A． B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点 11．已知函数，，则（   ） A．若存在两个零点，，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的单调递减区间为__________. 13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 14．已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 16．（15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 17．（15分）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．（17分）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $