章末检测（二）导数及其应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 章末检测（二》 导数及其应用 1.A2.A3.A4.B5.A 6.C不等式f(x)>x可化为f(x)一x>0,设g(x)=f(x)一x,则g'(x)=f(x)-1,由题 意g'(x)=(x)-1>0,∴.函数g(x)在R上是增函数，又g(1)=f(1)-1=0,∴.原不等 式台g(x)>0台g(x)>g(1).x>1,故选C. 7.A构道函数f)=斋，则)-计，当>e时，1()≥0，则r(x)在(e,十0) 上单调递增.又e<3<π，f(e)<f(3)<f(π)，即<品<，故a<c<b.故选A. 8C令fx)=区-血x-2(x>0>，则f(x)=x-贵=是，当xe0,4)时，f(x) <0,f(x)单调递减；当x∈(4，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，且f(4)=2-ln4 2<0,f(e6)=e3-lne6-2=e3-8>0,f(e2)=e-1-lne2-2=÷>0,结合函数零点存在定理 可知函数在区间(0,4)上存在一个零点，在区间(4，十∞）上也存在一个零点，故方程V区一ln x一2=0的根的个数为2.故选C. 9.BC对于A,y=cos是，则y'=京sim喷，故错误；对于B,y=sinx2,则y'=2 COS2,故正确： 对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故正确；对于D,y=xsin2x,则y'=sin2x+xcos2x,故错 误 10.BD由(+1)(x)>f(x),得(x+1)·f(x)f(x)>0.令gx)=(>0), x+1 则g(x)=+r国f)、 +12 >0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，则有g(2)<g(3)<g (4),即2<‘<，所以4(2)<3(3)，5(3)<4f(4)，故B、D正确，C错 4 误，而选项A无法确定，故选B、D 11.ACD当a=1时，f(x)=lnx-x+1(x>0),f(x)=是-1=，当0<x<1时，f(x) >0,f(x)单调递增，当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以当x=1时，f(x)取得极大 值，也是最大值，又f(1)=0,故f(x)≤0恒成立，A正确；由f(x)=lnx一ax+1,可得f (x)=是-a,则f(x)的图象在(3，f(3))处的切线斜率为f(3)=-号，切线方程为y- (aln3-3a十1)=-号(x-3)，代入原点坐标，得-(an3-3a十1)=2a,解得a=,B 错误；由g(x)=∫(x)十是x2-1=alnx十号x2-a,得g'(x)=是十3x-a=32,x>0,因为 1/5 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 g(x)在区间[，4]上单调递减，所以关于x的不等式3x2-a十a≤0在区间[号，4]上恒成 h()≤0，∫3x是-a+a≤0， 立，设h(x)=3x2一ax十a,则需使 h(4)≤0，即{3×16-4a+a≤0， 解得a≥16，C正确：因为g(x)有两个极值点1,2(：≠2)，则g'(x)==0有两个 正实根1，x2(x1卡x2),即关于x的方程3x2一ax十a=0有两个正实根x1,2,则 (△=2-12a>0, 号>0， 解得a>12,由二次函数的图象知1,2是函数g'(x)的变号零点，符合题 意，D正确. 12.(0,1)y=1解析：(x)=-警(x>0)，令(x)>0得0<x<1,故函数f(x)的单 调递增区间是(0,1)·又P(1)=0,故f(x)在(1,1)处的切线方程为y=1. l3.音解析：由题意得em十elnm=enx-x十e(lnx-x).令f(x)=ex+ex,则f(lnm)=f(ln x一x).因为函数y=e和y=ex单调递增，所以f(x)单调递增，所以lnm=lnx一x.令g(x)=ln x一x,则g(x)=,当x∈(0,1)时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时， g'(x)<0,g(x)单调递减，所以当x=1时，g(x)取最大值，为一1，所以lnm≤g(1)=一 1,得0<m≤音，所以m的最大值为合. 14.[号，1]解析：因为函数f(x)=lnx-x与g(x)=x一2t在[合，e]上是“密切函 数”，所以对任意的x∈[告，e]都有1f(x)一g(x)|≤1，即有|lnx-x-x+2t|≤1，所 以|lnx-x十2t|≤1，所以-2t-l≤lnx-x≤1-2t.令h(x)=lnx-x,x∈[是，e]，h(x)= 是-1=是，所以当x∈（是，1）时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(1，e)时，h(x) <0,h(x)单调递减，所以h(x)max=h(1)=-l,又h(音)=ln是-合=-1-合，h(e)=ln e-e=1-e,所以h(x)mm=1-e,所以-2t-1≤1-e且-1≤1-2h,所以号≤1≤1，所以实数t 的取值范围为[号，1]. 15.解：(1)f(x)=421k+2 e f(0)=2. 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是2x一y一1=0. (2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)ex 令g(x)=x2+x-1+er+1,则g'(x)=2x+1+ex+1. 当x<一1时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 2/5 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. 16.解：(1).f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0, f(x)=景-2x十a=-x-a2x+a, 由于a>0,∴f(x)的单调递增区间为(0，a),单调递减区间为(a,十∞). (2)由题意得，f(1)=a-1≥e-1,即a≥e, 由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增， 要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立， ∫f(1)=a-12e-1, 只要{f(e)=-e2+ae≤e2,解得a=e. 17.解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2元rh=200元rh(元)，底面的总成本为160元2元， 所以蓄水池的总成本为(200元rh+160元2)元. 又根据题意200元rh+160元2=12000元，所以h=京(300-42)， 从而V(r）=r2h=号(300r-43). 因为>0，又由h>0可得0<r<5V5, 故函数V()的定义域为(0,55). (2)因为V()=晋(300-4r3),所以”(r)=晋(300-122)· 令(r)=0,解得n=5,2=-5(舍去). 当r∈(0,5)时，(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增； 当re(5,5V3)时，"(r)<0,故V(r)在(5,5V3)上单调递减. 由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8. 即当r=5,h=8时，该蓄水池的体积最大. 18.解：(1)k=0时，f(x)=e-x,f(x)=er-1. 当x∈(-∞，0)时，f(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f(x)>0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=1. (2)若k=1,则f(x)=er-x2-x,定义域为R. 所以f(x)=ex-x-1,令g(x)=e-x-1, 则g'(x)=e-1, 3/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 由g'(x)>0得x>0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 由g'(x)<0得x<0,所以g(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以g(x)mim=g(0)=0,即f(x)mm=0,故(x)≥0. 所以f(x)在R上是增函数. 19.解：(1)b=0时，f(x)=ln+ax,其中x∈(0,2)， 则f(x)=x2x+a,x∈(0,2）， :x(2-x)≤(2s)2=1,当且仅当x=1时等号成立， 故f(x)mim=2+a,而f(x)≥0成立，故a+2≥0，即a≥-2， ∴.a的最小值为一2. (2)证明：法-x∈(0,2)，f(2-x)+f(x)=ln毫+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ ax+b(x-1)3=2a, f(x)关于(1，a)中心对称. 法二将f(x)向左平移-个单位长度→f(x+1)=ln费+a(x+1)+bx3关于(0，a)中心对 称， f(x)关于(1，a)中心对称. (3)令函数g(x)=f(x)+2,依题意g(x)>0当且仅当1<x<2,从而g(1)≤0. 若g(1)<0,g()>0, ∴存在xo∈(1，是)，使g(x)=0,矛盾， 从而g(1)=0,故a=-2. /6)=2+366-1) =(x-1)2[2知+36]. 2 设h(x)=xB+3b,x∈(1,2)，易知h(x)在(1,2)上单调递增，h(1)=2+3b, 若b<-号，h(1)<0,令h(x)=0,得x=1+V1+元或x=1-V1+元（舍去），当x∈ (1,1+V1+磊)时，h(x)<0,从而f(x)<0,f(x)在区间(1,1+V1+孟)上单调递减，不 符合题目要求. 若b≥-号，当x∈(1,2)时，h(x)≥0. 从而P(x)≥0，当且仅当x=1时等号成立，故f(x)在区间(1,2)上单调递增，符合题目要求. 4/5 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 因此b的取值范围是[一号，十∞)， 5/5 ·独家授权侵权必究 章末检测（二）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数f（x）＝f'（1）＋xln x，则f（e）＝（　　） A.1＋e　　 B.e　　　C.2＋e　　　D.3 2.（2025·福州期中）已知函数f（x）＝x＋的图象在x＝2处的切线与直线l：4x＋5y＋1＝0垂直，则实数a＝（　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 3.三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（－∞，0] D.（－∞，1] 4.若函数f（x）＝（x＞1）有最大值－4，则实数a的值是（　　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 5.若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为（　　） A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.πr2 6.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（　　） A.（0，1） B.（－1，0）∪（0，1） C.（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 7.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是（　　） A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 8.方程－ln x－2＝0的根的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9.下列结论中正确的是（　　） A.若y＝cos，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x 10.（2025·西安期中）已知f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且（x＋1）f'（x）＞f（x），则下列不等式一定成立的是（　　） A.3f（4）＜4f（3） B.4f（4）＞5f（3） C.3f（3）＜4f（2） D.3f（3）＞4f（2） 11.已知函数f（x）＝aln x－ax＋1（a∈R），g（x）＝f（x）＋x2－1，则下列结论正确的是（　　） A.当a＝1时，f（x）≤0恒成立 B.若经过原点的直线与f（x）的图象相切于点（3，f（3）），则a＝ C.若g（x）在区间［，4］上单调递减，则a的取值范围为[16，＋∞） D.若g（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），则a的取值范围为（12，＋∞） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.函数f（x）＝的单调递增区间是　　　，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是　　　　. 13.若关于x的方程m＋eln m＝＋e（ln x－x）有解，则实数m的最大值为　　　　. 14.设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有｜f（x）－g（x）｜≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.设函数f（x）＝ln x－x与g（x）＝x－2t在［，e］上是“密切函数”，则实数t的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝. （1）求曲线y＝f（x）在点（0，－1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥0. 16.（本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）. （1）求f（x）的单调区间； （2）求使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值. 17.（本小题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）. （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ex－x2－x. （1）若k＝0，求f（x）的最小值； （2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3. （1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞－2，当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $